閆丹丹,呂學(xué)琴

(哈爾濱師范大學(xué))

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再生核結(jié)合Adomian分解法求解帶有邊值條件的二階非線性微分方程*

閆丹丹,呂學(xué)琴**

(哈爾濱師范大學(xué))

研究求解帶有邊值條件的二階非線性微分方程的方法. 文中利用再生核(RKM)理論結(jié)合Adomian分解法(ADM)來求解此類問題， 并且給出此類方法的收斂性分析及誤差估計(jì)，同時(shí)通過算例說明該方法的可行性和有效性.

再生核空間；Adomian分解法；二階非線性微分方程；誤差估計(jì)

0 引言

考慮以下帶有邊值條件的二階非線性微分方程

(1)

其中：ai(x),f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，α1,α2∈R，g(x,u)∈(C[a,b]×R).

非線性邊值問題主要產(chǎn)生在有彈性和無彈性的流動、變形的粱方程、以及板極偏轉(zhuǎn)理論的數(shù)學(xué)模型中[1-3]，并在工程技術(shù)、化學(xué)工程、熱彈性學(xué)、周期軌道以及非線性機(jī)械震蕩器，疾病的預(yù)測、人口流動問題中都有廣泛的研究，國內(nèi)外眾多學(xué)者都在熱衷于從事尋找這類微分方程數(shù)值求解的算法，如非線性微分方程反問題的數(shù)值解法[4]. 因此，基于再生核空間理論結(jié)合Adomian分解方法， 給出求解一類帶有邊值條件的二階非線性微分方程的數(shù)值方法. 文中不僅通過算例說明此方法的有效性， 而且將會給出詳細(xì)的收斂性分析和誤差估計(jì)證明.

1 預(yù)備知識

(2)

(3)

(4)

(5)

2 主要結(jié)果

2.1 RKM和ADM結(jié)合

(6)

(7)

其中βik是正交化系數(shù)， βii>0,i=1,2,…

定理2.1 設(shè)u(x)是方程(1)的解，則

(8)

其中F(xk)=f(xk)-g(xk,u(xk)).

對Fourier級數(shù)截?cái)?，得到近似解Un(x)的表達(dá)式

(9)

對方程(6)左右兩邊同時(shí)作用L-1，得

u(x)=L-1f (x)-L-1g(x,u)

(10)

引入Adomian分解方法，給出u(x)和非線性項(xiàng)g(x,u)的級數(shù)形式

(11)

這里Ai是Adomian多項(xiàng)式且表達(dá)形式如下

將方程(11)代入(10)中得

(12)

通過Adomian分解方法，精確解u(x)的成分有下面的循環(huán)關(guān)系

(13)

當(dāng)u(x)的成份ui(x)確定后，級數(shù)解可立刻獲得. 為了計(jì)算求解的目的，可將級數(shù)解進(jìn)行截?cái)?，得到近似解Un,N的表達(dá)形式

(14)

2.2 收斂性分析和誤差估計(jì)

假設(shè)u(x)在x∈[a,b]上是有界的，非線性項(xiàng)g(x,u)滿足Lipschitz條件‖g(u)-g(v)‖≤

L|u-v|在文獻(xiàn)[5]中給出Adomian多項(xiàng)式滿足下式

(15)

證明 (Ⅰ)首先證明Un(x)的收斂性，令Un和Um是任意的部分和，并且m≥n，可以得到Um是再生核空間上的柯西列.

‖Um-Un‖ =‖L-1[g(Um-1)-g(Un-1)]‖

又由于L-1的有界性以及g(u)滿足的Lipschitz條件，

‖Um-Un‖=‖L-1[g(Um-1)-g(Un-1)]‖≤M‖g(Um-1)-g(Un-1)‖≤ML‖Um-1-Un-1‖

所以

‖Um-Un‖≤α‖Um-1-Un-1‖

當(dāng)m=n+1時(shí)，

‖Un+1-Un‖≤α‖Un-Un-1‖≤α2‖Un-1-Un-2‖≤…≤αn‖U1-U0‖

根據(jù)三角不等式性質(zhì)得，

因?yàn)?<α=ML<1，可知1-αm-n<1，則

由‖u1(x)<∞‖，因此當(dāng)n→∞，有

‖Um-Un‖→0

(Ⅱ)通過引理2.1和定理2.2(Ⅰ)，可知

=u0(x)+u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…

定理2.2 (誤差估計(jì))假設(shè)u(x)是方程(1)的解，Un是方程的近似解，則

證明 通過定理2.2(Ⅰ)，有

這樣

下面給出算例，證明此方法的有效性.

3 數(shù)值算例

例1 考慮下面帶有邊值條件的二階非線性微分方程問題

注意：通過表格可知，當(dāng)N越大時(shí)，能得到更好的結(jié)果，這也充分證明了此方法的有效性及收斂性.

表1 精確解和絕對誤差計(jì)算結(jié)果

[1] Du′acska E. Soil settlement effects on buildings[M]. In:Developments in Geotechnical Engineering Elsevier， Amsterdam, 1992.

[2] Soedel W. Vibrations of Shells and Plates[M]. New York，Dekker，1993.

[3] Henderson J，Tisdell C C. Dynamic boundary value problems of the second order Bernstein-Nagumo conditions and solvability[J]. Nonlinear Anal, TMA 2007, 67:1374-1386.

[4] 馬宗立，岳素芳. 一類非線性微分方程反問題的數(shù)值解[J]. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2007,23(5).

[5] El-Kalla I L. Convergence of Adomian’s method applied to a class of Vloterra type integro-differential equations[J]. Int J Didder Equ Appl ，2005(10)：225-234.

(責(zé)任編輯：于達(dá))

The Combined RKM and ADM for Solving Second-order Nonlinear Differential Equations with Boundary Value Conditions

Yan Dandan, Lv Xueqin

(Harbin Normal University)

In this article, the solution of second-order nonlinear differential equations with boundary value conditions is researched. Using the theory of regeneration nuclear (RKM) combined with Adomian decomposition method (ADM) this problem is solved, and convergence analysis and error estimation of such a method are presented, at the same time through the numerical example, the feasibility and validity of the method are showed.

Reproducing kernel space;Adomian Decomposition method; Second-order nonlinear differential equations; Error estimation

2016-01-22

*國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11401145);黑龍江省青年基金項(xiàng)目(JJ2016QN0211)

**通訊作者：hashidalvxueqin@126.com

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1000-5617(2016)02-0001-04