李艷艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

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關(guān)于矩陣的Hadamard積和Fan積的兩個估計式

李艷艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

利用變形的Brauer卵形定理，給出了非負(fù)矩陣的Hadamard積的上界估計式和M-矩陣的Fan積的下界估計式，這兩個估計式改進(jìn)了王峰給出的結(jié)果.

非負(fù)矩陣；Hadamard積；M-矩陣；Fan積；譜半徑；最小特征值

矩陣的特征值問題是矩陣?yán)碚撗芯康闹匾獑栴}之一，因為它在許多學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用.在該類問題的研究中，關(guān)于特殊的矩陣乘積(Hadamard積和Fan積)的特征值界的估計問題，近年來是一熱點問題，許多學(xué)者如黃榮、劉慶兵、趙琳琳、陳付彬、王峰等都給出了較好的結(jié)果[1-5].

本文繼續(xù)該問題的研究，給出了非負(fù)矩陣的Hadamard積的上界估計式和M-矩陣的Fan積的下界估計式，這兩個估計式改進(jìn)了王峰給出的結(jié)果.

設(shè)A=(aij)∈Rn×n，當(dāng)A的任意一個元素aij≥0，就稱A為非負(fù)矩陣，記做A≥0，用ρ(A)表示A的譜半徑.

設(shè)A=(aij)∈Rn×n，當(dāng)A的非主角元素aij≤0(i≠j)，主對角元素aii>0，并且A-1≥0，就稱A為非奇異M-矩陣，用τ(A)表示A的最小特征值.

設(shè)A=(aij)∈Rn×n，B=(bij)∈Rn×n，A°B=(aijbij)，稱為矩陣A和B的Hadamard積.

引入一些記號：

引理1[6]設(shè)A=(aij)∈Cn,n，若x1,x2,…,xn是正實數(shù)，則A的所有特征值都位于復(fù)平面的下列區(qū)域中：

本部分主要給出兩個結(jié)果：非負(fù)矩陣Hadamard積的譜半徑上界和M-矩陣的Fan積最小特征值的下界.

定理1 設(shè)A=(aij)∈Rn,n,B=(bij)∈Rn,n，且A,B≥0,則對任意的i,j∈N，

證明 若n=1，結(jié)論顯然成立，所以總假設(shè)n≥2.

應(yīng)用引理1中變形的卵形定理，

對該不等式去絕對值化簡、整理得:

則該定理得證.

應(yīng)用文獻(xiàn)[5]中的定理1得：ρ(A°B)≤7.362 0，應(yīng)用本文定理1，當(dāng)t=10時，ρ(A°B)≤6.752 9.事實上ρ(A°B)=6.336 5.

定理2 設(shè)A=(aij)∈Mn,B=(bij)∈Mn，則對任意的i,j∈N，

證明 若n=1，結(jié)論顯然成立,所以總假設(shè)n≥2.

應(yīng)用引理1中變形的卵形定理，

對該不等式去絕對值化簡、整理得:

則該定理得證.

應(yīng)用文獻(xiàn)[5]中的定理2得τ(A*B)≥2.983 2，應(yīng)用本文定理2，當(dāng)t=10時，τ(A*B)≥3.057 9.事實上τ(A*B)=3.229 6.參考文獻(xiàn):

[1] HUANG Rong.Some inequalities for the Hadamard product and the Fan produt of matrices[J].Linear Algebra Appl,2008,428(7):1551-1559.

[2] LIU Qing-bing,CHEN Guo-liang.ZHAO Lin-lin.Some new bounds on the spectral radius of matrices[J].Linear Algebra Appl,2010,432(4):936-948.

[3] ZHAO Lin-lin.Two inequalities for the Hadamard product of matrices[J].J Inequal Appl,2012(1):122.

[4] CHEN Fu-bin,REN Xian-hua,HAO Bing.Some new eigenvalue bounds for the Hadamard product and the Fan produt of matrices.

[5] 王峰.矩陣的Hadamard積和Fan積的特征值界的新估計[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,33(3):66-70.

[6] HORN R A,JOHNSON C R.Topics in matrix analysis[M].Cambridge University Press,1995.

責(zé)任編輯：時 凌

Two Estimators on the Hadamard Product and Fan Product of Matrix

LI Yanyan

(School of Mathematics,Wenshan University,Wenshan 663000，China)

Using the Brauer ovaloid theorem of deformation,we gave the upper bound of Hadamard product for nonnegative matrix and the lower bound of Fan product forM-matrix.These two estimators improved the results given by Wang Feng.

nonnegative matrix; Hadamard product;M-matrix; Fan product;spectral radius;minimum eigenvalue

2016-07-16.

云南省教育廳科學(xué)研究項目(2013Y585).

李艷艷(1987- )，女，碩士，講師，主要從事矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用的研究.

1008-8423(2016)03-0307-02

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.09.016

O151.21

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