王元超，孫 輝

(中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,長春 130033)

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基于VTOL飛行器的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

王元超，孫 輝

(中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,長春 130033)

垂直起降(Vertical takeoff and landing，VTOL)飛行器是具有3個(gè)自由度、2個(gè)控制輸入的非線性欠驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)，為了解決嚴(yán)重耦合的VTOL欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤問題，首先將VTOL動(dòng)力學(xué)模型解耦成一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)非最小相位系統(tǒng)，然后分別針對這兩個(gè)解耦子系統(tǒng)設(shè)計(jì)滑模控制器，并通過Lyapunov理論證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最后仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的滑?？刂破鲗?shí)現(xiàn)了對軌跡的無穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤，具有較好的魯棒性，能夠?yàn)榇祟惽夫?qū)動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤問題提供設(shè)計(jì)參考。

垂直起降飛行器；欠驅(qū)動(dòng)；輸出跟蹤；非最小相位系統(tǒng)；滑?？刂?；李雅普諾夫穩(wěn)定

0 引言

垂直起降(Vertical takeoff and landing，VTOL)飛行器對起降地點(diǎn)要求低，能夠突破跑道的限制，適用于狹小的空間和復(fù)雜的地形環(huán)境中使用，可實(shí)現(xiàn)飛行器的自由降落，從而具有重要的軍用價(jià)值和廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。

垂直起降飛行器可以彌補(bǔ)固定翼無人機(jī)起降應(yīng)用問題，從而受到越來越多研究者的重視。垂直起降飛行器實(shí)際上是一種典型的控制數(shù)量少于系統(tǒng)自由度的欠驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng),此類系統(tǒng)控制輸入與系統(tǒng)狀態(tài)之間存在嚴(yán)重的耦合關(guān)系,當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)部的零動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定時(shí),限制了非線性控制技術(shù)的直接應(yīng)用。文獻(xiàn)[3]明確指出對于滿足強(qiáng)慣性耦合條件的欠驅(qū)動(dòng)非線性系統(tǒng)可以通過部分反饋線性化的方法來簡化系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計(jì)過程。除了部分反饋線性化之外，很難找到一種對一般欠驅(qū)動(dòng)非線性系統(tǒng)普遍適用的控制方法。但是，反饋線性化對模型誤差和外界干擾的魯棒性不強(qiáng)，因而在實(shí)際中很難得到真正應(yīng)用。目前對于欠驅(qū)動(dòng)非線性系統(tǒng)控制的研究往往是針對某一類特定的系統(tǒng)，其中最常見的系統(tǒng)有垂直起降飛行器、柔性機(jī)械臂和船舶等。文獻(xiàn)[4-5] 利用后推法Backstepping的設(shè)計(jì)思想，實(shí)現(xiàn)了全局軌跡的跟蹤控制，但是需要控制模型直接或間接變化為嚴(yán)格反饋形式, 且存在“微分爆炸”現(xiàn)象。文獻(xiàn)[6]采用動(dòng)態(tài)面控制策略消除Backstepping設(shè)計(jì)法存在的“微分爆炸”現(xiàn)象，簡化了設(shè)計(jì)過程，但其穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差不能收斂到零。文獻(xiàn)[7]提出一種級(jí)聯(lián)觀測器的魯棒容錯(cuò)控制方案來使得故障系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤給定的期望軌跡。文獻(xiàn)[8]引入輸入補(bǔ)償?shù)木€性輔助系統(tǒng)，解決了VTOL軌跡跟蹤輸入飽和的問題。

滑模控制器具有魯棒性好和全局指數(shù)收斂穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，在飛行器[8-10]和多關(guān)節(jié)機(jī)器人[11]的軌跡控制已經(jīng)得到了應(yīng)用。蘇善偉等人在文獻(xiàn)[12]中詳細(xì)綜述了非線性非最小相位系統(tǒng)的控制研究問題。本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，將VTOL飛行器欠驅(qū)動(dòng)模型解耦成一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)非最小相位系統(tǒng)，分別對這兩個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)滑?？刂破?，并通過Lyapunov理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，能夠?qū)崿F(xiàn)無穩(wěn)態(tài)誤差的指數(shù)收斂。

1 VTOL飛行器動(dòng)力學(xué)模型

只考慮VTOL飛行器的起降過程，在OXY平面上對飛行器進(jìn)行受力分析，如圖1所示。

圖1 VTOL飛行器受力分析圖

根據(jù)受力分析圖，可以建立VTOL飛行器的動(dòng)力學(xué)模型為：

(1)

其中：m為飛行器的質(zhì)量，T為飛行器的推力，l為飛行器的滾轉(zhuǎn)力矩，g為重力加速度，Ixx為慣量，ε0表示由滾轉(zhuǎn)力矩產(chǎn)生橫側(cè)向位移寄生力一個(gè)比例因子。

(2)

(3)

由式(3)可以看出，VTOL飛行器動(dòng)力學(xué)模型有3個(gè)狀態(tài)輸出，分別為飛行器的橫縱位置x1(t)、y1(t)和滾轉(zhuǎn)角速度φ(t)，向量形式為y(t)=[x1(t)y1(t)φ(t)]T；以及有與推力T和滾轉(zhuǎn)力矩l相關(guān)的兩個(gè)控制輸入u1(t)、u2(t)，向量形式即u(t)=[u1(t)u2(t)]T。

2 模型解耦變換

由式(3)可以看出，VTOL飛行器動(dòng)力學(xué)模型是一個(gè)典型的欠驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)，而且控制輸入與系統(tǒng)狀態(tài)，以及兩個(gè)輸入之間存在嚴(yán)重的耦合關(guān)系，這些問題限制了滑?？刂频闹苯討?yīng)用。 這里為了解決VTOL欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題，將對VTOL飛行器動(dòng)力學(xué)進(jìn)行解耦。定義飛行器橫縱坐標(biāo)的期望值分別為x1d和y1d，控制目標(biāo)為飛行器的位置能夠跟蹤期望指令，并且保證滾轉(zhuǎn)角φ鎮(zhèn)定。則系統(tǒng)跟蹤誤差模型為：

(4)

將式(4)中第二個(gè)和第4個(gè)微分方程寫成矩陣形式，可得：

(5)

(6)

求出：

(7)

結(jié)合式(4)、(6)和(7)可得：

(8)

為了消除中間控制變量v1和v2，引入新的狀態(tài)變量λ。令：

(9)

考慮式(9)，當(dāng)e2→0且e4→0時(shí)，則λ→εω。因此可以用λ代替ω。

由式(9)可得：

(10)

由式(8～10)可得：

(11)

(12)

VTOL飛行器軌跡跟蹤的目標(biāo)為實(shí)現(xiàn)位置的跟蹤期望指令x1d和y1d，且滾轉(zhuǎn)角φ鎮(zhèn)定。即實(shí)現(xiàn)e1→0，e2→0，e3→0，e4→0，φ→0，ω→0。

由式(11～12)可將VTOL飛行器跟蹤控制系統(tǒng)寫成：

(13)

考察系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)：

(14)

(15)

可見，對于式(13)在零動(dòng)態(tài)q(·)與[e1e2]相關(guān)，而與[e3e4]不相關(guān)。

由以上分析，可以將VTOL飛行器跟蹤控制系統(tǒng)解耦成一個(gè)垂直方向的動(dòng)態(tài)方程最小相位系統(tǒng)：

(16)

以及一個(gè)橫側(cè)向與滾轉(zhuǎn)耦合的非最小相位系統(tǒng)：

(17)

3 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

3.1 最小相位系統(tǒng)的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

針對式(16)的最小相位系統(tǒng)，選取滑模面函數(shù)為：

(18)

設(shè)計(jì)滑模控制器為：

v2=-ce4-ksign(σ1)

(19)

其中：k>0。

(20)

表明最小相位系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定的。

3.2 非最小相位系統(tǒng)的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

針對式(17)的非最小相位系統(tǒng)，定義δ1=e2，δ2=[e1φλ]，則式(17)可化為：

(21)

其中：

利用泰勒公式將式(21)中第二式寫成：

(22)

其中,

(23)

(24)

(25)

取滑模面函數(shù)為：

(26)

其中：α=[α1α2α3]，并且使A21α+A22滿足Hurwitz判定條件。

由滑模面函數(shù)滿足σ2=δ1-αδ2=0，可得δ1=αδ2，因此由式(21)和(25)，得：

(27)

由于(A21α+A22)滿足Hurwitz判定條件，式(21)表示的系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定的。因此，有δ2→0且δ1=αδ2→0，則由定義式δ1=e2，δ2=[e1φ λ]，有e1→0，e2→0，φ→0，ω→0。

設(shè)計(jì)滑?？刂破鳛椋?/p>

(28)

其中：ξ>0。

下面證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，取Lyapunov函數(shù)為：

(29)

則：

(30)

表明非最小相位系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定的。

(31)

sI-(A21α+A22)的行列式為：

(32)

由勞斯判據(jù)得：

(33)

因此，只要α=[α1α2α3]滿足式(33)，即可保證非最小相位系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定性。

4 仿真分析

圖2 仿真結(jié)果圖

從圖2可以看出，系統(tǒng)在所設(shè)計(jì)的控制器下能夠很好的實(shí)現(xiàn)對位置的無穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤，同時(shí)能保證滾轉(zhuǎn)角姿態(tài)的鎮(zhèn)定，且當(dāng)初始狀態(tài)存在一定誤差的情況下能夠快速響應(yīng)跟蹤。

5 結(jié)論

本文建立了VTOL飛行器動(dòng)力學(xué)模型，并通過系統(tǒng)模型零動(dòng)態(tài)的分析，將其解耦成一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)非最小相位系統(tǒng)，利用理想內(nèi)模將輸出跟蹤問題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)跟蹤誤差，分別對解耦的兩個(gè)系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)了滑?？刂破鳎肔yapunov理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定，并且具有一致漸近穩(wěn)定，同時(shí)給出了控制參數(shù)的求取過程。最后通過仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的滑?？刂破髂軌?qū)崿F(xiàn)位置的無穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤控制，具有較強(qiáng)的魯棒性。

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Sliding Mode Controller Design for VTOL Aircraft

Wang Yuanchao，Sun Hui

(Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033, China)

The Vertical takeoff and landing aircraft is a nonlinear underactuated control system with three degrees of freedom and two control inputs. In order to solve the problem of output tracking of the serious coupling VTOL system, firstly, the VTOL dynamic model is decoupled into a minimum phase system and a nonminimum phase system. And then, the sliding mode controllers are designed respectively for the two decoupling system, meanwhile, the system's stability is proved by Lyapunov function. Finally, the simulation results show that the proposed sliding mode controller can achieve the tracking of the trajectory without steady-state error and has strong robustness. The method proposed in this paper can also provide design reference for the output tracking problem of this kind of underactuated system.

VTOL aircraft; underactuated; output tracking; nonminimum phase system; sliding mode control; Lyapunov stability

2015-12-01；

2015-12-25。

中國科學(xué)院三期知識(shí)創(chuàng)新工程資助項(xiàng)目(YYYJ-1122) 。

王元超(1986-)，男，湖北武漢人，碩士，助理研究員，主要從事飛行器飛行控制方向的研究。

1671-4598(2016)06-0102-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.06.028

TP273,TP249

A