章春國，劉維維，張海燕（杭州電子科技大學數(shù)學系，浙江杭州310018）

具有邊界反饋控制弱耦合梁-弦系統(tǒng)的穩(wěn)定性

章春國，劉維維，張海燕
（杭州電子科技大學數(shù)學系，浙江杭州310018）

研究具有邊界反饋控制的弱耦合梁-弦系統(tǒng).首先在合適的假設下，應用線性算子半群理論證明了系統(tǒng)的適定性；進而運用線性算子半群的頻域定理證明了具有邊界反饋控制的弱耦合梁-弦系統(tǒng)的能量是一致指數(shù)衰減的.

梁-弦系統(tǒng)；線性算子半群；邊界反饋控制；一致指數(shù)衰減

1　引言

近年來，梁-弦系統(tǒng)在空間科學及機器人學中有著廣泛的應用，研究梁-弦系統(tǒng)的穩(wěn)定性既有理論指導意義，又有實際工程意義.材料科學的發(fā)展為彈性結構的抑振提供了新的方法，隨著應用的需要，許多數(shù)學與力學工作者研究了具有各類阻尼的Euler-Bernou lli梁，Tim oshenko梁，Ray leigh梁系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中主要方法運用算子半群理論與乘子技巧.例如：文獻［1］研究的是非線性耦合振動的Petrovsky系統(tǒng)，文獻［2-9］考慮的是具有各種不同阻尼的梁與弦系統(tǒng)的穩(wěn)定性，利用能量函數(shù)結合乘子技巧得到了系統(tǒng)能量的指數(shù)衰減性和多項式衰減性.本文考慮一類具有邊界反饋控制的弱耦合梁-弦系統(tǒng)的穩(wěn)定性.更具體地說，研究如下一類弱耦合系統(tǒng)的初邊值問題：

其中′表示對空間變量x的導數(shù)，反饋常數(shù)bi＞0，i=1，2，3，a（x）∈L∞（0，1）.

本文的主要想法源于文獻［5］和［6］，并根據(jù)經典結果［10］和頻域結果［11-12］，運用分片乘子技巧獲得了系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性.

2　預備知識基本假設

引入函數(shù)空間

賦予范數(shù)

因此V和H都是實（復）Hilbert空間.

則W也是實（復）Hilbert空間.

接下來，定義W上線性算子A如下：

于是將系統(tǒng)（1）改寫成W上的抽象Cauchy問題

定義系統(tǒng)（1）在時刻t的能量為

其中Poincaré常數(shù)c1，c2＞0，Hk（0，1）是k階Sobolev空間（參見［13］）.

為了研究系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性，作如下假設：

這里‖a‖∞=‖a‖L∞（0，1）＞0.

引理2.1（見［11］）設A是Hilbert空間H上的壓縮C0-半群eAt的無窮生成元，則eAt指數(shù)穩(wěn)定的充分必要條件是：

3　主要結果

定理3.1如果假設（H）成立，那么A是W上壓縮C0-半群eAt的無窮小生成元.進一步，若（u01，u02，u11，u12，（u11）′（1））∈D（A），則系統(tǒng)（1）存在唯一的強解；若（u01，u02，u11，u12，（u11）′（1））∈W，則系統(tǒng)（1）存在唯一的弱解.

證對于?（u1，u2，v1，v2，y）∈D（A），分部積分并應用邊界條件得

因此，A在W中是耗散的，易證KerA=｛0｝.

于是

將（10）中的三、四兩式分別乘以u1和u2，并在（0，1）上積分，分部積分得

將（11）和（12）兩式相加得

和

將（15）代入到（14），并由（5）得

（13）結合（16），應用帶ε的Cauchy不等式得

于是

從而

再一次利用（5）得

其中，c=m ax｛c1，c2｝.

結合（20），（21）和（22），存在某個常數(shù)M＞0，使得

因此A-1∈L（W），且0∈ρ（A）（A的預解集），于是A是閉的.再由預解式的連續(xù)性知，對于足夠小的λ＞0，算子λI-A的值域rg（λI-A）=W.由定理1.4.6（見［10］）得D（A）=W.應用Lum er-Phillips定理，線性算子A是W上壓縮C0-半群eAt的無窮生成元.

在給出定理3.2之前，先給出線性算子A的譜性質.

性質3.1如果假設（H）成立，那么ρ（A）?iR=｛iλ|λ∈R｝.

證首先證明A具有緊的預解式.不妨設｛Yn|n≥1｝?W是一有界序列：即‖.由定理3.1的證明過程知0∈ρ（A）.因此令，由Sobolev嵌入定理得Zn存在收斂子列，所以A-1是緊的.

接下來證明ρ（A）?iR.由于A-1是緊的，A只有點譜.

不妨假設λ∈R（λ/=0）使得iλ∈σP（A）（A的點譜），于是存在Z=（u1，u2，v1，v2，y）/=0使得（iλI-A）Z=0，即

由于

由（23）和（24）得

再由（2）知：由常微分方程初值問題解的唯一性定理得（u1，u2）=0，因此Z=（u1，u2，v1，v2，y）=0，這與Z/=0矛盾，性質3.1得證.

定理3.2若假設（H）成立，則壓縮C0-半群eAt是指數(shù)穩(wěn)定的.

證設u1=u1（x，t），u2=u2（x，t）是系統(tǒng)（1）的解，那么

由引理2.1和性質3.1，要證明定理3.2，只需證明

假設（25）不真.即sup｛‖（iλI-A）-1‖|λ∈R｝=+∞，由共鳴定理和預解式連續(xù)性知，存在｛λn｝?R和使得

用（v1n，v2n）對（28）在H中作內積，

用（u1n，u2n）對（29）在H中作內積，并分部積分得

學校的作息時間與農業(yè)生產相匹配，也分為一天三節(jié)，每周上6天課。因為沒有統(tǒng)籌，許某上一天課就算一天工，周日不出工就沒有工分。生產隊開始只給他評了三級工——9分，因為“我們還是后生，做不了多少，體力沒有多少，一級一般要擔得100多斤，我們一般是三級，四、五級一般是老人或者是婦女。如果一個月有四個星期日你沒參加生產勞動，就少了36分?！?XJA170325)可見教師與社員一樣，對工分都是非常重視的。

將（33）和（34）兩式相加并取實部得

由（28）知：在L2（0，1）中，u1n→0，u2n→0.因此（35）改寫為

上式結合（26）得

將（28）代入（29）得

現(xiàn)取乘子q（x）=eηx-1，其中η＞0是一個給定常數(shù)（它的取值后面給出）.

由（28）立即得到：

由（28）和（31）得到

上式結合（41）和（42）有

由于q（0）=0，結合假設（H），（5）和（31），分部積分并取實部得

又由（28）立即得

又由（28）和（31）得

上式結合（46）和（47）有

由（44）和（49）相加得

現(xiàn)在只要取常數(shù)η＞0使得

容易看出，上式與（37）矛盾.因此（25）成立，從而證明了定理3.2.

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M R Sub ject C lassification:35B40；93B05

Stab ility of the w eak ly coup led beam-string system w ith boundary feedback con trol

ZHANG Chun-guo，LIU W ei-w ei，ZHANG Hai-yan
（Dep t.of Math.，Hangzhou DianziUniv.，Hangzhou 310018，China）

This paper stud ies the w eak ly coup led beam-string system w ith boundary feedback control.First，under the app rop riate hypothesis，it is proved that the well-posedness of the system by using the theory of linear operator sem igroup.And then，it is showed that the energy of the weak ly coup led beam-string system w ith boundary feedback control is uniform exponential decay by app lying the frequence dom ain resu lt on H ilbert space.

beam-string system；linear operator sem igroup；boundary feedback control；uniform exponential decay

O231.4

A

1000-4424（2016）02-0185-09

2015-04-10

2016-01-06基金項目：國家自然科學基金（61374096；11271104）