尹偉石，張緒財(cái)，徐 飛，姜志俠

(1. 長春理工大學(xué) 理學(xué)院，長春 130022； 2. 東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長春 130024)

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基于改進(jìn)的同倫攝動法求解線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程

尹偉石1，張緒財(cái)1，徐 飛2，姜志俠1

(1. 長春理工大學(xué) 理學(xué)院，長春 130022； 2. 東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長春 130024)

基于改進(jìn)的同倫攝動法求解線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程, 并通過與變分迭代法進(jìn)行比較, 在數(shù)值算例中證明了方法的有效性.

改進(jìn)的同倫攝動法； 變分迭代法； 線性時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程

分?jǐn)?shù)階模型是能夠充分描述和演示各種物理和生物過程和系統(tǒng)變化的一種模型[1-2].由于大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程沒有解析解，因此求解其近似解的數(shù)值技術(shù)被廣泛使用.近年來，變分迭代方法[3-4]已被用于解決各種各樣的問題.本文基于He[5]提出的同倫攝動法，來構(gòu)建一個分?jǐn)?shù)階線性偏微分方程的近似解.同倫攝動法是一種聯(lián)系線性和非線性問題的解析近似解的新方法.同倫攝動方法目前已應(yīng)用于Volterra積分微分方程[6]、非線性振動[7]、非線性問題的分歧[8]、時滯微分方程的分岔[9]、非線性波方程[10]、邊值問題[11]以及其他領(lǐng)域[12].最近，該方法的應(yīng)用已擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)階 Riccati 方程[13]中，Odibat和Momani修改同倫攝動法以解決非線性分?jǐn)?shù)階微分方程.這種改變降低了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)量而使之成為一組線性常微分方程.

1 分?jǐn)?shù)階微積分的一些基本概念

本文考慮的是如下形式的時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程：

(1)

其中L[x]是以下形式的線性微分算子：

(2)

同時滿足的初始條件和邊界條件是

u(x,0)=f(x) 0<α≤1,

u(x,t)→0 當(dāng)|x|→∞,t>0,

(3)

同時

u(x,t)→0 當(dāng)|x|→∞,t>0.

(4)

在上面的式子中ai(i=0,1,…,n),f(x),g(x)和q(x,t)全是連續(xù)函數(shù)并且α是u關(guān)于時間t在Caputo導(dǎo)數(shù)意義下求導(dǎo)的階數(shù).

關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α>0有多種定義的方式.最常用的有兩種，分別是Riemann-Liouville定義和Caputo定義.每個定義都使用Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分和一階導(dǎo)數(shù).而兩種定義之間的差異是求值順序的不同.

由于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在問題的公式化中允許傳統(tǒng)的初始條件和邊界條件被納入，因此本文將運(yùn)用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).本文考慮了一維線性非齊次分?jǐn)?shù)階偏微分方程，其中的未知函數(shù)u(x,t)被認(rèn)為是一個時間因果函數(shù).由此對在Caputo意義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下.

定義1 對于m是超過α的最小整數(shù)，則階數(shù)α>0的Caputo時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子定義為

(5)

2 改進(jìn)的同倫攝動法

同倫攝動方法是一種適用于不同非線性問題的可以提供一個解析近似解的新方法.考慮以下非線性分?jǐn)?shù)階微分方程：

對于t>0,m-1<α≤m，有

(6)

uk(0)=ckk=0,1,2,…,m-1.

(7)

可以構(gòu)造以下的同倫：

(8)

或者

(9)

其中同倫參數(shù)p始終從0到1變化.

在p=0的情況下，方程(8)變成線性方程：

(10)

同時方程(9)變成線性方程：

(11)

在p=1的情況下，方程(8)和方程(9)將變成原始的分?jǐn)?shù)階微分方程，即

而在改進(jìn)的同倫攝動法中，一個最基本的假設(shè)是方程(8)和方程(9)的解可以根據(jù)p的冪級數(shù)展開：

u=u0+pu1+p2u2+p3u3+….

(12)

將方程(12)帶入方程(8)和方程(9)中，并且使之與p的冪級數(shù)展開式相等，于是我們可以計(jì)算得到下列形式的線性方程：

(13)

或者如下形式：

(14)

分別地，其中的表達(dá)式L0,L1,L2,…和N0,N1,N2,…相應(yīng)地滿足以下方程：

(15)

3 應(yīng)用與結(jié)果

考慮如下線性時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程：

(16)

且符合初值條件

u(x,0)=x3.

(17)

根據(jù)同倫攝動法，將初值條件(17)代入方程(16)，可以得到下列線性偏微分方程組：

(18)

計(jì)算上述方程，則有

u0(x,t)=x3，

故有

依次計(jì)算可以得到所求方程的近似解為

利用變分迭代法計(jì)算，同樣可以得到如上結(jié)果.

4 結(jié) 語

同倫攝動法是求解各類線性非齊次分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確和近似解的有力而強(qiáng)大的工具.它提供了在解決實(shí)際問題中更加有效的方法.而改進(jìn)的同倫攝動法則實(shí)現(xiàn)了從分?jǐn)?shù)階微分方程到一系列常微分方程的更簡單的計(jì)算方法.

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Based on Modified Homotopy Perturbation Method for Solving Linear Fractional Partial Differential Equation

YIN Weishi1, ZHANG Xucai1, XU Fei2, JIANG Zhixia1

(1. College of Science, Changchun University of Science and Technology, Changchun 130022, China；2.SchoolofMathematicsScienceandStatistics,NortheastNormalUniversity,Changchun130024,China)

This work is based on the homotopy perturbation method for solving the linear fractional partial differential equations. Some numerical examples are given to illustrate the efficitiveness and convenience of the method through the comparison with variational iterative method.

modified homotopy perturbation method； variational iteration method；linear time-fractional partial differential equation

0427-7104(2016)05-0560-05

2015-09-20

國家自然科學(xué)基金(11471067)；國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃(201510200028)

尹偉石(1980—)，男，博士，講師，E-mail：yinweishi@foxmail.com.

O 175.14

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