劉淑靜

數(shù)列是高考數(shù)學(xué)的主要考查內(nèi)容之一，其試題有著鮮明的特色，發(fā)揮了多層次多角度考查能力的功能.

數(shù)列試題的難度分布幅度大，既有容易的基本題和難度中等的小綜合題，也有綜合性和思考性強(qiáng)的難題，試題形態(tài)多變，時常有新穎的試題入卷.在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；本題舉例說明高考中常出現(xiàn)的數(shù)列綜合問題.供同學(xué)們參考.

一、等差、等比數(shù)列的綜合

等差、等比數(shù)列的綜合問題多以解答題的形式出現(xiàn)，涉及等差、等比數(shù)列的定義，通項公式及前n項和公式，難度適中，求解此類問題要重視方程思想的應(yīng)用.

例1（2016年高考山東理數(shù)）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1.

（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；

（2）令cn=（an+1）n+1（bn+2）n.求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.

分析：（1）根據(jù)an=Sn-Sn-1及等差數(shù)列的通項公式求解；（2）根據(jù)（1）知數(shù)列{cn}的通項公式，再用錯位相減法求其前n項和.

解：（1）由題意知當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=6n+5，

當(dāng)n=1時，a1=S1=11=6×1+5，滿足上式，

所以an=6n+5.

設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由a1=b1+b2a2=b2+b3，

即11=2b1+d17=2b1+3d，可解得b1=4，d=3，

所以bn=3n+1.

（2）由（1）知cn=（6n+6）n+1（3n+3）n=3（n+1）·2n+1，

又Tn=c1+c2+c3+…+cn，

得Tn=3×[2×22+3×23+4×24+…+（n+1）×2n+1]，

2Tn=3×[2×23+3×24+4×25+…+（n+1）×2n+2]，

兩式作差，得

-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-（n+1）×2n+2]

=3×[4+4（2n-1）2-1-（n+1）×2n+2]

=-3n·2n+2

所以Tn=3n·2n+2.

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式、等比數(shù)列的求和、數(shù)列求和的“錯位相減法”.此類題目是數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高.解答本題，列出方程組，確定通項公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計算求和是關(guān)鍵，易錯點(diǎn)是在“錯位”之后求和時，弄錯等比數(shù)列的項數(shù).本題能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計算能力等.

二、數(shù)列的通項與求和

任何數(shù)列問題都離不開數(shù)列的通項公式或求和公式，因此數(shù)列的通項或求和問題是每年的必考熱點(diǎn)，既有客觀題也有解答題.

例2（2016年高考新課標(biāo)3理數(shù)）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1+λan，其中λ≠0.

（1）證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；

（2）若S5=3132，求λ.

分析：（1）首先利用公式an=S1n=1Sn-Sn-1n≥2，得到數(shù)列{an}的遞推公式，然后通過變換結(jié)合等比數(shù)列的定義可證；（2）利用（1）前n項和Sn化為λ的表達(dá)式，結(jié)合S5的值，建立方程可求得λ的值.

解：（1）由題意得a1=S1=1+λa1，故λ≠1，a1=11-λ，a1≠0.

由Sn=1+λan，Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan，即an+1（λ-1）=λan.

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an+1an=λλ-1.

因此{(lán)an}是首項為11-λ，公比為λλ-1的等比數(shù)列，于是an=11-λ（λλ-1）n-1.

（2）由（1）得Sn=1-（λλ-1）n，由S5=3132得1-（λλ-1）5=3132，即（λλ-1）5=132，

解得λ=-1.

點(diǎn)評：等比數(shù)列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明an+1an=q（常數(shù)）；（2）中項法，即證明a2n+1=anan+2.根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項常常要將遞推關(guān)系變形，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列來求解.

三、數(shù)列與不等式的綜合

數(shù)列與不等式的綜合問題是高考的熱點(diǎn)且多出現(xiàn)在解答題中，考查方式主要有三種：（1）判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系；（2）以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；（3）考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明.

例3（2016年高考四川理數(shù)）已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q>0，n∈N*.

（1）若2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列，求{an}的通項公式；

（2）設(shè)雙曲線x2-y2a2n=1的離心率為en，且e2=53，證明：e1+e2+…+en>4n-3n3n-1.

分析：（1）已知Sn的遞推式Sn+1=qSn+1，一般是寫出當(dāng)n≥2時，Sn=qSn-1+1，兩式相減，利用an=Sn-Sn-1，得出數(shù)列{an}的遞推式，從而證明{an}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式得到結(jié)論；

（2）先利用雙曲線的離心率定義得到en的表達(dá)式，再由e2=53解出q的值，要證明不等式，一般想法是求出e1+e2+…+en，但數(shù)列{en}的和不可求，因此我們利用放縮法得en>qn-1，從而有e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1，右邊的和是等比數(shù)列的和，可求，此和即為要證不等式的右邊.最后利用等比數(shù)列的求和公式計算證明.

解：（1）由已知，Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1，兩式相減得到an+2=qan+1，n≥1.

又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan對所有n≥1都成立.

所以，數(shù)列{an}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.從而an=qn-1.

由2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列，可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2，則（2q+1）（q-2）=0，

由已知，q>0，故q=2.所以an=2n-1（n∈N*）.

（2）由（1）可知，an=qn-1.所以雙曲線x2-y2a2n=1的離心率en=1+a2n=1+q2（n-1）.

由e2=1+q2=53解得q=43.

因為1+q2（k-1）>q2（k-1），所以1+q2（k-1）>qk-1（k∈N*）.

于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn-1q-1，故e1+e2+…+en>4n-3n3n-1.

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計算能力.在第（1）問中，已知的是Sn的遞推式，在與Sn的關(guān)系式中，經(jīng)常用n-1代換n（n≥2），然后兩式相減，可得an的遞推式，利用這種方法解題時要注意a1；在第（2）問中，不等式的證明用到了放縮法，這是證明不等式常用的方法，本題放縮的目的是為了求數(shù)列的和.另外放縮時要注意放縮的“度”.不能太大，否則得不到結(jié)果.

四、數(shù)列與函數(shù)的綜合

數(shù)列是特殊的函數(shù)，以函數(shù)為背景的數(shù)列綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯點(diǎn)處的命題特點(diǎn)，難度多為中等或中等偏上，多涉及求數(shù)列的通項公式、數(shù)列的前n項和、數(shù)列的最值問題等.

例4在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），其中λ>0.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn；

（3）證明存在k∈N*，使得an+1an≤ak+1ak對任意n∈N*均成立.

解：（1）由an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），λ>0，

可得an+1λn+1-（2λ）n+1=anλn-（2λ）n+1，

所以數(shù)列{anλn-（2λ）n}為等差數(shù)列，公差為1，首項為0，故anλn-（2λ）n=n-1，

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=（n-1）λn+2n.

（2）設(shè)Tn=λ2+2λ3+3λ4+…+（n-2）λn-1+（n-1）λn①

λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+（n-2）λn+（n-1）λn+1②

當(dāng)λ≠1時，①式減去②式

得（1-λ）Tn=λ2+λ3+λ4+…+λn-（n-1）λn+1=λ2-λn+11-λ-（n-1）λn+1，

即Tn=λ2-λn+1（1-λ）2-（n-1）λn+11-λ

=（n-1）λn+2-nλn+1+λ2（1-λ）2.

這時數(shù)列{an}的前n項和

Sn=（n-1）λn+2-nλn+1+λ2（1-λ）2+2n+1-2.

當(dāng)λ=1時，Tn=n（n-1）2.

這時數(shù)列{an}的前n項和Sn=n（n-1）2+2n+1-2.

（3）為證明“存在k∈N*，使得an+1an≤ak+1ak對任意n∈N*均成立”，

可以轉(zhuǎn)化為思考“存在k∈N*，使得ak+1ak是數(shù)列{an+1an}的最大項”.

本題若用求導(dǎo)法或作差法或作商法來研究數(shù)列的單調(diào)性頗有難度.

可取n=1，2，3，4，根據(jù)an的大小

先大膽猜出an+1an

證明如下：由an=（n-1）λn+2n，λ>0知an>0，

只要證明2an+1<（λ2+4）an（n≥2），

因為（λ2+4）an=（λ2+4）（n-1）λn+（λ2+4）2n

>4λ（n-1）λn+4×2n=4（n-1）λn+1+2n+2

≥2nλn+1+2n+2=2an+1，（n≥2）

所以an+1an

因此，存在k=1，使得an+1an≤ak+1ak對任意n∈N*均成立.

點(diǎn)評：數(shù)列是特殊的函數(shù)，不等式是深刻認(rèn)識函數(shù)與數(shù)列的重要工具，三者的綜合是近幾年高考命題的新熱點(diǎn)，且數(shù)列的重心已經(jīng)偏移到不等式的證明與求解中，而不再是以前的遞推求通項.對于數(shù)列問題中求和類（或求積類）不等式證明，如果是通過放縮的方法進(jìn)行證明的，一般有兩種類型：一種是能夠直接求和（或求積），再放縮；一種是不能直接求和（或求積），需要放縮后才能求和（或求積），求和（或求積）后再進(jìn)行放縮.在后一種類型中，一定要注意放縮的尺度，二是要注意從哪一項開始放縮.