馬芙玲

（中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，廣東中山528436）

媒體報道對傳染病傳播控制的影響

馬芙玲

（中山火炬職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，廣東中山528436）

建立一個三維房室模型，用于研究媒體報道對傳染病在某一地區(qū)的影響.該模型的穩(wěn)定性分析表明：基本再生數(shù)R0＜1時，無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的；如果R0＞1，則一個獨特的地方病平衡點出現(xiàn)，它是漸近穩(wěn)定的；在特殊情況下，地方病平衡點是全局穩(wěn)定的.根據(jù)理論結(jié)果討論媒體報道在傳播中的作用.

SIRS模型；媒體報道；穩(wěn)定性

0　引言

當(dāng)一種傳染病在一個地方傳播時，政府疾控部門將盡最大努力預(yù)防疫病傳播.措施之一是盡快通過媒體宣傳教育，使人們得到正確預(yù)防疾病的知識.掌握預(yù)防疫病的知識越多，越能預(yù)防疫病的傳播.通過研究孟加拉國已婚夫婦中愛滋病傳染的統(tǒng)計分析可知，宣傳教育在提高大眾公共衛(wèi)生意識、預(yù)防愛滋病傳染起了重要作用，接受宣傳教育的人與沒有接受宣傳教育的人染病率分別是4.67％和77.73％［1］.2002年11月，非典作為一種新的傳染性感染疫病首次在中國廣東出現(xiàn)，隨后在亞洲乃至在全球一定范圍內(nèi)傳播.那時媒體宣傳教育對整個疫情傳播起了很大的抑制作用；因此，有必要研究建立一個媒體宣傳教育對傳染病影響的模型，分析比較媒體宣傳教育對傳染病傳播的作用.

最近有學(xué)者在研究媒體報道對傳染病傳播的作用時，討論心理因素影響感染人數(shù)和入醫(yī)院人數(shù)［2］.用房室模型探索多個暴發(fā)新傳染病的情形［3］.用有接觸速度的SEI模型從理論上研究媒體報道對傳染病動態(tài)的影響［4］.

本文通過用新接觸速度μe-mI建立一個SIRS模型，納入了媒體對疾病傳染的影響因子，通過計算研究媒體報道對傳染病傳播動態(tài)影響的理論結(jié)果.

1　與媒體傳播有關(guān)的SIRS模型

考慮到傳染病在某地區(qū)有一定的傳染，將此地區(qū)人口分為三類：可疑者、感染者和恢復(fù)者，分別用S（t），I（t）和R（t）表示.建立一個與媒體傳播有關(guān)的標(biāo)準SIRS模型［5］：

其中：r為易感染者的抽樣數(shù)；γ為感染者的恢復(fù)率；d為自然死亡數(shù)；α為相關(guān)傳染病死亡數(shù)；β（I）=μe-mISI為疾病傳播期值，用來表示特定個體病毒感染的傳播速度；δ為免疫喪失率；m為媒體傳播與傳染病傳播速度的影響因子，若m=0，感染速率是常數(shù)；當(dāng)m＞0時，傳染病者的增加速率減慢.假定所有參數(shù)都是正常數(shù).

有研究者用房室模型及繁殖模型驗證模型（1）的基本再生數(shù)，在無病平衡點是局部穩(wěn)定的［6］.現(xiàn)用2個向量表示新傳染病周期和傳染條件.

對受感染者組成I和R計算如下：

這里，F(xiàn)是非負數(shù)，V是非奇異M－矩陣；因此，F(xiàn)V-1是非負數(shù)，且

由ρ（FV-1）得基本再生數(shù)：

討論R0的符號，有以下定理：

定理1.1對于系統(tǒng)模型（1），若基本再生數(shù)R0＜1則無病平衡點E0是穩(wěn)定的；若R0＞1則是不穩(wěn)定的.

計算得到系統(tǒng)模型（1）在平衡點E0的特征方程：

根據(jù)Routh－Hurwitz準則，當(dāng)且僅當(dāng)R0＜1，所有特征值是負數(shù).

定理1.2系統(tǒng)模型（1）初始條件為：S（0）≥0，I（0）≥0，R（0）≥0，在連續(xù)正區(qū)間D=｛（S，I，R）∈R3|0＜內(nèi)，模型（1）的解正有界.

則有：

因此，在連續(xù)內(nèi)建立的系統(tǒng)模型（1），所有解為正且有界.

定理1.3如果基本再生數(shù)R0＜1，無病平衡點E0在全局D內(nèi)是處于無發(fā)病穩(wěn)定狀態(tài).

證明：選擇Lypunov函數(shù)V=1計算系統(tǒng)模型（1）中V的導(dǎo)數(shù)，得：

2　地方性傳染病平衡的存在

若m=0，即人們還沒受到媒體影響，可驗證當(dāng)R0＞1，系統(tǒng)模型（1）在出現(xiàn)特有的傳染病平衡狀態(tài).即：

如果考慮到媒體和心理因素影響，則平衡如下：

由式（10）得：

由式（9）、式（10）得：

調(diào)遞增指數(shù)函數(shù).

由此得到系統(tǒng)模型（1）特有的傳染病平衡點（S*，I*，R*），有：

3　傳染病平衡的穩(wěn)定

定理3.1若R0＞1，m=0傳染病在平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.

證明：容易得到相關(guān)特征方程：

計算可得：a1a2-a3＞0.

方程（15）的所有特征根都是負數(shù)，由Routh－Hurwitz準則，當(dāng)R0＞1時，是局部漸近穩(wěn)定的［7］.

定理3.2如果R0＞1，m＞0，傳染病在平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.

證明：討論Jacobian平衡矩陣這里，b2=μS*e-mI*m I*+2d+δ+μe-mI*I*，b1=（2d+δ）μS*e-mI*m I*+d（d+δ）+μe-mI*I*（d+δ+μS*e-mI*），b0=d（d+δ）μS*e-mI*m I*-μe-mI*I*γδ+（d+δ）μS*e-mI*μe-mI*I*.

很明顯，由Routh－Hurwitz標(biāo)準，當(dāng)b2＞0［7］時，容易證明：b0＞0，b2b1-b0＞0.

方程（15）的所有特征根為負，由Routh－Hurwitz準則，當(dāng)R0＞1，m＞0時（S*0，I0*，R*0）是局部漸近穩(wěn)定的［8］.

綜上所述，當(dāng)R0＞1時，能得到傳染病局部地區(qū)漸近穩(wěn)定.對特殊情況當(dāng)δ=0時，可以證明當(dāng)R0＞1時，相應(yīng)地方特有的傳染病趨于漸近穩(wěn)定.

4　模型（1）中δ=0的特殊病例

在系統(tǒng)模型（1）中若δ=0，得到如下SIRS模型：

易見模型（17）前2個方程獨立于第3個方程，故只需討論以下模型：

讓方程（18）右邊為零，能證明R0＜1時，模型（18）有一個無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，且

當(dāng)m=0時，得到如下SIRS模型：

它是模型（18）的特例.

容易證明，當(dāng)R0＞1時局部地區(qū)病情趨于穩(wěn)定.

由Bendixson－Dulac準則，在D1范圍內(nèi)無傳染跡象；因此，若R0＞1，在全局范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)m＞0時，容易證明模型（18）當(dāng)R0＞1時，在平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.

根據(jù)Bendixson－Dulac標(biāo)準，當(dāng)R0＞1時，模型（18）在平衡點是局部漸近穩(wěn)定的.

5　數(shù)值模擬

通過數(shù)值對系統(tǒng)模型（1）進行模似計算，顯示媒體對傳染病的一些影響.選取參數(shù)μ=0.002，r=5，d=0.02，α=0.1，γ=0.05，δ=0.01時，R0=2.94＞1.模型（1）存在一個獨特的地方病平衡點.如圖1所示，當(dāng)m=0，無媒體報道的影響，疾病流行出現(xiàn)一個峰值平衡.從圖2可明顯看出，當(dāng)m＞0時，即有媒體報道的影響，此時感染者數(shù)量很少，當(dāng)m變得較大時感染者數(shù)量更少，這些表明媒體傳播能夠影響人群感染數(shù)量.

圖1　m＝0時媒體宣傳的影響曲線Fig.1 The curve represent e the case when m＝0.

圖2　m＝6和m＝100時媒體宣傳的影響曲線Fig.2 The curve represent e the case when m＝6 and m＝100.

6　結(jié)論

通過分別研究無病平衡和傳染病模型（1）、模型（17）的平衡，研究了受媒體傳播影響的SIRS模型.首先，當(dāng)m=0時，分別比較模型（1）和模型（17）的動態(tài)，得出媒體傳播不能改變病毒基本再生數(shù)R0和平衡值；其次，m值只改變流行平衡坐標(biāo)，R0＞1時流行病平衡在局部的穩(wěn)定性是保持不變的.

［1］RAHMAN M S，RAHMAN M L.Media and Education Play a Tremendous Role in Mounting AIDS Awareness among Married Couples in Bangladesh［J］.Aids Research and Therapy，2007，4（10）：10－17.

［2］LIUR，WU J，ZHU H.Media／Psychological Impact on Multiple Outbreaks of E merging Infectious Disease［J］.Computational and Mathematical Mathods in Medicin，2007，8（3）：153－164.

［3］CUI J，S UN Y，Z H UH.The Impact of Media on the Control of Infectious Disease［J］.Journal of Dynamics and Differential Equations，2008，20（1）：31－53.

［4］LIU Yi-ping，CUI Jing-an.The Impact of Media Coverage on the Dynamics of Infectious Disease［J］.International Journal of Biomathematic,2008，1（1）：65-74.

［5］VAN DEN DRIESSCHE P，WATMOUGH J.Reproduction Numbers and S ub-Threshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission［J］.Math.Biosci，2002,180(1-2)：29-48.

［6］王琦，秦斌，陳占和，等.一類差分方程組的全局漸進穩(wěn)定性［J］.廣西工學(xué)院學(xué)報，2011，22（2）：74-77，85.

［7］王琦，張更容，韓松，等.一類高階線性差分方程的全局穩(wěn)定性［J］.廣西工學(xué)院學(xué)報，2013，24（2）：33-35.

［8］MURRAY JD.Mathematical Biology［M］.Berlin：Springer-Verlag，1998.

（學(xué)科編輯：張玉鳳）

Influence of media coverage on the spread and control of infectious diseases

MA Fu-ling
（Department of Public Courses,ZhongShan Huoju Polytechnic,Zhongshan 528436,China）

We develop a three dimensional compartmental model to investigate the impact of media coverage on the spread and control of infectious diseases(such as SARS)in a given region/area.Stability analysis of the model shows that the disease-free equilibrium is globally-asymptotically stable if a certain threshold quantity,the basic reproduction number R0＜1,is less than unity.But if R0＞1,it is shown that a unique endemic equilibrium appears, which is asymptotically stable.On a special case,the endemic equilibrium is globally stable.We discuss the role of media coverage on the spreading based on the theory results.

SIRS model;media coverage;stability.

O175

A

2095-7335（2016）03-0116-06

10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2016.03.020

2016-02-25

教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金教師類資助課題（20120172120050）資助.

馬芙玲，學(xué)士，副教授，研究方向：微分方程模型，E-mail：flima＠sina.com.