司紅穎

(商丘師范學院 數(shù)學與信息科學學院,河南 商丘 476000)

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定常Stokes問題的新混合元格式

司紅穎

(商丘師范學院 數(shù)學與信息科學學院,河南 商丘 476000)

利用Green公式將定常的Stokes問題轉(zhuǎn)化為一個與其等價的新的混合變分格式,基于新的混合變分格式,對速度和壓力分別用雙二次元和雙線性元進行逼近.該格式避開了H(div)空間,使得空間構(gòu)造簡單；同時在特殊的單元剖分下通過定義插值算子,利用有限元插值理論和一些特殊技巧，得到了速度的能量模及壓力的L2模的最優(yōu)誤差估計.

定常的Stokes問題;新混合元格式;LBB(leak before break)條件;最優(yōu)誤差估計

由于標準有限元法對空間的光滑度要求非常高,在實際應用中產(chǎn)生了許多困難,故產(chǎn)生了混合有限元方法,其一般理論是于20世紀70年代創(chuàng)立的[1-2].相關(guān)文獻提出了一種改進方法[3-4],這種方法雖然條件較多,但較文[1-2]中的條件減弱了,能夠適用于更多問題.定常Stokes問題是流體力學中的一個非常重要的問題,它具有很好的數(shù)值計算效果,對于該問題的研究已經(jīng)取得一系列的研究成果[5-11].但對Stokes問題混合有限元方法的研究一直是一個熱點問題,因為它是一種能夠同時計算其速度和壓力近似解的方法.但這些理論都需要滿足H(div)空間的限制.論文在文[12-13]的啟發(fā)下,給出了定常Stokes問題的一種新的混合元格式,并在特殊單元剖分下,避開了H(div)空間,利用有限元插值理論和一些特殊技巧，得到了速度的能量模及壓力的L2模的最優(yōu)誤差估計.約定文中出現(xiàn)的常數(shù)C都與剖分h無關(guān),在不同的地方取不同的值.另外,文中所采用的Sobolev空間的記號均與文[14]中的記號意義相同.

1 定常Stokes問題的基本理論

考慮下面的Stokes問題:求(u,p)滿足

(1)

其中：Ω?R2是有界凸多邊形區(qū)域,u=(u1,u2)為流體速度,p為壓力,f=(f1,f2)為已知外力 .

(2)

其中：a(u,v)=∫Ωuvdx,b(v,q)=-∫Ωqdivvdx,f(v)=∫Ωfvdx.

設(shè)Th是Ω的擬一致三角形或矩形剖分,h是剖分的最大直徑,則問題(2)的離散形式為:求(uh,ph)∈Hh×Mh滿足

(3)

從此格式中可以看出,Hh,Mh分別逼近H,M.在文[16]中已經(jīng)證明了此格式有如下誤差估計

針對該混合變分形式,最早提出混合元格式的是Hood-Taylor[16],該格式至今仍被應用,但該格式需要滿足離散的LBB(leak before break)條件，且對u,p都是用二次元進行逼近,給實際應用帶來了許多困難.論文在文[12-13]的啟發(fā)下，利用Green公式將問題(1)轉(zhuǎn)化為一個與其等價的新的變分形式,這種格式繞開了H(div)空間,使得空間構(gòu)造簡單,對p用一次元逼近仍可以得到上面的估計結(jié)果.

2 定常Stokes問題的新混合變分形式

考慮定常Stokes問題:求(u,p)滿足

(4)

(5)

其中：a(u,v)=∫Ωuvdx,b(v,q)=∫Ωvqdx,f(v)=∫Ωfvdx.

設(shè)Th是矩形剖分,其長為2h1,寬為2h2,通過連接對邊中點得到4個子矩形T1,T2,T3,T4，如圖1所示.

圖1 單元剖分Fig.1 Element subdivision

定義

令I(lǐng)2u是雙二次拉格朗日插值多項式,定義在T的節(jié)點ai(i=1,2，…,9)上,I1u是定義在4個子矩形T1,T2,T3,T4上的分片雙線性插值多項式.有下面的引理成立：

引理1[17]?u∈C(Ω)，有

(6)

則問題(5)的離散形式為：求(uh,ph)∈Xh×Mh滿足

(7)

在實際應用中要驗證離散的LBB條件,因此往往用Fortin準則來代替.

定義1 稱連續(xù)雙線性泛函b(.,.)是在Xh×Mh上滿足離散的LBB條件,如果存在與h無關(guān)的常數(shù)β>0，使得

(8)

引理2 如果b(.,.)滿足連續(xù)的LBB條件,有

引理3[3]如果引理2成立,則問題(7)的解存在唯一且有下面的誤差估計成立

定理1 如果存在rh:X→Xh，使得對于任意的v∈H，都有b(v-rhv,qh)=0,?qh∈Mh，‖rhv‖1≤C‖v‖1.那么離散問題(7)存在唯一解(uh,ph)∈Xh×Mh,如果問題(5)的解(u,p)∈H3(Ω)2×H2(Ω)，則有下面的誤差估計

∫Ωqdivvdx=∫Ωqdivwdx,?q∈V1.

(9)

由Green公式,(9)式等價于∫ΩI1ψdivvdx=∫ΩI1ψdivwdx，?ψ∈V2，即

定義算子I(w,u)=∫Ωw·(I1u)dx,?w∈V2,有

對一個固定的v定義函數(shù)g(ψ)=∫Ωv·(I1ψ)dx,顯然g(ψ)在V2上連續(xù),由Lax-Milgram引理知下面問題有唯一解,求w∈V2，使I(w,v)=g(v)，?v∈V2,因此(9)式存在唯一解.記w∈V2是(9)式的解,則存在算子rh:H1(Ω)→V2,有w=rhv,∫Ω(v-rhv)·ψdx=0,?ψ∈V1.

由rh的性質(zhì),rh:H→V2∫Ωdiv(rhv-v)·ψdx=0,?ψ∈V1，從而

從而離散的LBB條件成立,故(7)式存在唯一解(uh,ph),且有

定理1得證 .

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(責任編輯 朱夜明)

New mixed element schemes for steady Stokes problem

SI Hongying

(School of Mathematics and Information Science,Shangqiu Normal University,Shangqiu 476000，China)

In this paper,the new equivalent mixed variational form for steady stokes problem was presented by using Green formula.Based on the mixed variational form for steady stokes problem,the velocity and the pressure were approximated by biquadratic and bilinear elements separately,and avoided the H(div) space,and made the space structure simple.Under the special rectangular subdivision,the interpolation operator was defined.Then by using special qualities of interpolation and some novel skill,the error estimates of optimal order were derived both in the norm for the velocity and the L2-norm for the pressure.

steady Stokes problem;new mixed variational form;LBB(leak before break) condition;optimal error estimate

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.06.004

2015-05-06

國家自然科學基金資助項目(11371103)

司紅穎(1979-),女,河南商丘人,商丘師范學院講師.

O175

A

1000-2162(2016)06-0015-04