褚雨薇 管祥善 劉琦 王煜凱

摘要：埃博拉病毒是一種能引起人類和靈長(zhǎng)類動(dòng)物產(chǎn)生埃博拉出血熱的烈性傳染病病毒。文章以2014年西非疫區(qū)為參照，建立虛擬環(huán)境的常微分方程組，利用四階龍格—庫(kù)塔法求解其數(shù)值解，具體通過(guò)C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)，并據(jù)此研究埃博拉病毒的傳播規(guī)律，分析隔離措施的嚴(yán)格執(zhí)行和藥物治療效果的提高等措施對(duì)控制疫情的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;埃博拉病毒;常微分方程組數(shù)值解;四階龍格—庫(kù)塔法;西非疫區(qū) 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中圖分類號(hào)：O175 文章編號(hào)：1009-2374（2016）04-0194-03 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2016.04.096

1 模擬真實(shí)環(huán)境

埃博拉病毒的自然宿主雖尚未最后確定，但已有多方證據(jù)表明猴子及猩猩等野生非人靈長(zhǎng)類動(dòng)物有埃博拉感染現(xiàn)象。該病毒的傳播途徑分為人畜傳播、人人傳播兩種。2014年，在幾內(nèi)亞、塞拉利昂和利比里亞等國(guó)，許多受埃博拉病毒影響的人口都以叢林肉為重要的蛋白質(zhì)和營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)來(lái)源，與叢林中動(dòng)物接觸頻繁。這為人畜之間的病毒傳播創(chuàng)造了條件。

我們現(xiàn)假設(shè)兩個(gè)感染埃博拉病毒的虛擬種群：即某地區(qū)內(nèi)的20萬(wàn)居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接觸到所有的猩猩，當(dāng)接觸到有傳播能力的猩猩后有一定概率感染病毒，而人發(fā)病之后與猩猩的接觸可以忽略。人與猩猩的潛伏期都為2周。并在出現(xiàn)疫情41周后模擬外界醫(yī)療力量的介入，使得人類與猩猩不再發(fā)生接觸，且隔離治療人群的治愈率提高到80%。模擬數(shù)據(jù)詳見(jiàn)附錄。

2 建立數(shù)學(xué)模型

2.1 模型假設(shè)

（1）依據(jù)人或猩猩的健康狀態(tài)，將人或猩猩劃分為健康者、埃博拉感染者（也稱患病者）、退出者（含自愈者、死亡者）;（2）自然封閉條件下，猩猩無(wú)自然遷移，故無(wú)病源的流入、流出，種群數(shù)量不變。人類數(shù)量龐大，在無(wú)大規(guī)模遷移的情況下，認(rèn)為人類數(shù)目為一定值，保持不變;（3）健康者中不包含退出者;（4）人和猩猩自愈后二度感染的概率均為0，人被治愈后二度感染的幾率為0;（5）不存在有效免疫藥物可使人對(duì)埃博拉病毒產(chǎn)生免疫，同時(shí)猩猩對(duì)病毒也不免疫;（6）人的傳染途徑有人傳染人、猩猩傳染人兩條。兩條途徑的傳染率并不相同，分別假設(shè)為傳染率C1和傳染率C2。C1猩猩與猩猩之間傳染途徑只有猩猩傳染猩猩一條，假設(shè)猩猩之間的傳染率為C0;（7）患病人無(wú)法傳染患病猩猩;（8）41周外界介入后，猩猩與人的傳播途徑切斷，隔離患者的治愈率提高到80%，同時(shí)未被隔離的患者治愈率不變。

2.2 符號(hào)說(shuō)明

符號(hào)說(shuō)明如表1所示：

3 模型的建立與求解

3.1 數(shù)據(jù)處理

根據(jù)累計(jì)死亡個(gè)體數(shù)，求得每周死亡個(gè)體數(shù)。同理，根據(jù)累計(jì)自愈個(gè)體數(shù)，求得每周自愈個(gè)體數(shù)。由每周仍處于發(fā)病狀態(tài)的個(gè)體數(shù)加本周自愈個(gè)體數(shù)和本周死亡個(gè)體數(shù)得到每周總患病個(gè)體數(shù)。

由每周總患病個(gè)體數(shù)比總體數(shù)目得到每周患病個(gè)體在總體中的比例A（t）;由相鄰兩周每周患病數(shù)相減得到每周新增患病數(shù)。由總體個(gè)數(shù)減去新增病例累計(jì)和獲得健康個(gè)體數(shù)，并由此得到健康個(gè)體在總體中的比例J（t）;由累加自愈治愈人數(shù)與累加死亡人數(shù)得到退出者總數(shù)量，并由此得到退出者在總體中的比例T（t）。

由于埃博拉病毒的潛伏期是兩周，所以任意一周的新增病例是兩周前處于患病狀態(tài)的個(gè)體傳染的。由新增病例數(shù)比兩周前處于患病狀態(tài)的個(gè)體數(shù)得到該周埃博拉病毒傳染率，由此計(jì)算出每一周的傳染率。通過(guò)MATLAB繪圖，我們得到其近似曲線為一條平行于X軸的曲線，所以通過(guò)加權(quán)平均求得平均傳染率。

因?yàn)槿祟愖畛趸疾€(gè)體不可能為人類傳染所致，所以兩周內(nèi)出現(xiàn)的患病者必為由猩猩傳播而來(lái)的。最初兩周，人每周新增的患病個(gè)數(shù)除以處于兩周前患病狀態(tài)的猩猩個(gè)數(shù)得到猩猩與人之間平均傳染率C1。

兩周之后人患病可由猩猩和人傳播兩種途徑導(dǎo)致，猩猩每周處于患病狀態(tài)的數(shù)量和C1已知，所以每周由猩猩傳播導(dǎo)致人患病的數(shù)量可求出，用每周新增患病人數(shù)減去每周猩猩傳播導(dǎo)致人患病的數(shù)量，即每周由人傳染導(dǎo)致的患病數(shù)量。由每周人傳染導(dǎo)致的患病數(shù)量除以兩周前未被隔離處于患病狀態(tài)的人數(shù)可得到每周埃博拉人與人之間傳染率C1，通過(guò)MATLAB畫(huà)出C2的圖像，可以發(fā)現(xiàn)其圖像為平行于x軸的曲線，可通過(guò)加權(quán)平均求出人與人之間平均傳染率C2。

死亡率是由本周死亡個(gè)數(shù)比本周總病例數(shù)得到。我們由此求得每一周的死亡率。通過(guò)MATLAB繪圖我們得到一條同樣近似平行于X軸的曲線，所以通過(guò)加權(quán)平均，求得疫情穩(wěn)定后平均死亡率。

每周處于未隔離的患者人數(shù)處于每周的處于患病狀態(tài)的總?cè)藬?shù)可得到每周的未隔離率G，其圖像為平行于x軸的曲線，通過(guò)加權(quán)平均求出平均未隔離率G。

同理，我們還得到疫情穩(wěn)定后的平均自愈及治愈率。我們近似地認(rèn)為，在病情爆發(fā)后不久，即疫情穩(wěn)定后，周感染率、周死亡率、周治愈自愈率、周未隔離率都是常值。

3.2 埃博拉病毒的傳播模型

由假設(shè)知，猩猩患病只能由猩猩傳播。每個(gè)患病猩猩每周可使得只的健康猩猩變?yōu)榛疾⌒尚?，由患病猩猩?shù)量得每周共有只健康猩猩被感染。即患病猩猩的增加率，又因?yàn)槊恐茏杂男尚蓴?shù)目為，死亡的猩猩數(shù)目為，所以猩猩患病數(shù)隨時(shí)間變化滿足：

同理，我們得到人類的傳播模型（由前述，所有腳標(biāo)為2的符號(hào)均為人類相關(guān)數(shù)據(jù)，腳標(biāo)為1的符號(hào)為與猩猩相關(guān)數(shù)據(jù)）：

3.3 模型求解

通過(guò)聯(lián)立方程組和數(shù)據(jù)處理，我們使用四階龍格—庫(kù)塔法分別求出人和猩猩群體中健康者和患病者的比例的數(shù)值解。

通過(guò)C程序設(shè)計(jì)編譯程序求解模型所用常微分方程組的數(shù)值解。該程序在前四十組解得檢驗(yàn)中擬合程度極高，故由此得到較為可靠的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。C語(yǔ)言程序代碼詳見(jiàn)附錄。

數(shù)據(jù)擬合如下：

3.4 建立使用免疫藥物后的模型

未被隔離患者的治愈率和被隔離患者的治愈率加權(quán)平均后得到患者的平均治愈率Zh。1-Zh為死亡率與未被治愈率之和。默認(rèn)死亡率與未被治愈率權(quán)重不變。在（1-Zh）中，可以算出死亡率的權(quán)重和未被治愈率的權(quán)重。在嚴(yán)格控制人類與黑猩猩接觸并使用特效藥后的數(shù)學(xué)模型如下：

將之與隔離前模型對(duì)照后發(fā)現(xiàn)，特效防疫藥物的使用極大地提高了治愈率Zh，快速地降低了患病數(shù)。而隔離黑猩猩的措施將黑猩猩傳染致病人數(shù)降為0。

綜上，兩種措施都有效地預(yù)防了疾病的進(jìn)一步擴(kuò)散，抑制了疾病的傳播，使患病人數(shù)的增長(zhǎng)率由正變負(fù)，從而導(dǎo)致患病數(shù)在短期內(nèi)大量且持續(xù)減少。

4 模型的評(píng)價(jià)與推廣

4.1 模型優(yōu)勢(shì)

（1）種群數(shù)量較小時(shí)，通過(guò)求解比例的變化得出結(jié)果較為精確;（2）可以動(dòng)態(tài)地描述種群發(fā)病率、死亡率、自愈率、治愈率、傳染率等多種特征量;（3）四階龍格—庫(kù)塔法通過(guò)數(shù)值求解常微分方程組，很好地?cái)M合了給定的原始數(shù)據(jù)。

4.2 模型缺陷

（1）由于通過(guò)比例而非數(shù)量求解，所以當(dāng)種群數(shù)量較大且比例變化不明顯時(shí)誤差較大;（2）認(rèn)為兩個(gè)“虛擬種群”內(nèi)部個(gè)體總數(shù)在隨時(shí)間變化時(shí)基本不變，未考慮個(gè)體總數(shù)的時(shí)間變化率。

5 附錄

5.1 模擬數(shù)據(jù)

模擬數(shù)據(jù)如表2所示：

5.2 C語(yǔ)言程序代碼

參考文獻(xiàn)

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[4] 劉來(lái)福，何青.用Maple和MATLAB解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題[M].北京：高等教育出版社，1999.

（責(zé)任編輯：王 波）