蔡平

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，反映了函數(shù)值的變化規(guī)律. 在高考中歷考彌新，考查的深度遠遠高于課本.

在討論函數(shù)單調(diào)性時必須在其定義域內(nèi)進行，因此要研究函數(shù)的單調(diào)性就必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集. 接下來就來談?wù)労瘮?shù)單調(diào)性的應(yīng)用.

例1試討論函數(shù)f（x）=xx2+1的單調(diào)性.

分析可采用定義法或?qū)?shù)法判斷.

解法一f（x）的定義域為R，在定義域內(nèi)任取x1

都有f（x1）-f（x2）=x1x21+1-x2x22+1=（x1-x2）（1-x1x2）（x21+1）（x22+1），

其中x1-x2<0，x21+1>0，x22+1>0.

①當x1，x2∈（-1，1）時，即|x1|<1，|x2|<1，

所以|x1x2|<1，

則x1x2<1，1-x1x2>0，f（x1）-f（x2）<0，f（x1）

②當x1，x2∈（-∞，-1]或[1，+∞）時，

1-x1x2<0，f（x1）>f（x2），所以f（x）為減函數(shù).

綜上所述，f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，在（-∞，-1]和[1，+∞）上是減函數(shù).

解法二因為f ′（x）=（xx2+1）′=x2+1-x（x2+1）′（x2+1）2

=x2+1-2x2（x2+1）2=1-x2（x2+1）2，

所以由f ′（x）>0解得-1

由f ′（x）<0解得x<-1或x>1，

所以f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，在（-∞，-1]和[1，+∞）上是減函數(shù).

方法總結(jié)判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的主要方法有：（1）函數(shù)單調(diào)性的定義；（2）觀察函數(shù)的圖象；（3）利用函數(shù)和、差、積、商和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則；（4）利用函數(shù)的導數(shù)等.

例2討論函數(shù)f（x）=axx-1（a≠0）在（-1，1）上的單調(diào)性.

解設(shè)-1

f（x）=a（x-1+1x-1）=a（1+1x-1），

f（x1）-f（x2）=a（1+1x1-1）-a（1+1x2-1）

=a（x2-x1）（x1-1）（x2-1）.

當a>0時，f（x1）-f（x2）>0，

即f（x1）>f（x2），函數(shù)f（x）在（-1，1）上遞減；

當a<0時，f（x1）-f（x2）<0，

即f（x1）

例3已知函數(shù)f（x）=x2+ax （a>0）在（2，+∞）上遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

分析 求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為不等式恒成立時要注意轉(zhuǎn)化的等價性.

解法一設(shè)2

f（x1）-f（x2）=x21+ax1-x22+ax2=（x1-x2）+a（x2-x1）x1x2

=（x1-x2）x1x2-ax1x2<0

恒成立.即當2a恒成立.

又x1x2>4，則0

解法二f（x）=x+ax，f ′（x）=1-ax2>0，

得f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-a），（a，+∞），根據(jù)已知條件a≤2，解得0

方法總結(jié)已知函數(shù)的解析式，能夠判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，反之已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可確定函數(shù)解析式中參數(shù)的值或范圍，可通過列不等式或解決不等式恒成立問題進行求解.

例4函數(shù)y=x-5x-a-2在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

A.a=-3B.a<3C.a≤-3D.a≥-3

解析y=x-5x-a-2=1+a-3x-a+2，

需a-3<0，

a+2≤-1，即a<3，

a≤-3，

所以a≤-3.故選C.

例5已知函數(shù)f（x）對于任意x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x>0時，f（x）<0，f（1）=-23.

（1）求證：f（x）在R上是減函數(shù)；

（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值.

審題視點抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷，仍須緊扣定義，結(jié)合題目作適當變形.

解（1）證法一：因為函數(shù)f（x）對于任意x，y∈R總有f（x）+f（y）=f（x+y），

所以令x=y=0，得f（0）=0.

再令y=-x，得f（-x）=-f（x）.

在R上任取x1>x2，則x1-x2>0，

f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）.

又因為x>0時，f（x）<0，

而x1-x2>0，所以f（x1-x2）<0，即f（x1）

因此f（x）在R上是減函數(shù).

證法二：設(shè)x1>x2，則

f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）

=f（x1-x2）+f（x2）-f（x2）=f（x1-x2）.

又因為x>0時，f（x）<0，而x1-x2>0，

所以f（x1-x2）<0，即f（x1）

所以f（x）在R上為減函數(shù).

（2）因為f（x）在R上是減函數(shù)，所以f（x）在[-3，3]上