江蘇省張家港市合興小學　李春娟

生態(tài)元素：為數(shù)學學習設計智慧的錦囊

江蘇省張家港市合興小學李春娟

數(shù)學是一種文化。數(shù)學學習是用“發(fā)現(xiàn)”和“創(chuàng)造”并舉實現(xiàn)文化傳承的，具有生態(tài)表現(xiàn)力。切入生態(tài)元素，鏈接起以背景、標記、成果、線索、主題、價值的數(shù)學知識資源庫，建構起以集合、交合、磨合、復合、融合、契合的學習方式能源系，為預期的學習結果提供一個智慧的錦囊，促進學習過程中個性化的數(shù)學思考和共性化的經(jīng)驗在場的和諧，擺脫對抗、糾結、消解，走向平和、認同、共識的達成度。

生態(tài)元素；數(shù)學學習；預期；學習結果；智慧

數(shù)學教學的目標是預期的學生數(shù)學學習結果。數(shù)學學習是用“發(fā)現(xiàn)”和“創(chuàng)造”并舉實現(xiàn)文化傳承的，因此，數(shù)學學習的生態(tài)表現(xiàn)力非常突出。生態(tài)元素，幫助學生基于一次次預期的學習結果形成數(shù)學思考的立場，實現(xiàn)提升智慧的視角。在實際的研究中，如何切入生態(tài)元素，促進學生的數(shù)學學習，打開智慧的錦囊呢？下面我結合自己的教學研究實例，談談自己的一些做法和思考。

一、選擇背景，前提與結果集合生態(tài)元素

計算、證明、推理是數(shù)學學習的三大重要能力。推理導向前提與結果的關系是學生思維能力的重要和關鍵環(huán)節(jié)。一年級的數(shù)學學習傾向于生活認識經(jīng)驗逐步發(fā)展成數(shù)學思維活動經(jīng)驗，在生活化和數(shù)學化之間，選擇背景，表達出前提與結果，集合生態(tài)元素是主要任務。例如，認識幾和第幾是一年級上冊認數(shù)安排的教學內(nèi)容，對于是幾的認識、表示事物的多少、基數(shù)的含義，學生平時接觸很多；但是對于第幾、表示事物的位置、序數(shù)的含義，還是需要建立觀察和判斷的秩序，如從上往下，還是從下往上，還有左右、前后的角度，所以這一部分內(nèi)容是需要學生自己既可以符合生活習慣做出一個判斷，也可以根據(jù)實際情況自主去選擇順序觀察做出多樣化的結果。教材上小猴撈月的故事中，如下右圖所示，戴帽子的小猴就是一個特例，實現(xiàn)問題的背景的陳述意義是很重要的。在課堂上，多數(shù)學生填寫的結果是第4只，少數(shù)學生填寫的是第2只。為什么結果不一樣？我把這個問題給學生了，學生自己去發(fā)現(xiàn)自己的觀察角度和別人的想法不一樣，體會到結果表示的意義不一樣。在這里，我指出了選擇觀察的順序再確定排列的位置需要認真想一想，明確順序了才能確定排列的位置。數(shù)學學習的一個意義，定量刻畫和定性描述的結合，這里真是很好地體現(xiàn)了。數(shù)學表達的根據(jù)，條理性，前提和結果的關系，有怎樣的前提，也就是問題的背景來決定著思考的結果，這里不能矛盾。很好地把數(shù)學的說理、分析、判斷、推理推向一個深刻的層次。低年級的數(shù)學問題情境具有童話故事色彩，同時也具有挑戰(zhàn)性的激勵。數(shù)學是簡單的，數(shù)學又是不簡單的。讓學生的思維從已有的經(jīng)驗中組織起數(shù)學知識，可比性，數(shù)學化，呈現(xiàn)知識的建構過程，也凸顯思維發(fā)展經(jīng)歷的過程，看數(shù)學、懂數(shù)學、用數(shù)學、玩數(shù)學、學數(shù)學，讓學生在課堂上成為一個偉大的發(fā)現(xiàn)者，創(chuàng)造者。

二、賦予標記，形式與內(nèi)容交合生態(tài)元素

數(shù)學是人類文化的重要組成部分，它以自己特有的表征、符號化來不斷地豐富自己的內(nèi)涵，同時又在不斷地擴大外延。在直觀和抽象之間，賦予標記，表達出形式與內(nèi)容，交合生態(tài)元素是必經(jīng)環(huán)節(jié)。例如，0的認識教學安排在認識1到5后，教材通過童話情境引入0的認識，接著通過多角度來認識，0還可以表示起點、表示分界點、表示編碼、表示狀態(tài)。0在生活中豐富的表現(xiàn)性突出了對于學生需要組織自己已有的認知經(jīng)驗。教材呈現(xiàn)的素材并不陌生，學生都有感性接觸，對0的認識研究，就是依靠數(shù)學教學來達到對數(shù)學化的建構，同時完成自然數(shù)從無到有的一個認識序列的建立。我作了思考和預設，對于0的外形的樣子，學生在書寫時感到有困難，這是因為他們的觀察空間和把握能力還是需要指導的，因此在書寫時加強對比，學生就容易發(fā)現(xiàn)范例的書寫和自己書寫的不同，修改自己的起筆、運筆、收筆的過程。兒童的注意力、可比性就在于觀察深入，修正自己的觀察角度。為什么用一個空的符號表示？我想要是結合原來數(shù)的表示，用方框或者空著，后來人類發(fā)現(xiàn)就用圓圈表示，然后完善成現(xiàn)在的書寫樣子。這樣的話，讓學生理解起來，一個也沒有可以用0來表示，再衍生出其他的作用，那么從數(shù)學知識的符號化歷史上滲透數(shù)學文化教育，也讓學生知道數(shù)學原來是創(chuàng)造賦予完善變化的過程。

三、規(guī)范成果，發(fā)展與補充磨合生態(tài)元素

荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，數(shù)學學習是不斷地橫向化和縱向化，這就意味著指向知識的廣度和思維的深度上，過程與結果之間，規(guī)范成果，表達出發(fā)展與補充，磨合生態(tài)元素是指示策略。例如，加法是一年級上冊的教學內(nèi)容，對于加法運算的結果，是怎樣算的，學生第一次需要自主去探索和建構，在課堂上，學生出現(xiàn)的狀況是；為什么3+2等于5？有一個學生的思考是3往后再數(shù)2個就得到5了，我肯定了她的想法，同時讓學生在圖中觀察，原來用數(shù)一數(shù)計數(shù)的方法是可以得到結果5的，說的很好。誰還有補充或新的想法？這時課堂上舉的小手多了，一個學生說3和2合成5，用分與合的知識就知道了。我及時肯定了他的想法，也是多數(shù)小朋友的想法，原來我們學習的數(shù)學知識是有聯(lián)系的，前面分與合的知識就是幫助我們更好地學習加法，計算結果的。熟記分與合，就會使學習變得簡單和容易了。第一個學生的發(fā)言的確有道理，進入到20以內(nèi)的加法的計算，湊十法，就是建立在數(shù)的基礎上，方便容易觀察出結果，所以要湊十，這和數(shù)一數(shù)的計數(shù)，在原來的基礎上往后推出幾得到幾，一點也不矛盾，用序數(shù)的意義來建構這種算法也是正確的。用分與合的知識，利用基數(shù)的含義來建構也是正確的。這里是統(tǒng)一的，也是殊途同歸，第一次算法的多樣化，也讓我看到兒童的數(shù)學活動經(jīng)驗，可以直觀數(shù)一數(shù)，推算結果，推向思維一個同化動態(tài)過程，可以抽象合一合，解釋結果，推向思維一個順應平衡的過程。兩者都是把數(shù)的抽象意義、表示的基數(shù)和序數(shù)的含義充分發(fā)揮出了重要的意義。建構意義，思維的生長，印證一次數(shù)學思考的發(fā)展與突破提升的創(chuàng)造力。

四、切換線索，順應與推進復合生態(tài)元素

數(shù)學學習是一個幫助學生完善認知結構的過程，實現(xiàn)邏輯意義—潛在意義—心理意義的過程。潛在意義更多的是讓知識的交接點能夠在邏輯性聯(lián)動和可能性發(fā)展之間，切換線索，表達出順應與推進，復合生態(tài)元素是核心動力。例如，20以內(nèi)的進位加法9加幾是第一課時的教學內(nèi)容，作為計算教學，算法的探索應該是學生必須經(jīng)歷的過程，在出示問題后，組織學生展開討論交流是怎樣算出一共有13個。課堂上的意見有看著圖數(shù)過去，9到10，就是11、12、13，用數(shù)一數(shù)，序數(shù)表示的個數(shù)對應基數(shù)個數(shù)，就得到13了；還有的就把其中的1個青蘋果搬到盒子里，變成了一盒，是10個，外面是3個了，就得到13個了。學生基于自己的理解，都在變魔術。哦，都在變魔術，都先變到了幾10。就變到13了。很了不起的勁兒，還能想個好辦法變魔術呢！只要拿出1個青蘋果到盒子里，就變成10，就得到是十幾了。你會變一變嗎？試一試。學生都能按照要求變出10，得到是十幾了。挑戰(zhàn)成功。那為什么一定要先變出10呢？因為是9加4，9加7，先找到10，就容易得到十幾了。把這樣創(chuàng)造的方法叫作湊十法。湊十是個好辦法，一眼就能得到十幾？簡單方便準確。那你是怎么湊十的呢？要先把9加的數(shù)，分出1和幾。為什么要先分出1呢？因為9和1合成10?？磥?加幾，只要先把幾分一分，分成1和幾。先和9湊成十，十和分出的幾合成十幾就行了。要變出一個10，怎么變的？從算理到方法，建構過程中選擇、判斷、分析、綜合處理。涉及分與合的知識，數(shù)的組成意義知識的提取，思維敞亮在課堂里，魔術的神奇的力量，數(shù)學的創(chuàng)造力量。

五、跟進主題，平衡與調(diào)整融合生態(tài)元素

數(shù)學思維最基本的兩大方面是精確的定量化方法和嚴密的邏輯推理。數(shù)學是關于模式的科學，可見直覺洞察和驗證把握之間，跟進主題，表達出平衡與調(diào)整，融合生態(tài)元素是行動措施。例如，認識100以內(nèi)的數(shù)時安排的思考題，課堂上通過多媒體演示，兩個筆筒里16支的筆，分成8支和8支，就同樣多了，而27支演示到最后還沒結束，學生就大聲說，多1支，把最后的1支放在一個筆筒后，另一個筆筒就少，馬上說27是單數(shù)，不能使分得同樣多。還有一個小朋友說要是3個筆筒，每個筆筒里就9支，就能同樣多了。不難發(fā)現(xiàn)，學生的思維狀態(tài)發(fā)展到的程度，光是發(fā)現(xiàn)單數(shù)不能分成同樣多的兩份還不夠，還發(fā)現(xiàn)可以再調(diào)整，可以分成3份，每份同樣多，要使分得的同樣多改變分的份數(shù)，可見思維又處于另一個狀態(tài)的連接，可行的辦法讓學生從小就有一個思考問題的多面處理手段的發(fā)現(xiàn)。在這里，我想表達兒童學習的思維經(jīng)驗，當他們用于一個問題的解決時，是會自己調(diào)整，他們的想法是豐富的，只是那些豐富在現(xiàn)實和數(shù)學知識之間需要嫁接起一種認識，這種認識包括觀察、體驗、活動、聯(lián)想、打破、立新。就上面的單數(shù)不能等分成兩份，雙數(shù)能等分兩份，后來我又帶學生驗證去觀察體驗一下。找一找身邊的數(shù)，伸出小手，打開手臂，一共有幾根手指？10根，每只手是5根，10是雙數(shù)，分成2份，它能分成同樣多，看來能說明雙數(shù)能分成同樣多的兩份。耳朵、眼睛呢？也能，學生點頭，這樣還保證我們對稱漂亮，我補充提示，那嘴呢，鼻子呢？大家都笑了，不能。我們是在自己身上就能找數(shù)學知識，帶著愉快和輕松，下課了，學習數(shù)學真不失為審美的創(chuàng)造！

六、回歸價值，實踐與應用契合生態(tài)元素

數(shù)學教育始終堅持生活之眼、生長之理、生命之氣，讓學生親歷感受、涵泳體悟，窺見本真情趣、理性崇高壯美。荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為，只要兒童沒對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次。讓數(shù)學回歸生活吧！課內(nèi)和課外之間，回歸價值，表達出實踐與應用，契合生態(tài)元素是智慧訴求。如：我們認識的數(shù)是教材安排綜合與實踐活動，課堂內(nèi)，抓一把豆子數(shù)一數(shù)，估一估，數(shù)一數(shù)時，我主要提出了發(fā)現(xiàn)什么，學生知道抓一把，物體的個兒有大小，所以個兒大的數(shù)量少，個兒小的數(shù)量多，特別是數(shù)綠豆的孩子，一把綠豆很多，數(shù)也來不及數(shù)，數(shù)的時候也要小心，要不要數(shù)錯的。正是通過辨析個兒的大小，就可以推想數(shù)量的多少。這里的數(shù)學可以表達為對一種常識的梳理，也是把觀察和認知的經(jīng)驗用數(shù)學的形式化來表達，看成一個關系的建立，即同樣抓一把，物體的形狀的大小決定它的多少，也是數(shù)和形的關系，是制約關系。課堂外，教材提出最后“你還能數(shù)出校園里哪些物體的個數(shù)？”如下圖所示，適合學生的實踐能力的培育，在課堂上我?guī)W生出去了，并提出了要求，完成的任務，是需要自己記下五種物體的名稱，不會寫的字用拼音代替，然后記下數(shù)出的個數(shù)。排著長長的隊伍，出發(fā)經(jīng)過圖書館大樓、教學樓、辦公樓、回到乒乓臺前，一路數(shù)，有花壇、燈籠、樹、亭子、乒乓桌、燈桿，就是小黃楊數(shù)不清，桂花樹還可以數(shù)清，一路上看、數(shù)、記，走走停停，回到教室里后，開心交流，有的是一樣，有的不一樣。經(jīng)過這樣的發(fā)現(xiàn)，寫生，自己去經(jīng)歷了活動，開放的數(shù)學，去生活看一看，走一走。在實踐的過程中，學生感受到數(shù)學研究的是存在與對應，聯(lián)系與區(qū)別，整體與部分，對立與轉化，事理與數(shù)理，會想與會用，寫照靈動和清遠的智慧。

綜上所述，生態(tài)元素主要關注預期的數(shù)學學習結果基于數(shù)學思考的立場上進而提升智慧的視角。鏈接起以背景、標記、成果、線索、主題、價值的數(shù)學知識資源庫，建構起以集合、交合、磨合、復合、融合、契合的學習方式能源系，為預期的學習結果提供一個智慧的錦囊，促進學習過程中個性化的數(shù)學思考和共性化的經(jīng)驗在場的和諧，擺脫對抗、糾結、消解走向平和、認同、共識的達成度。

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