曾立萱

（泉州市第七中學(xué)金山校區(qū) 福建泉州 362000）

初中數(shù)學(xué)含參數(shù)問題的處理策略

曾立萱

（泉州市第七中學(xué)金山校區(qū) 福建泉州 362000）

參數(shù)是用字母表述的，它兼有常數(shù)和變數(shù)的雙重特征。參數(shù)問題將思維和運(yùn)算有機(jī)地結(jié)合在一起，能有效地考查考生的思維能力、運(yùn)算能力。在解決含參數(shù)的問題時(shí)常根據(jù)已知條件列出含參方程或不等式，再求出參數(shù)的值或取值范圍。在幾何中用參數(shù)更容易體現(xiàn)幾何元素之間的等量關(guān)系，從而更好地解決幾何題。

參量 多元方程組 不等式組 主元 待定系數(shù)法 函數(shù)最值 幾何代數(shù)化 消參 定值

在初中數(shù)學(xué)中運(yùn)算能力的考查主要是以數(shù)的計(jì)算、含字母的式的運(yùn)算為主，同時(shí)兼顧對(duì)算理和邏輯推理的考查。參數(shù)是用字母加以表述的，它兼有常數(shù)和變數(shù)的雙重特征。參數(shù)問題能有效地考查考生的思維能力、運(yùn)算能力、推理能力，是近年來(lái)中考命題的常見題型。如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效地引導(dǎo)學(xué)生解決含有參數(shù)的問題？筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐談?wù)労袇?shù)問題的幾點(diǎn)處理策略。

一、用字母代替數(shù)，在數(shù)學(xué)計(jì)算中的巧用

有些繁難的數(shù)學(xué)計(jì)算，可以引入?yún)?shù)，直觀地體現(xiàn)幾個(gè)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，再用等式的恒等變形的有關(guān)技巧消元，化難為易。

二、明確哪個(gè)量為參量，并對(duì)參量進(jìn)行討論或求參量的取值范圍

1.方程（組）中參數(shù)取值的不確定性，引發(fā)對(duì)參數(shù)的討論。

一般來(lái)說(shuō)初中階段提及的整式方程或分式方程中出現(xiàn)的未知數(shù)以字母表現(xiàn)，而其他字母都看成常數(shù)（即參數(shù)）。

分析：把x看成未知數(shù)，m看成參數(shù)，把方程的兩個(gè)解用含參數(shù)m的代數(shù)式表示，再求解。

2.多元方程組中，先確定主元，再確定參數(shù)，把主元用參數(shù)的形式表示。

3.不等式（組）參數(shù)的取值范圍如何確定？

1）根據(jù)不等式的性質(zhì)解題。當(dāng)不等式左右兩邊同除以一個(gè)正數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向不變；當(dāng)不等式左右兩邊同除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向改變。故含參數(shù)的一元一次不等式常要討論求解。

2）根據(jù)不等式組的求解方法求解。不等式組求解集的法則是：同大取大；同小取小；小大，大小中間找；大大，小小無(wú)處找（無(wú)解）。若其中一個(gè)不等式含有參數(shù)，則可根據(jù)未知數(shù)的解集，求參數(shù)的取值范圍。

三、用待定系數(shù)法求參數(shù)的值

四、參數(shù)的取值范圍對(duì)函數(shù)最值的影響

當(dāng)函數(shù)解析式確定時(shí)，自變量的取值范圍會(huì)影響到函數(shù)圖象。同樣的函數(shù)解析式，值域就受定義域的影響。尤其是二次函數(shù)的區(qū)間最值問題、一元二次方程根的分布問題，對(duì)初中生來(lái)說(shuō)很有挑戰(zhàn)性。

分析：對(duì)稱軸直線 1=x 確定，區(qū)間會(huì)變。由二次函數(shù)的增減性知：

一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)區(qū)間最值問題的解決模式是：（1）從實(shí)際問題，合理引進(jìn)參量；（2）由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)題意確定參量的取值范圍；（4）畫出區(qū)間函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合并利用函數(shù)的增減性（單調(diào)性）求出最值。當(dāng)然在二次函數(shù)的最值問題中，還有“軸變區(qū)間定”，“軸變區(qū)間變”等類型。而在解決一元二次方程根的問題上，常用到根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式求參數(shù)的范圍。

五、幾何問題代數(shù)化中參數(shù)的應(yīng)用.

幾何不在于做題多而在于把經(jīng)典題題做熟，做透，吃透思路的形成過(guò)程。在某些純幾何背景的題目中，為了解決一些幾何元素（線段、角、面積等）的關(guān)系，需要引入合適的量做為參數(shù)，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素之間的關(guān)系，再通過(guò)處理代數(shù)問題與分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。

例3：在菱形ABCD中，點(diǎn)P在AB邊上，

（1）以過(guò)點(diǎn)P的直線為軸，將四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)B＇、C＇上，且B＇、C＇經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，折痕與四邊形的另一交點(diǎn)為Q，請(qǐng)你作出四邊形

圖①

圖②

圖③

由于點(diǎn)P是運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，故可設(shè)參數(shù)PA =a，PB=b，在解題中將其他動(dòng)線段用a與b的代數(shù)式表示。

總之，含有參數(shù)的問題幾乎覆蓋了方程、函數(shù)，不等式、三角函數(shù)，數(shù)列、幾何等初中數(shù)學(xué)的所有知識(shí)點(diǎn)，也涉及到一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。在解決含有參數(shù)的問題時(shí)，常把許多相關(guān)的量放在同一個(gè)含參方程（組）下，再進(jìn)行簡(jiǎn)化與運(yùn)算。當(dāng)然，應(yīng)弄清對(duì)參數(shù)討論的原因，并且在分類討論時(shí)做到不遺不漏。對(duì)于隱含在動(dòng)念幾何中的含參數(shù)問題（幾何中的定值問題、數(shù)量關(guān)系的證明題），適當(dāng)引入?yún)?shù)，由幾何性質(zhì)與數(shù)形結(jié)合的思想解決更簡(jiǎn)潔有效。在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一些絕對(duì)不等式的成立的條件往往用參數(shù)的集合的形式加以表示；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值主要是受參數(shù)的范圍的影響；多個(gè)參數(shù)的互相制約也會(huì)產(chǎn)生。所以在初中數(shù)學(xué)應(yīng)抓好以上幾點(diǎn)參數(shù)問題的教學(xué)，讓學(xué)生從“變”中找規(guī)律，“舉一反三”，形成數(shù)學(xué)思維的階梯式上升。

[1] 仇海寧.《中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的參數(shù)問題》 2011第39期《考試周刊》之題型研究

[2] 張國(guó)良.《例說(shuō)參數(shù)取值范圍的求法》 [J].《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2009年第3期

[3] 汪祖享 康士凱.《代數(shù)問題幾何化的幾種途徑》 1986年07期《教學(xué)與研究》

[4] 戴向陽(yáng).《 關(guān)于高中數(shù)學(xué)中參數(shù)問題的求解策略》 2011年第9期 《科學(xué)咨詢：下旬》

曾立萱，1976年10月，現(xiàn)在泉州七中初中部任教，福建省三明地區(qū)永安市，已評(píng)為高級(jí)教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教育。