徐偉進(jìn), 李雪婧

中國(guó)地震局地球物理研究所， 北京 100081

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中國(guó)大陸地震空間分布模型檢驗(yàn)

徐偉進(jìn), 李雪婧

中國(guó)地震局地球物理研究所， 北京 100081

本文以中國(guó)大陸地震目錄為基礎(chǔ)資料，以泊松模型為零假設(shè)模型，并將Neyman-Scott空間叢集過(guò)程的各子模型設(shè)為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停捎肒-function 點(diǎn)過(guò)程分析法和最大似然估計(jì)法計(jì)算各模型參數(shù)，并以AIC準(zhǔn)側(cè)判定模型的擬合優(yōu)度，來(lái)檢驗(yàn)中國(guó)大陸地震空間分布模型.檢驗(yàn)結(jié)果表明：泊松模型的擬合優(yōu)度最差，說(shuō)明地震在空間的分布不是完全隨機(jī)的；廣義Thomas模型的擬合優(yōu)度最好，說(shuō)明地震的空間分布是叢集的，可用由兩個(gè)高斯核組成的廣義Thomas模型較好地描述.研究結(jié)果還表明，同一研究區(qū)內(nèi)，采用不同時(shí)段具有不同最小完整起始震級(jí)的地震目錄計(jì)算得到的地震空間分布的叢集尺度幾乎不變，這意味著地震空間叢集尺度不受小地震的控制，且可能與研究區(qū)的斷層規(guī)模有關(guān).

泊松模型； Neyman-Scott叢集模型； 地震空間分布； 中國(guó)大陸

1 引言

地震空間分布特征是地震學(xué)研究的一個(gè)重要方面.在區(qū)域地震預(yù)測(cè)和地震危險(xiǎn)性分析中，建立經(jīng)驗(yàn)地震空間活動(dòng)性模型是一個(gè)主要的工作環(huán)節(jié)，這需要計(jì)算地震在空間格點(diǎn)的活動(dòng)頻度，采用的方法主要以核密度估計(jì)法為主(如Frankel，1995； Console and Murru, 2001; Zhuang et al.,2002)，而核密度估計(jì)中核函數(shù)的選擇是尤為重要的，核函數(shù)是描述地震空間點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)模型.Frankel(1995)在美國(guó)中東部地震區(qū)劃中采用的地震空間模型為高斯模型，Zhuang 等(2002)基于ETAS模型的隨機(jī)除叢方法中采用的也是高斯模型；Cao等(1996)在對(duì)美國(guó)加州的概率地震危險(xiǎn)性分析中采用的是冪律模型；Woo(1996)則采用了地震分形分布模型.徐偉進(jìn)和高孟潭(2012a)系統(tǒng)比較了上述三個(gè)模型，認(rèn)為地震空間分布模型的選擇對(duì)計(jì)算地震空間格點(diǎn)發(fā)生頻度的影響是顯著的.因此在計(jì)算地震空間活動(dòng)性模型時(shí)地震空間分布理論模型的選擇是非常重要的.

徐偉進(jìn)(2012)的研究表明地震空間點(diǎn)分布格局是叢集的，即地震在空間上是一個(gè)叢集點(diǎn)過(guò)程.我們希望找到合適的數(shù)學(xué)模型去描述這一空間點(diǎn)過(guò)程.文中我們將采用目前應(yīng)用最為廣泛的Neyman-Scott(Archibald,1948)空間叢集過(guò)程及相似的點(diǎn)過(guò)程模型來(lái)描述地震空間分布，通過(guò)系統(tǒng)比較Neyman-Scott空間叢集過(guò)程的各子模型來(lái)選擇合適的地震空間分布理論模型.

對(duì)于一組空間點(diǎn)，需要根據(jù)這組數(shù)據(jù)來(lái)估算各個(gè)模型的參數(shù)，本文將采用基于二階統(tǒng)計(jì)量K-function(Ripley 1976，1977)的Maximum Palm Likelihood Estimation (MPLE)(Ogata and Katsura, 1991)方法估計(jì)模型參數(shù)，并根據(jù)AIC準(zhǔn)則(Akaike, 1974)判斷模型的優(yōu)劣.事實(shí)上K-function(Ripley 1976，1977)本身也被廣泛應(yīng)用于點(diǎn)過(guò)程的叢集性分析與探測(cè).Veen 和Schoenberg (2005)曾經(jīng)采用K-function對(duì)南加州地區(qū)的地震空間分布做了研究.因此我們采用K-function和Maximum Palm Likelihood Estimation相結(jié)合的手段進(jìn)行模型參數(shù)的估計(jì)、模型比較及模型的選擇.

2 模型

2.1 泊松模型

空間點(diǎn)格局分析的零假設(shè)一般為隨機(jī)分布模型，即泊松模型.泊松模型中地震在空間中的位置是完全隨機(jī)的，并且每個(gè)地震事件的位置完全獨(dú)立.地震在空間格點(diǎn)單位面積的發(fā)生頻度是相同的，在一個(gè)統(tǒng)計(jì)單元內(nèi)發(fā)生n個(gè)事件的概率密度函數(shù)可寫為

(1)

其中a為統(tǒng)計(jì)單元面積，λ為事件單位面積的密度.λ=NR/AR,R為研究區(qū)域，NR為研究區(qū)內(nèi)事件個(gè)數(shù)，AR為研究區(qū)面積.

2.2 Neyman-Scott 空間叢集模型

叢集分布是自然界中最為廣泛的一種空間分布格局，Neyman-Scott模型是應(yīng)用比較廣泛的描述空間點(diǎn)分布格局的概率模型(Archibald,1948).根據(jù)Tanaka等(2008)的研究，Neyman-Scott空間叢集過(guò)程可以這樣來(lái)描述：假設(shè)空間上有一個(gè)平穩(wěn)泊松隨機(jī)點(diǎn)過(guò)程，其強(qiáng)度為μ，我們把這些點(diǎn)稱之為母點(diǎn)，每個(gè)母點(diǎn)隨機(jī)產(chǎn)生M個(gè)獨(dú)立、同分布的子點(diǎn)，M的分布由概率pm=P{M=m},m=0,1,…給出，其對(duì)應(yīng)的均值記做ν.子點(diǎn)各向同性地分布在母點(diǎn)的周圍，而距離是獨(dú)立且同分布的，其概率密度函數(shù)為fτ(r)，其中τ代表概率密度函數(shù)中的一系列參數(shù).Neyman-Scott點(diǎn)過(guò)程即是由這些子點(diǎn)組成的，其強(qiáng)度為λ=μν.

在下文研究中，參數(shù)θ=(μ,ν,τ)被看成是模型中的參數(shù)，將采用統(tǒng)計(jì)回歸方法對(duì)各參數(shù)進(jìn)行估計(jì).

Neyman-Scott空間叢集過(guò)程中幾個(gè)典型的模型如下：

Thomas process or Gaussian type model (Thomas,1949):

(2)

該模型最早由Thomas(1949)提出，Daley和Vere-Jones(1988)給出了距離分布的概率密度函數(shù)，即(2)式.這一模型中，子點(diǎn)以二維高斯分布分撒在母點(diǎn)周圍.

廣義Thomas model：

參考Stoyan 和Stoyan (1996)及Tanaka等(2008)的研究，還考慮了廣義托馬斯叢集模型，其距離分布概率密度函數(shù)為

(3)

該模型由兩個(gè)不同叢集大小和距離尺度的二維高斯模型組合而成，其中σ1,σ2分別為兩個(gè)高斯分布的參數(shù)，a稱其為混合率.兩個(gè)高斯模型母點(diǎn)的強(qiáng)度分別為μ1,μ2，母點(diǎn)周圍子點(diǎn)的平均個(gè)數(shù)分別為ν1=ν2=ν，并且μ=μ1+μ2，μ1=aμ，μ2=(1-a)μ.

Inverse-power type model:

逆冪律模型的距離分布概率密度函數(shù)為

(4)

其中p>1,c>0，分別表示距離衰減的程度和尺度.

3 K-function空間點(diǎn)格局分析

3.1 經(jīng)驗(yàn)K-function

Ripley′sKfunction(Ripley，1976)是最為熟知的用來(lái)分析空間點(diǎn)過(guò)程的工具.其廣泛應(yīng)用于各種空間點(diǎn)過(guò)程的模式分析.空間K-function的使用前提是點(diǎn)過(guò)程是一個(gè)平穩(wěn)且各向同性的空間點(diǎn)過(guò)程，然而在實(shí)際應(yīng)用中研究者們很難判斷一個(gè)點(diǎn)過(guò)程是否是各向同性的.本文中我們將要估計(jì)的地震叢集分布尺度遠(yuǎn)小于研究區(qū)的分布尺度，因此可以將地震事件的空間分布近似看成是平穩(wěn)且各向同性的.

本文通過(guò)非參數(shù)法求取了研究區(qū)的K-function，并與模型的理論K-function做了對(duì)比研究.K-function的估算公式為

(5)

其中，為dij第i個(gè)點(diǎn)與第j個(gè)點(diǎn)的距離；I為示性函數(shù)，dij小于t時(shí)，I等于1，否則為0；w為邊界校正項(xiàng)，當(dāng)以li為圓心，以t為半徑的圓面完全處在統(tǒng)計(jì)區(qū)域內(nèi)時(shí)，w為1，否則w為在統(tǒng)計(jì)區(qū)域內(nèi)的面積與圓的面積的比值.

為了更加直觀的表現(xiàn)出空間點(diǎn)在不同距離尺度上的分布特征，Besag(1977)根據(jù)K-function提出了L-function，其估計(jì)式為

(6)

3.2 理論K-fucntion

參照附錄A的推導(dǎo)，可以導(dǎo)出Thomas model的理論K-function公式為

(7)

對(duì)于廣義Thomas model的理論K-function公式為

(8)

同樣對(duì)于(4)式逆冪律模型，我們無(wú)法代入?yún)?shù)直接求得其理論K-function，故采用數(shù)值計(jì)算方法求取.

特別地對(duì)于空間泊松點(diǎn)過(guò)程，其K-function公式可寫為

(9)

4 模型參數(shù)估計(jì)及最優(yōu)模型選擇

4.1 模型參數(shù)估計(jì)

給定一個(gè)空間點(diǎn)過(guò)程，將采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法回歸上述模型中的參數(shù).在本研究中依然采用最大似然法求取模型中的參數(shù).Ogata和Katsura (1991)導(dǎo)出了被稱之為Palm likelihood function的公式：

(10)

其中，W為研究區(qū)域，往往把研究區(qū)域定為規(guī)則的矩形，N(W)為研究區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，R是一個(gè)在計(jì)算Palm似然函數(shù)前已經(jīng)確定的值，R的取值一般定為矩形短邊的1/2.關(guān)于詳細(xì)的參數(shù)估計(jì)及Palm likelihood function計(jì)算詳見(jiàn)附錄A.

對(duì)(4)式逆冪律模型，很難直接寫出其似然函數(shù)式中積分的解析式，因此只能通過(guò)數(shù)值積分計(jì)算.

4.2 模型選擇

基于上述介紹的方法，根據(jù)研究區(qū)中的地震目錄，可以估計(jì)出Poisson模型、Thomas模型、廣義Thomas模型及逆冪律模型中的各參數(shù)值，并采用Akaike Information Criterion(AIC)(Akaike, 1974)準(zhǔn)則來(lái)判定模型的擬合優(yōu)度:

AIC=2k-2ln(L)

其中，k為模型中參數(shù)的個(gè)數(shù)，L為最大似然函數(shù)值.一般認(rèn)為AIC值越小，模型越合理.下文中AIC值均為各模型真實(shí)AIC值減去泊松模型AIC值后的結(jié)果，為的是與泊松模型進(jìn)行比較，若AIC值小于0，則說(shuō)明該模型優(yōu)于泊松模型，AIC越小表示模型的擬合優(yōu)度越好.

5 研究區(qū)及地震目錄

本研究中選取了東北、華北、華南、川滇、青藏高原、新疆地震區(qū)和青藏高原地震區(qū)西端6個(gè)地區(qū)作為研究區(qū)域(見(jiàn)圖1).選取6個(gè)研究區(qū)中1975年來(lái)M≥3.0地震和1970年來(lái)M≥4.0地震作為研究對(duì)象，其中東北地震區(qū)和華南地震區(qū)由于地震樣本較少，只選取了1975年來(lái)M≥3.0地震.地震目錄根據(jù)Mignan等(2013)的研究結(jié)果選取，地震目錄中的余震采用Gardner和Knopoff(1974)的方法去除.

圖1 研究區(qū)及地震空間分布Fig.1 Study regions and spatial distribution of earthquakes, black rectangles are study regions and black dots are earthquakes

6 結(jié)果分析

表1為根據(jù)華北地震區(qū)的地震目錄采用上述參數(shù)估計(jì)方法得到的參數(shù)值及對(duì)數(shù)最大似然函數(shù)值和AIC值.每個(gè)模型的AIC值均減去Poisson模型的AIC值.通過(guò)觀察表1中最后一列的AIC值發(fā)現(xiàn)Poisson模型的AIC值相對(duì)很大，這說(shuō)明地震空間分布是叢集的.比較三個(gè)叢集模型，發(fā)現(xiàn)廣義Thomas模型的AIC最小，這說(shuō)明了本文驗(yàn)證的三個(gè)叢集模型中廣義Thomas模型是最優(yōu)的.此外，通過(guò)比較分別采用M≥3.0地震和M≥4.0地震計(jì)算得到的廣義Thomas模型的σ1,σ2，發(fā)現(xiàn)采用兩套地震目錄計(jì)算得到的地震空叢集尺度是基本相同的，優(yōu)勢(shì)叢集尺度(若a>0.5則優(yōu)勢(shì)叢集尺度為σ1，否則為σ2)均為27 km左右，這在一定程度上暗示著地震空間叢集尺度是不受震級(jí)影響的(至少對(duì)于華北地區(qū)M≥3.0和M≥4.0地震是如此的).

圖2為華北地震區(qū)兩套地震目錄計(jì)算得到的參數(shù)和非參數(shù)K-function的比較.圖2(a，c)中紅色實(shí)線是采用非參數(shù)法根據(jù)地震目錄直接計(jì)算得到的K-function隨距離變化的曲線，黑色實(shí)線為理論P(yáng)oisson模型的K-function值，黑色虛線為Poisson模型的K-function值95%置信區(qū)間，可以發(fā)現(xiàn)R在200 km以內(nèi)采用觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K-function值均在黑色實(shí)線和虛線之上，這說(shuō)明時(shí)間地震事件在空間的分布確實(shí)是呈現(xiàn)叢集的.比較三種叢集模型的曲線發(fā)現(xiàn)逆冪律叢集模型(圖2(a，c)綠色曲線)與實(shí)際計(jì)算曲線吻合最差，這與表中三種叢集模型的AIC值中逆冪律模型AIC值最大是一致的.Thomas模型的曲線(圖2(a，c)中紫色曲線)好于逆冪律模型.與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合最好的是廣義Thomas模型，從圖中可以看出在200 km以內(nèi)，廣義Thomas模型(圖中藍(lán)色曲線)與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合的非常好，有的部分幾乎重合.圖2(b，d)為實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)測(cè)算的曲線及廣義Thomas模型曲線及其95%置信區(qū)間曲線，我們發(fā)現(xiàn)在根據(jù)實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K-function值完全落在廣義Thomas模型95%的置信區(qū)間之內(nèi).95%置信區(qū)間是根據(jù)采用估計(jì)的參數(shù)模擬1000次理論叢集過(guò)程計(jì)算求得的.

此外，還采用上文介紹的方法估計(jì)了川滇、東北、華南、新疆地震區(qū)西端及青藏高原地震區(qū)等5個(gè)地震區(qū)的Poisson模型及各叢集模型的參數(shù)(表2).在這5個(gè)地震區(qū)只分析了Thomas模型和廣義Thomas模型兩個(gè)叢集模型.逆冪律模型由于其龐大的計(jì)算量并且從華北地震區(qū)的擬合情況看該模型

表1 根據(jù)華北地震區(qū)M≥3.0地震和M≥4.0地震計(jì)算得到的各模型參數(shù)及對(duì)數(shù)似然函數(shù)值和AIC值Table 1 MPLE parameters and AIC values of each model for M≥3.0 and M≥4.0 catalogs in Northern China

圖2 華北地震區(qū)實(shí)測(cè)及各叢集模型的L-function曲線(a)、(c)中紅色實(shí)線為根據(jù)實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算所得，藍(lán)色曲線為廣義Thomas模型，紫色曲線為Thomas模型，綠色曲線為逆冪律模型，黑色實(shí)線及虛線分別為Poisson模型曲線及其95%置信區(qū)間； (b)、(d)中紅色實(shí)線為根據(jù)實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算所得，藍(lán)色實(shí)線及虛線為廣義Thomas模型曲線及其95%置信區(qū)間.Fig.2 The graphs of L(r)s across r for Northern ChinaIn graph (a) and (c), the red lines are estimated L(r) sacross r for M≥3.0 and M≥4.0 catalogs. The blue lines, purple lines and green lines are the best-fit lines between L(r)s and r of General Thomas model, Thomas model and Inverse-power model, respectively.The black solid lines are for Poisson model, and the black dash lines are 95% confidence limits. In graph (b) and (d), the red lines are estimated L(r)s across r for M≥3.0 and M≥4.0 catalogs. The blue solid lines are for General Thomas model, and the blue dash lines are 95% confidence limits.

表現(xiàn)最差，極有可能并不適合其他地震區(qū)，因此在該5個(gè)地震區(qū)未分析逆冪律模型.

通過(guò)比較每個(gè)地震區(qū)各模型的AIC值發(fā)現(xiàn)，在5個(gè)地震區(qū)中，Poisson模型的擬合優(yōu)度是最差的，這說(shuō)明了各地震區(qū)地震的空間分布都是叢集的，從而也可以認(rèn)為我國(guó)大陸地區(qū)地震的空間分布是叢集的.

表2 川滇、東北、華南、新疆地震區(qū)西端及青藏高原地震區(qū)等5個(gè)地震區(qū)各模型參數(shù)及對(duì)數(shù)似然函數(shù)值和AIC值Table 2 MPLE parameters and AIC values of each model for M≥3.0 and M≥4.0 catalogs in Northeastern China, Southern China, Sichuan-Yunnan, Tibet and Western of Xinjiang seismic regions

圖3 東北、華南、川滇、青藏高原地震區(qū)及新疆地震區(qū)西端等5個(gè)地震區(qū)實(shí)際數(shù)據(jù)測(cè)算及不同模型的L-function曲線其中紅色實(shí)線是根據(jù)時(shí)間觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的L-function曲線，黑色實(shí)線為Poisson模型，綠色實(shí)線為Thomas模型，藍(lán)色實(shí)線為廣義Thomas模型.Fig.3 The graphs of L(r)s across r for Northeastern China, Southern China, Sichuan-Yunnan, Tibet and Western of Xinjiang seismic regionsThe red lines are estimated L(r)s for M≥3.0 and M≥4.0 catalogs, the blue lines, green lines and black lines are L(r)s of General Thomas model, Thomas model and Poisson model, respectively.

同樣，在這5個(gè)地震區(qū)中廣義Thomas模型的AIC值均為最小，這說(shuō)明該模型的擬合優(yōu)度最好.通過(guò)比較M≥3.0和M≥4.0兩套目錄計(jì)算得到的廣義Thomas模型的σ1,σ2，發(fā)現(xiàn)在每個(gè)地震區(qū)內(nèi)采用這兩套地震目錄計(jì)算得到的優(yōu)勢(shì)地震叢集尺度差別不顯著，這也再次印證了在同一研究區(qū)內(nèi)地震空間叢集的叢集尺度可能不受震級(jí)影響.

圖3為川滇、東北、華南、新疆地震區(qū)西端及青藏高原地震區(qū)等5個(gè)地震區(qū)的K-function曲線，其中紅色實(shí)線是根據(jù)時(shí)間觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K-function曲線，紫色實(shí)線為Poisson模型，藍(lán)色虛線為Thomas模型，藍(lán)色實(shí)線為廣義Thomas模型.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，每個(gè)地震區(qū)現(xiàn)采用M≥3.0和M≥4.0兩套目錄計(jì)算得到的K-function均與理論廣義Thomas模型的K-function吻合最好，這與表2中廣義Thomas模型AIC值最小是一致的.

7 結(jié)論與討論

文中根據(jù)中國(guó)大陸的地震目錄資料，采用K-function點(diǎn)過(guò)程分析法和最大似然估計(jì)法，分析了中國(guó)大陸6個(gè)地區(qū)的地震空間分布特征，得出如下有益結(jié)論：

在我國(guó)大陸地區(qū)地震空間分布是叢集的.并且叢集模式可以用由兩個(gè)高斯核組成的廣義Thomas模型進(jìn)行描述.這一研究結(jié)果為地震預(yù)測(cè)、地震危險(xiǎn)性分析及其他地震學(xué)研究中經(jīng)驗(yàn)空間地震活動(dòng)性模型的計(jì)算提供了一定的理論依據(jù).

同一研究區(qū)內(nèi)，采用不同時(shí)段具有不同最小完整起始震級(jí)的地震目錄進(jìn)行計(jì)算得到的地震叢集尺度是大致相同的，這說(shuō)明了中國(guó)大陸地震空間叢集分布的尺度可能是不受小地震影響的，該尺度可能與研究區(qū)內(nèi)斷層規(guī)模有關(guān).從物理上講一個(gè)叢集區(qū)就是一個(gè)斷層帶或者應(yīng)力集中區(qū)，大量地震的震中分布在斷層面上，因此只要地震事件足夠多，無(wú)論采用多大震級(jí)的地震進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得出只是同一處斷層帶的尺度，故計(jì)算結(jié)果是相當(dāng)?shù)?在不同研究區(qū)內(nèi)地震空間叢集尺度不同.在西部地區(qū)，計(jì)算得到的地震空間叢集尺度相對(duì)較大，這可能是與西部地區(qū)地質(zhì)環(huán)境復(fù)雜，地震發(fā)生強(qiáng)度大頻度高有關(guān).在東部地區(qū)由于地震強(qiáng)度相對(duì)較小，頻度也相對(duì)低的多，因此計(jì)算的地震空間叢集尺度就相對(duì)較小.總之，各研究區(qū)地震空間叢集尺度的不同反應(yīng)了地震地質(zhì)環(huán)境的不同，其更深層次的地震地質(zhì)學(xué)意義需要更進(jìn)一步的研究.

從表1和表2中各地區(qū)叢集尺度σ值的大小可以看出該值并不是研究區(qū)內(nèi)斷層的實(shí)際規(guī)模尺度.地震的空間叢集尺度顯示的是斷層帶上破裂相對(duì)集中地區(qū)的大小，即地震事件初始破裂點(diǎn)的聚集地區(qū).因此地震空間叢集尺度為概率地震危險(xiǎn)性分析中潛在震源區(qū)幾何尺度的確定以及地震預(yù)測(cè)中地震危險(xiǎn)區(qū)的劃定提供了一定的定量依據(jù).

從統(tǒng)計(jì)學(xué)上講，本文的結(jié)論是預(yù)料之中的，根據(jù)中心極限定理，對(duì)于任何一個(gè)空間點(diǎn)過(guò)程，即使不符合高斯過(guò)程，都可以構(gòu)造一個(gè)由多個(gè)高斯核組成的模型去逼近這個(gè)點(diǎn)過(guò)程，當(dāng)然，模型會(huì)顯得很復(fù)雜，不利于研究結(jié)果的應(yīng)用.在科學(xué)研究中我們期望用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型去描述復(fù)雜的物理過(guò)程.本文中采用含有兩個(gè)高斯核的混合模型就能很好地去擬合實(shí)際的地震空間過(guò)程，這個(gè)結(jié)果是比較理想的.

附錄A：Palm likelihood function

給定一個(gè)空間點(diǎn)過(guò)程，將采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法回歸上述模型中的參數(shù).在本研究中依然采用最大似然法求取模型中的參數(shù).Ogata和Katsura (1991)導(dǎo)出了被稱之為Palm likelihood function的公式：

(A1)

其中，W為研究區(qū)域，往往把研究區(qū)域定為規(guī)則的矩形，N(W)為研究區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，R是一個(gè)在計(jì)算Palm似然函數(shù)前已經(jīng)確定的值，R的取值一般定為矩形短邊的1/2.

在計(jì)算Palm似然函數(shù)時(shí)用到了Palm intensitiesλo.據(jù)Daley和Vere-Jones (1988)研究：

(A2)

其中，λ即為點(diǎn)過(guò)程的強(qiáng)度，K(r)為K-function.對(duì)于Neyman-Scott過(guò)程，其二階統(tǒng)計(jì)量K-function可用下式求取(Stoyan and Stoyan 1994)：

(A3)

其中：

(A4)

根據(jù)(A2)(A3)(A4)式，(A1)可重寫為

(A5)

對(duì)于Thomas model和廣義Thomas model，(A4)式的積分我們可以寫出其解析式.對(duì)于Thomas model：

(A6)

對(duì)于廣義Thomas model：

(A7)

將(A6)式(A7)式帶入(A5)式，則Thomas model和廣義Thomas model的Palm似然函數(shù)可寫為：

Thomas model：

(A8)

廣義Thomas model：

(A9)

變化各個(gè)參數(shù)值，使似然函數(shù)取最大值時(shí)，即求得參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)值.

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(本文編輯 汪海英)

Statistical test of spatial distribution model of the Earthquakes in Chinese Mainland

XU Wei-Jin, LI Xue-Jing

InstituteofGeophysics，ChinaEarthquakeAdministrator，Beijing100081，China

In this paper, we test the spatial distribution model of the earthquakes in Chinese Mainland. We take Poisson model as null hypothesis and test Neyman-Scott and similar point processes. TheK-function point processes analysis tool and maximum likelihood estimation method are used to calculate parameters of each model. We use the Akaike Information Criterion (AIC) to compare the goodness-of-fit of these models. The results show that the goodness-of fit of Poisson model is the worst compared with that of any other model, while the goodness-of-fit of General Thomas model is the best. It can be confirmed that the spatial distribution of earthquakes is indeed significantly clustered (General Thomas model) rather than completely random (Poisson model). The best fit is got by the General Thomas model which contains two Gaussian kernels. The scale of cluster of spatial distribution of earthquakes does not change for each seismic sub-catalog in the same research region. This means that the scale of cluster is not controlled by small earthquakes, and that may be related with the scale of faults in research regions.

Poisson model; Neyman-Scott cluster model; Seismic spatial distribution; Chinese Mainland

10.6038/cjg20160911.

中國(guó)地震局地震行業(yè)專項(xiàng)(201408014)和中國(guó)地震局地球物理研究所基本業(yè)務(wù)專項(xiàng)(DQJB12B26)聯(lián)合資助.

徐偉進(jìn)，男，1982年生，副研究員，主要從事地震活動(dòng)性及地震危險(xiǎn)性分析方法研究.E-mail:wjxuwin@163.com

10.6038/cjg20160911

P315

2015-11-05，2016-07-26收修定稿

徐偉進(jìn), 李雪婧. 2016. 中國(guó)大陸地震空間分布模型檢驗(yàn). 地球物理學(xué)報(bào)，59(9):3260-3268,

Xu W J, Li X J. 2016. Statistical test of spatial distribution model of the Earthquakes in Chinese Mainland.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(9):3260-3268,doi:10.6038/cjg20160911.