王瑞利，梁　霄，2

（1.北京應用物理與計算數(shù)學研究所，北京 100094；2.山東科技大學數(shù)學學院，山東 青島 266590）

爆轟數(shù)值模擬中物理模型分層確認實驗研究

王瑞利1，梁霄1，2

（1.北京應用物理與計算數(shù)學研究所，北京 100094；2.山東科技大學數(shù)學學院，山東 青島 266590）

高可信度數(shù)值模擬軟件已成為工程設計與事故分析的重要支撐，基于實驗測量數(shù)據(jù)對復雜物理模型與多物理過程數(shù)值模擬軟件可信度量化是發(fā)展高可信度數(shù)值模擬軟件的最佳途徑。炸藥爆轟過程模擬采用物理模型大多是唯象建模，含有認知與偶然混合型不確定度，發(fā)展高置信度數(shù)值模擬軟件必須基于實驗數(shù)據(jù)量化其各類不確定度。文章基于驗證與確認（V&V）方法，明確定義模型分層確認中單一實驗、基準實驗、子系統(tǒng)試驗和全系統(tǒng)試驗的概念與內涵，據(jù)此構建炸藥爆轟彈塑性流體力學數(shù)值模擬中物理模型分層確認樹型圖，此樹型圖為炸藥爆轟過程物理模型確認所需確認試驗及模型分層確認提供策略，并建議據(jù)此分層確認試驗開展單層與跨層物理模型的不確定度量化，為研制高可信度數(shù)值模擬軟件提供有效可行方法。

爆轟數(shù)值模擬；物理模型；分層確認方法；確認試驗；不確定度量化

0　引　言

基于驗證與確認（Verification and Validation，V&V）的確認試驗不同于傳統(tǒng)的科學試驗［1］，模型分層確認中的確認試驗是一種用于評估模型可信度新型試驗，其主要目的是確定描述物理過程的物理數(shù)學模型的預測能力和可信性［2-4］。換句話說，確認試驗是定量確定一個物理模型及其載體（模擬軟件）在多大程度上或在什么條件下能夠真實再現(xiàn)物理系統(tǒng)的演化過程，它是在傳統(tǒng)試驗的基礎上，必須考慮量化試驗數(shù)據(jù)不確定度的試驗［5-7］。

由于工程復雜系統(tǒng)中包含大量的不確定性因素，單靠綜合性的系統(tǒng)級確認試驗很難量化其不確定度［8-9］。模型分層確認常用方法有拓撲模型及故障樹構建方法［10］。通過將復雜系統(tǒng)層層分解，便于開展細致的試驗研究與不確定性量化，便于準確量化模型的不確定性，達到建立精細物理模型，發(fā)展高可信度數(shù)值模擬軟件［10-11］。炸藥爆轟過程模擬是典型的多物理、多層級、非線性的復雜系統(tǒng)，物理模型大多是唯象建模，含有認知與偶然混合型不確定度，發(fā)展高置信度數(shù)值模擬軟件必須基于實驗數(shù)據(jù)量化其各類不確定度。文章基于驗證與確認（V&V）方法，構建了炸藥爆轟彈塑性流體力學數(shù)值模擬中物理模型分層確認樹型圖，此樹型圖為炸藥爆轟過程物理模型確認所需確認試驗及模型分層確認提供了策略，充分利用實驗的價值，為研制高可信度數(shù)值模擬軟件提供了有效可行方法。

1　基于V&V的模型分層確認方法

1.1模型分層確認思路

模型分層確認思想是將將復雜系統(tǒng)分解成簡單系統(tǒng)或部件級、基準級、子系統(tǒng)級和系統(tǒng)級并分別進行研究。通過將復雜系統(tǒng)層層分解，可以使得系統(tǒng)的復雜性逐漸降低，便于開展細致的精密實驗研究和建立精細的仿真模型。圖1給出了模型分層確認的一般思路，涉及到物理過程分解（系統(tǒng)分層）、模型確認層級、確認試驗、單層確認與跨層確認。

圖1　模型分層確認思路

1.2模型分層確認試驗層級

全系統(tǒng)試驗和全系統(tǒng)模擬是了解復雜現(xiàn)實系統(tǒng)的綜合性能的兩種基本方法。全系統(tǒng)試驗總是能夠比模擬提供更高的置信度，因為某個特定的裝置能否在實驗的特定環(huán)境條件下工作，全系統(tǒng)試驗可以對這個問題給出明確的答案。但是，在回答裝置怎樣工作這個問題時，全系統(tǒng)試驗卻不能給出明確答案。尤其是對于試驗成本很高、危害人身安全和風險很大的研究領域更是如此。模型確認活動是將不同層級確認試驗與數(shù)值模擬結合，評估物理模型預測能力的過程。模型分層確認試驗層級一般劃分為：單一問題層、基準層、子系統(tǒng)層、全系統(tǒng)層等確認試驗（如圖2所示）。主要目的是將多因素耦合、動作過程復雜、多試驗數(shù)據(jù)分析以及實施可靠性論證難的傳統(tǒng)綜合試驗（或者是將多因素交織在一起，很難理清試驗因素影響的綜合試驗）變得影響因素更清晰、試驗價值更大的試驗。

2　爆轟數(shù)值模擬中物理模型確認

2.1爆轟流體力學物理模型分解

針對炸藥爆轟，描述其過程的數(shù)學物理模型是流體力學（雙曲型偏微分方程組）與炸藥唯象反應率模型（一階常微分方程）、物態(tài)方程（復雜函數(shù)關系式）、材料本構（復雜函數(shù)）耦合在一起的非線性偏微分方程組［9］。

1）非定常爆轟流體力學方程組

炸藥爆轟過程所使用的基本方程是非定?？蓧嚎s流體力學方程和化學反應動力學方程的耦合方程組。

質量方程：

圖2　確認實驗層級劃分原則

動量方程：

能量方程：

狀態(tài)方程：

炸藥反應率：

2）炸藥反應率唯象模型

由于爆轟過程中化學反應過程復雜，反應速度快。反應過程與放能物質的特性和狀態(tài)，以及放能引起的物質運動密切相關。從理論上嚴格建立反應率方程是相當困難的，只能采用唯象近似。國內外研究了多種形式的唯象反應率模型，這些唯象模型往往是一階的常微分方程，這里給出2種常用的唯象模型。

①Forest Fire反應率模型

其中w是未反應炸藥的質量分數(shù)，P是壓力，ai是常數(shù)，由實驗確定。

②Wilkins反應率模型

將時間燃燒函數(shù)和C-J比容燃燒函數(shù)組合起來。F=0為凝固炸藥（未反應）區(qū)；0＜F＜1為反應區(qū)；F=1為爆炸產(chǎn)物區(qū)。其形式為

式中：F1——C-J比容燃燒函數(shù)；

F2——時間燃燒函數(shù)；

nb——可調參數(shù)。

式中：VJ——C-J比容；

V0——初始比容；

γ——多方指數(shù)（理想氣體常數(shù)）；

tb——爆轟波剛到達計算網(wǎng)格的時刻，即起爆

時間；

t——當前計算時刻；

ΔR——網(wǎng)格寬度；

DJ——C-J爆轟速度；

rb——可調參數(shù)。

LAD2D程序中采用了Wilkins反應率模型。

3）物態(tài)方程

在炸藥爆轟驅動裝置中，涉及到炸藥與非炸藥（一般為金屬）兩類材料，這些材料隨著狀態(tài)的變化，其行為相當復雜。大部分采用平衡態(tài)下系統(tǒng)的溫度和狀態(tài)參量之間的函數(shù)關系式描述，即物態(tài)方程。針對某種材料，可能有多種形式的函數(shù)關系式描述，這里給出炸藥爆炸產(chǎn)物與金屬采用的物態(tài)方程唯象模型。

①炸藥。爆炸產(chǎn)物常采用JWL形式的狀態(tài)方程，其形式為

②金屬。金屬材料可采用理想氣體：P=（γ-1）ρe，也可采用更接近實際的復雜函數(shù)關系式。如Grunneisen形式的狀態(tài)方程，其形式為

其中：ρ0、e0、C0——材料的物性參數(shù)；

λ、?！?shù)。

4）本構模型

SG模型是美國勞倫斯-利弗莫爾國家實驗室的Steinberg等于1980年提出的一個適用于高應變率（＞105s-1）的本構方程（簡稱SG模型）。

剪切模量：

屈服強度：

同時規(guī)定的限定條件是：

β，n——應變硬化參數(shù)；

ε——塑性應變；

εi——初始塑性應變；

G0——常溫常壓下的剪切模量；

Y0——最高應變率或最低溫度實驗的初始屈服強度；

一階偏導數(shù)；

Ymax——應變硬化允許的最大值；

Tm——與壓力相關的熔化溫度。

LAD2D程序中采用理想塑性模型。

2.2爆轟流體力學數(shù)值模擬模型分層確認樹型結構

在爆轟流體力學物理模型分解的基礎上，按單一問題層、基準模型層、子系統(tǒng)模型層、系統(tǒng)模型層的分層原則，提煉出各層的確認內容。圖3是爆轟流體力學數(shù)值模擬中物理模型分層確認的樹型結構圖。

圖3　爆轟流體力學程序LAD2D模型分層確認樹型結構

2.3爆轟流體力學數(shù)值模擬模型確認試驗

基于圖1模型分層確認樹型圖及模型確認的總體思路，先開展單層模型確認，再開展跨層模型確認。

1）單一問題層。單一問題層模型確認是基于模型建模試驗確認模型，包括模型形式及參數(shù)。目前主要是確認模型參數(shù)（見表1），對應試驗如備注欄，但還可以設計新試驗。

2）基準過程層?；鶞蔬^程層模型確認主要是材料行為、物理現(xiàn)象等確認試驗。針對爆轟流體力學模擬程序基準過程層的確認試驗如表2所示，為了更好地確認，可以重新設計一些高精密度確認試驗。

3）子系統(tǒng)/功能層。子系統(tǒng)/功能層確認主要是考慮不同狀態(tài)、不同條件、不同結構下等子系統(tǒng)確認試驗。針對爆轟流體力學模擬程序子系統(tǒng)/功能層的確認試驗如表3，為了更好地確認，大部分必須考慮重新設計高精密度確認試驗。

4）全系統(tǒng)層。全系統(tǒng)確認主要是考慮各種工礦、各種系統(tǒng)等系統(tǒng)級確認試驗。針對爆轟流體力學模擬程序子系統(tǒng)/功能層的確認試驗，同樣，為了更好地確認，大部分必須考慮重新設計高精密度確認試驗。

2.4不確定性量化及模型確認

基于V&V數(shù)值模擬程序模型分層確認，需要長期不懈的去做。對于爆轟流體力學程序完整系統(tǒng)化的確認還需要開展大量試驗和數(shù)值模擬工作，但研究思路和方法完全可以借鑒這些模型確認的方法。這里以爆炸波問題為例。

表1　爆轟流體力學模擬程序單一問題層確認模型及確認試驗

表2　爆轟流體力學模擬程序基準過程層確認內容及確認試驗

表3　爆轟流體力學模擬程序子系統(tǒng)/功能層確認內容及確認試驗

爆炸波問題是根據(jù)炸藥的特征，選取左面狀態(tài)等效于炸藥爆轟波C-J狀態(tài)，建立的平面一維平面模型。在一無限長管道中，在x=0處的左端是高壓氣體，右邊是低壓氣體，在初始時刻處于靜止狀態(tài)，兩者之間用薄膜隔離。t=0時刻薄膜破裂，形成向左稀疏波和向右激波。同樣在此問題中，既含有偶然不確定度ρL，又含有認知不確定度γL。計算區(qū)域為［-1，1］，初始狀態(tài)為

爆炸波問題左端狀態(tài)中含有偶然和認知混合型不確定度。一般γL往先按照專家經(jīng)驗，然后再按10%范圍開展評估。這里將黎曼解析求解出的結果看成是實驗數(shù)據(jù)。不確定度量化采用概率盒方法。所謂概率盒方法（Probability Box，P-BOX）是一種針對含有偶然和認知混合型不確定度量化方法，它是一種非精確概率方法，可以將偶然和認知混合型不確定度分離，顯式表征出兩類不確定性。最簡單的概率盒如圖4所示，假設PBX9404炸藥正態(tài)分布中參數(shù)取值為

則可以得到如圖4所示的概率分布圖，其中橫軸為系統(tǒng)的響應量（system response quantity，SQR），縱軸為累積概率分布。響應量區(qū)間和概率區(qū)間組成概率盒（P-BOX）。

圖4　概率盒示例

對混合型不確定度參數(shù)影響響應量構造P-BOX的過程：

圖5　密度正態(tài)分布采用MC抽取1000次的樣本值

圖6　γ區(qū)間不同抽樣方法抽取10次的樣本值（藍點：MC；紅點：LHS；綠點：均勻）

圖7　t=0.1時刻爆炸波問題2500個樣本

圖8　當γ∈［1.26，1.54］，ρL～（1.4，2.5×10-7）時x=0.1處的CDF（藍線：LAD2D；綠線：黎曼解法器）

1）對于偶然和認知不確定度參數(shù)輸入，分別采用MC和LHS抽樣，形成輸入樣本；

2）將輸入樣本組合，形成確定性程序的輸入，再通過程序分析，形成輸入與輸出響應量的樣本；

3）對輸出響應量，統(tǒng)計分析或采用PC方法，求出期望、方差；

4）對于響應量要量化不確定度的位置建立位置樣本（常按認知不確定性參數(shù)分組）；

5）基于每組認知不確定性的偶然不確定性樣本，求出每組樣本的最大值和最小值；

6）基于CDF預先給定的分點，將每組樣本的最大值和最小值分層（構造概率盒分層值-CDF分多少段值）；

7）對于每組樣本，按照每組的分層值，統(tǒng)計小于每層上限值的樣本數(shù)；

8）基于每層上限的樣本數(shù)，求出概率，形成P-BOX圖。

圖5是針對爆炸波問題中左端狀態(tài)ρL～N（1.4，2.5×10-7），采用MC抽樣1000次，產(chǎn)生的樣本。

圖6是針對爆炸波問題中左端狀態(tài)γ∈［1.26，1.54］，即γ=1.4［1.0±10%］，分別采用MC、均勻、拉丁超立方（LHS）抽樣10次，產(chǎn)生的樣本。

圖7是左端密度狀態(tài)偶然不確定性ρL～N（1.4，2.5×10-7），應用MC抽樣方法抽樣50次，左端多方指數(shù)認知不確定性γ∈［1.26，1.54］，采用均勻抽樣50次，計算到t=0.1時響應量密度、壓力、速度、內能的樣本。

對于爆炸波問題中ρL～N（1.4，2.5×10-7），應用MC抽樣方法抽樣1 000次，對于γ∈［a，b］區(qū)間采用LHS抽樣10次。當γ∈［1.26，1.54］，即1.4［1±0.1］（10%）時，x=0.1處的概率盒（樣本-1000×10）。

圖8是t=0.1時密度、壓力、速度、內能的CDF圖。從圖可以看出，密度部分覆蓋，壓力、速度、能量完全覆蓋，整個是部分接受。

圖9是t=0.1時x=0.1處爆炸波密度的P-BOX。根據(jù)重疊面積的比例，可以給出模型結果的置信度。

圖9　爆炸波問題t=0.22時x=0.1處密度的P-BOX

3　結束語

1）本文基于模型V&V，明確定義了模型分層確認中單一實驗、基準實驗、子系統(tǒng)試驗和全系統(tǒng)試驗的概念與內涵，提出了模型分層確認方法。

2）模型分層確認的核心問題是確認試驗與數(shù)值模擬結果的不確定度量化，尤其是跨層不確定度傳遞的量化。文章用例子說明了單層不確定度量化的方法，為按模型分層確認樹型結構開展確認給出了很好的借鑒思路。

3）文章以爆轟流體力學模型范例，闡述了復雜系統(tǒng)模型分層確認的新方法，說明了新方法實施的可行性及有效性。

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（編輯：劉楊）

Research on validation experiment hierarchy of validation for physical modeling in numerical simulation of detonation

WANG Ruili1，LIANG Xiao1，2
（1.Institute of Applied Physics and Computational Mathematics，Beijing 100094，China；2.College of Mathematics，Shandong University of Science and Technology，Qingdao 266590，China）

Numerical simulation software with high confidence has become an important technology in engineering design and accident analysis.Quantification the confidence degree of numerical simulation software in complex physical model and multi-physics process is usually done through experiment data，it has become the most appropriate approach in developing high confidential numerical simulation software.The physical model used in the numerical simulation of explosive detonation is phenomenological in reality.Both epistemic and aleatory uncertainties exist in the model，so different types of uncertainties in experiment data must be quantified to develop high confidential numerical simulation software.These uncertainties must be quantified to develop high confidential numerical simulationtechnique.Thispaperutilizestheverificationandvalidation（V&V）methodology to describe the procedure，principle and concept of benchmark experiments，subsystem cases，unit problems，and integer-system experiments.Then，we use this method to constructthehierarchytiersofphysicalmodelinginthenumericalsimulationofexplosive detonationfluiddynamicswithelasticandplasticterms.Thesetiersprovideastrategyfor validation of physical model of explosive detonation.Then uncertainty quantification of single tiers and trans-ties are executed respectively through the hierarchy ties method.The methodology used in this paper is proved to be efficient in developing high confidential numerical simulation software.

numerical simulation of detonation process；physical model；validation hierarchy methodology；validation experiment；uncertainty quantification

A

1674-5124（2016）10-0013-08

10.11857/j.issn.1674-5124.2016.10.003

2016-04-15；

2016-05-20

國家自然科學基金（11372051，11475029）中國物理科學院基金（2015B0202045）國防基礎科研計劃資助項目（C1520110002）

王瑞利（1964-），男，陜西渭南市人，研究員，研究方向為計算機流體力學與應用軟件研制。