江蘇省徐州市銅山區(qū)大許中學(xué)　劉　影

數(shù)學(xué)思想——數(shù)學(xué)解題的靈魂——例說數(shù)學(xué)思想在數(shù)列解題中的運(yùn)用

江蘇省徐州市銅山區(qū)大許中學(xué)劉影

數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，數(shù)列中的相當(dāng)一大部分問題都可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的重要思想方法去處理。比如，數(shù)列中的基本量的確定可以依賴方程，把數(shù)列看成特殊的函數(shù)，可以借助于函數(shù)的思想方法研究，探究性的問題可借助于特殊化和賦值的方法。因此，以重要的思想方法來指導(dǎo)數(shù)列解題顯得尤為重要，本文就數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列中的應(yīng)用，舉例說明。

數(shù)列；數(shù)學(xué)思想

一、方程的思想

例1公差不為零的等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn。若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，S8=32，則S10=________。

解析：由a4=a3a7得

（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d）得

2a1+7d=8，則d=2，a1=-3，

答案：60。

【評(píng)注：函數(shù)、方程、不等式是一個(gè)整體，知道其中任何一個(gè)，都可以往其他兩個(gè)轉(zhuǎn)化，數(shù)列中的方程思想主要是是利用數(shù)列中的基本量來確定數(shù)列，進(jìn)而可以明確數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的表達(dá)式來處理問題?！?/p>

二、特殊化思想

例2等差數(shù)列｛an｝中，公差d＞0，前n項(xiàng)和為Sn，a2·a3=45，a1+a5=18。

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

因?yàn)閎n+1-bn=2（n+1）-2n=2（n∈N＊），

所以數(shù)列｛bn｝是公差為2的等差數(shù)列。

【評(píng)注：存在型探索性問題，是指判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)值、圖形、函數(shù)等）不確定的問題。這類問題常常出現(xiàn)在“是否存在”“是否有”等形式的疑問句中，以示結(jié)論有待于確定。解答此類問題的思路是：通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在（或結(jié)論成立）進(jìn)行特殊化，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，找到命題成立的必要條件，進(jìn)而進(jìn)行充分性的論證。】

三、局部與整體思想

例3設(shè)數(shù)列｛an｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，

【評(píng)注：有些問題如果不從問題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)加以認(rèn)真分析、揣摩，而直接從常規(guī)方法入手，往往會(huì)走入解題的泥潭，既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，而如果從整體思維切入，可取得意想不到的效果。若對(duì)Sn，Sn+1，Sn+2做整體變換，則可省去分類討論及復(fù)雜計(jì)算，輕松獲證。結(jié)構(gòu)的巧妙轉(zhuǎn)變，新穎別致，取得了意想不到的效果，給解題帶來了新意，也成為解題新的思維亮點(diǎn)?！?/p>

四、轉(zhuǎn)化與劃歸思想

【評(píng)注：所謂轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易變換的問題，將未解決的問題變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。在處理多元的數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們可以選取其中的常量（或參數(shù)），將其看作“主元”，而把其他的變?cè)醋鞒Ａ浚瑥亩_(dá)到減少變?cè)喕\(yùn)算的策略?！?/p>

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)一樣，是人類在長期研究數(shù)學(xué)的過程中總結(jié)出的寶貴經(jīng)驗(yàn)和智慧結(jié)晶，是數(shù)學(xué)知識(shí)所不能替代的。只有知識(shí)與思想方法并重，知識(shí)與思想方法互相促進(jìn)，才能更深刻地理解數(shù)學(xué)，從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)以至創(chuàng)造數(shù)學(xué)。恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些思想方法，可以起到事半功倍的效果。