孫玲玲，趙俊卿，王　亭

（山東建筑大學理學院，山東濟南250101）

三連桿雙足步行機器人結構建模與運動分析

孫玲玲，趙俊卿*，王亭

（山東建筑大學理學院，山東濟南250101）

雙足機器人具有與人類相似的步行運動方式，對環(huán)境具有較好的適應能力，在機器人研究與應用中具有重要的地位。文章基于三連桿結構雙足步行機器人模型，運用三次函數模擬其直線運動步態(tài)，運用拉格朗日方程描述其關節(jié)力矩，建立了機器人的運動學和動力學模型，闡明了機器人運動過程狀態(tài)與關節(jié)力矩的變化規(guī)律及特點。結果表明：機器人支撐腿力矩為-350～350 N·m遠大于擺動腿力矩；軀干傾角對各關節(jié)驅動力矩的影響比較復雜，即使軀干保持豎直，其驅動力矩也會在-130～130 N·m之間變化；增大步行速度，各關節(jié)力矩都會相應增大；軀干傾角對各關節(jié)驅動力矩的影響比較復雜，在實際應用中需要借助合理的驅動方法穩(wěn)定驅動力矩，實現機器人整體的平穩(wěn)運動。

分析力學；三連桿步行機器人；結構建模；步態(tài)規(guī)劃；關節(jié)力矩

0　引言

在高危與復雜環(huán)境下，機器人以其獨特的優(yōu)勢，成為代替人類作業(yè)的重要工具。與輪式或者履帶式機器人相比，雙足步行機器人具有更好的適應地面環(huán)境的能力，成為近年來研究的熱點。雙足步行機器人的研究涉及力學、仿生學、機械控制理論與控制工程、傳感器信息融合、計算機圖形學等多門學科，具有十分重要的學術意義和應用價值［1-4］。

隨著機械設計與傳感技術的不斷發(fā)展，機器人研究的瓶頸問題已經不在于樣機的研制，而是步行基礎理論的突破。為此，國內外學者開展了大量的研究工作。宋憲璽建立了雙足機器人的混雜動力學模型，并對三連桿平面雙足機器人的運動進行了仿真［1］；槐創(chuàng)鋒等建立了雙足步行機器人腿的可參數化仿真模型，并分析了影響機器人穩(wěn)定性能的參數［2］；烏海東等分析和配置了雙足機器人的腿部自由度，以通用性的原則設置驅動器，生成了運動動畫［3］；史耀強搭建了雙足機器人的實驗平臺，并進行了多關節(jié)規(guī)劃動作調試與分析［4］；曾鶴基于預觀控制的仿人機器人的線性步態(tài)規(guī)劃，通過倒立擺模型建立雙臂擺動產生力矩與擺動角度之間的數學關系，控制生成的擺動角軌跡［5］；王健美等基于Matlab對雙足機器人進行動力學仿真與仿生控制，實現了雙足機器人低能耗的穩(wěn)定行走［6］；贠今天等采用三次樣條插值方法規(guī)劃機器人的前向運動，得到各關節(jié)的平滑運動軌跡［7］；Farshimi等提出了一種被動雙足機器人模型，并進行運動方程的推導與模擬參數的分析［8］；Liu等使用最優(yōu)控制律并結合彈道參數的優(yōu)化方法和微分動態(tài)規(guī)劃，對五連桿雙足機器人進行了行走控制仿真與評估［9］?？梢钥闯觯M管研究人員對不同的機器人結構，采用不同的基礎理論和研究方法，從不同的角度進行了探索，但系統(tǒng)、精確的數學模型還比較缺乏。

步行基礎理論的突破需要建立在系統(tǒng)、完善的基礎理論之上?；谌祟愲p足運動的內在特點，建立精確的數學模型描述機器人的運動，是深入研究機器人步行理論、進行穩(wěn)定性分析與控制的基礎［10-16］。雙足機器人的結構可以采用三、五、七、九連桿等多連桿模型［1-5，9］。文中采用三連桿結構，基于拉格朗日方程建立其動力學方程，用三次函數擬合其腿部運動，得到描述雙足步行機器人運動的精確數學模型，并分析了其運動狀態(tài)。對于更復雜結構機器人的運動描述，該理論具有重要的推廣應用價值。

1　結構模型及建模

三連桿機器人結構模型如圖1所示，AC和BC分別為機器人的支撐腿和擺動腿，長度分別為l1和l2，質量分別為m1和m2則l1=l2，m1=m2；機器人的上身用軀干CD表示，其長度為l3，質量為m3。為簡便起見，假定腿部和軀干均為質量均勻分布的剛性連桿，因而AC、BC和CD的質心C1、C2、和C3分別位于相應連桿的中點。

圖1　三連桿機器人結構模型圖

根據人體運動學資料，以中國中年男子為例，在豎直站立時，其重心在豎直方向的高度約為身體高度的55%～65%，并且重心位置隨著運動狀態(tài)發(fā)生變化［17］。假定三連桿機器人豎直站立時的重心位于髖關節(jié)C點以上、軀干CD的重心以下某處，即由式（1）表示為

式中：z為重心，m；l1、l3分別為支撐腿長度與軀干長度，m；k為比例系數。

由質心的定義得到支撐腿與軀干質量分別由式（2）、（3）表示為

式中：ms為機器人的總質量，kg。

在計算中k為0.2，l1為0.55 m，l3為0.45 m，則m1為0.18 ms，m3為0.64 ms，重心位于身體高度的59.5%處，與管志光的研究結果相吻合［17］。

假定機器人在水平地面上沿x軸方向做步行運動，步行周期為T，步長為S。在任意時刻t，支撐腿AC、擺動腿BC和軀干CD的取向分別用角度q1、q2和q3表示，方向以y軸方向為正，如圖1所示。支撐腿最大取向角用q0表示，在擺動腳著地的瞬間，設q1=-q2=q0，此時A、B的間距即為步長S。

在每個步長范圍內，支撐腿的取向角q1用三次函數式（5）表示為

式中：t為時間，s；a、b、c、d為比例系數。

若q1（t）=-q2（t），且q1（0）=q0，q1（T/2）=0，q1（T）=-q0，則q1由式（6）表示為

考慮某個步行周期，設在任意時刻t，支撐腿AC位于角位置q1（t），角速度為，則支撐腿的動能由式（7）表示為

式中：Ek1為支撐腿動能，J；為支撐腿角速度，rad/ s。

以水平地面作為零勢面，支撐腿的勢能由式（8）表示為

式中：Ep1為支撐腿勢能，J；g為重力加速度，m/s2。對于擺動腿BC，其質心速度由式（9）表示為

擺動腿的動能由式（10）表示為

式中：Ek2為擺動腿動能，J。

擺動腿的勢能由式（11）表示為

式中：Ep2為擺動腿勢能，J。

對軀干CD，其質心速度由式（12）表示為

軀干的動能由式（13）表示為

式中：Ek3為軀干動能，J。

軀干的勢能由式（14）表示為

式中：Ep3為軀干動能，J。

式中：Ek為系統(tǒng)總動能，J；Ep為系統(tǒng)總勢能，J。

將拉格朗日函數分別對其自變量求導，得到式（16）～（21）為

代入拉格朗日方程，各關節(jié)力矩由式（22）表示為

式中：Qi為各關節(jié)力矩，N·m；qi為各關節(jié)的角位置，°；為各關節(jié)的角速度，rad/s。

取i=1，得到支撐腿力矩Q1由式（23）表示為

取i=2，得到擺動腿力矩Q2由式（24）表示為

取i=3，得到軀干力矩Q3由式（25）表示為

最終可將驅動力矩寫成矩陣形式，由式（26）表示為

式中：

將式（26）簡記為式（27）為

式中：M（q）是3×3的對稱矩陣，稱為系統(tǒng)的慣性矩陣；C（q）是3×3的反對稱矩陣，與離心力和科氏力有關；G（q）是3×1的矩陣，為重力項。式（27）反映了關節(jié)力矩與關節(jié)變量、速度、加速度之間的關系。

2　模擬運動分析

取機器人總質量ms=50 kg，軀干取向角q3= 0°，步行周期T=3 s，支撐腿最大取向角q0=15°進行計算，計算結果如圖2、3所示。由圖2可知，在一個步長周期內，隨著時間的延續(xù)，支撐腿取向角由q0變?yōu)椋聪虿叫星胺綌[動30°。擺動角速度與y軸方向相反因而為負值，如圖3所示，角速度大小在起、停時刻為0，t=T/2時最大，接近步長中心時角速度變化趨緩。

圖2　支撐腿的角位置圖

圖3　支撐腿的角速度圖

機器人的各關節(jié)力矩如圖4所示。當T=3 s時，由圖4（a）可以看出，支撐腿力矩范圍為-350～ 350 N·m，擺動腿力矩為-85～85 N·m，支撐腿力矩遠大于擺動腿力矩；豎直軀干的驅動力矩為-130～130 N·m之間，即使軀干保持豎直，隨著腿部的擺動，作用于軀干的力矩也會隨著時間發(fā)生變化。改變步行周期，取T=2 s，得到各關節(jié)的驅動力矩如圖4（b）所示，可以看出，步行周期縮短為2 s，三個驅動力矩都相應增大，說明加快步行速度，需要增大各關節(jié)驅動力矩。

圖4　支撐腿、擺動腿與軀干的關節(jié)力矩圖

改變軀干的姿態(tài)，取軀干向步行前方傾斜的角度q3為0、3、6、9°，周期T=3 s，計算結果如圖5所示。可以看出，軀干傾角對驅動力矩的影響是比較復雜的。在t1=0.25 s和t2=2.73 s附近，曲線相交于一點，在相交點前后不同的時間段，驅動力矩隨軀干傾角的變化呈現出不同的趨勢，隨著軀干傾斜角度的增大，驅動力矩也相應增大，達到最小值與最大值的時間也相應提前。

圖5　軀干前傾角度對驅動力矩的影響圖

3　結論

通過上述研究可知：

（1）三連桿雙足步行機器人模型結構簡單，圖像清晰，能夠較好地反映三次函數和拉格朗日方程在機器人運動學和動力學狀態(tài)描述中的應用；通過改變機器人的質量、行走周期、軀干傾角、腿部擺動幅度等參量，可以實現對不同要求的機器人的控制，對于更復雜結構機器人的結構設計與運動控制具有一定的參考價值。

（2）當機器人總質量ms為50 kg，軀干取向角q3為0°，步行周期T為3 s，支撐腿最大取向角q0為15°時，支撐腿角速度在0～15°/s范圍內平緩變化；支撐腿力矩在-350～350 N·m范圍內變化，遠大于擺動腿力矩變化范圍-85～85 N·m；盡管軀干保持豎直，但其驅動力矩隨著腿部的擺動在-130～130 N·m之間變化。通過縮短步行周期加快步行速度，各關節(jié)驅動力矩都相應增大。軀干傾角對各關節(jié)驅動力矩的影響比較復雜，在實際應用中需要借助合理的驅動方法穩(wěn)定驅動力矩，輔之以軀干的靈活變化，實現機器人整體的平穩(wěn)運動。

［1］ 宋憲璽.雙足機器人的建模與穩(wěn)定性分析［D］.合肥：中國科學技術大學，2010.

［2］ 槐創(chuàng)鋒.方躍法.5連桿雙足機器人建模和控制系統(tǒng)仿真［J］.系統(tǒng)仿真學報，2008，20（20）：5682-5686.

［3］ 烏海東，孔慶忠.雙足機器人運動學分析與仿真［J］.機械制造與自動化，2014，43（1）：171-173，186.

［4］ 史耀強.雙足機器人步行仿真與實驗研究［D］.上海：上海交通大學，2008.

［5］ 曾鶴.仿人機器人的步態(tài)規(guī)劃和步行控制研究［D］.廣州：廣東工業(yè)大學，2014.

［6］ 王健美，付成龍，黃元林，等.基于Matlab的雙足機器人動力學仿真及仿生控制平臺［J］.系統(tǒng)仿真學報，2011，23（5）：977-983.

［7］ 贠今天，杜萌萌，桑宏強，等.雙足機器人結構設計與步態(tài)規(guī)劃［J］.天津工業(yè)大學學報，2014，33（5）：80-83.

［8］ Farshimi F.，Naraghi M..A passive-biped model with multiple routes to chaos［J］.Acta Mechanica Sinica，2011，27（2）：277-284.

［9］ Liu C.G.，Atkeson C.G.，Su J.B..Neighboring optimal control for periodic tasks for systems with discontinuous dynamics［J］. Science China-Information Sciences，2011，54（3）：653-663.

［10］周雪峰.六自由度雙足機器人步行研究［D］.廣州：華南理工大學，2011.

［11］張世龍.雙足機器人的步態(tài)規(guī)劃及穩(wěn)定性研究［D］.無錫：江南大學，2014.

［12］彭勝軍，稅海濤，楊慶，等.雙足步行機器人轉彎步態(tài)規(guī)劃及其實現［J］.信息與控制，2010，39（6）：783-788，800.

［13］趙瑞林，孟彥京，王聰慧.教學型雙足步行機器人直線行走步態(tài)穩(wěn)定規(guī)劃方法［J］.工業(yè)儀表與自動化裝置，2014（5）：63-66.

［14］薛方正，陳強，厚之成.基于CPG的雙足機器人多層步行控制器設計［J］.控制與決策，2015，30（3）：467-472.

［15］柯文德.基于人體運動相似性的仿人機器人運動規(guī)劃關鍵技術研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2013.

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［17］管志光.人體重心動態(tài)測試系統(tǒng)的研究［D］.青島：山東科技大學，2005.

Modeling and motion analysis of a three-rigid-rod biped walking robot

Sun Lingling，Zhao Junqing*，Wang Ting

（School of Science，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

Biped robot has a similar walking motion pattern with human beings，so it has better adaptability to the environment，and plays an important role in the research and application of the robot.This paper based on the model of biped walking robot with three link structures，according to the description of the linear motion gait and the design of joint moment，through cubic functions and Lagrange equation，establishes the model of kinematics and dynamics，and mainly explored the changing rules and characteristics of the state and joint torque of the robot motion process.The results show thatthe scope of joint torque driving the supporting leg is-350 to 350 N·m，and greater than the swinging leg torque.The trunk angle effecting on the driving torque of each joint is more complex，and its scope of driving torque is-130 to 130 N·m.ncreasthe walking speed，each joint torque will increase accordingly.The research methods and results have a certain reference value for the design and motion control of a robot with a more complex structure.

analytical mechanics；three-rigid-rod walking robot；structure modeling；gait planning；joint torque

O313.7

A

1673-7644（2016）04-0366-06

2016-05-20

國家自然科學基金項目（11204161）

孫玲玲（1991-），女，在讀碩士，主要從事理論力學應用和有機半導體材料與器件等方面的研究.E-mail：834285178@qq.com

*：趙俊卿（1964-），女，教授，博士，主要從事有機半導體材料與器件和理論力學應用等方面的研究.E-mail：zjq@sdjzu.edu.cn