張 春

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 淮安 223300)

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Logistic電路在參數(shù)周期切換下的動(dòng)力學(xué)行為分析

張 春

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 淮安 223300)

根據(jù)周期切換律建立了logistic參數(shù)切換模型。指出了離散切換系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)出具有各個(gè)子系統(tǒng)動(dòng)力特性組合振蕩模式，同時(shí)整個(gè)系統(tǒng)還會(huì)產(chǎn)生各種分岔，并通過不同的分岔模式連接各種周期軌道甚至使得整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)入混沌振蕩模式。分析表明，鞍結(jié)分岔和跨臨界分岔將使得不動(dòng)點(diǎn)以及不同類型的周期1振蕩之間轉(zhuǎn)遷，而周期1振蕩可經(jīng)級(jí)聯(lián)倍周期分岔通往混沌振蕩，同時(shí)混沌振蕩又可經(jīng)由鞍結(jié)分岔直接演化為周期1振蕩。

離散切換系統(tǒng)；Logistic電路；周期參數(shù)切換；分岔機(jī)理

0 引言

Logistic映射是1976年數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家R. May在英國《自然》雜志上提出的一個(gè)形式上非常簡單卻有著極其復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的一維離散動(dòng)力系統(tǒng)[1]。當(dāng)前在許多實(shí)際問題中，諸如人口預(yù)測、保密通信、化學(xué)反應(yīng)過程等都可以用Logistic進(jìn)行建模仿真，并取得了相當(dāng)多的成果[2-4]。

目前，基于Logistic映射，許多學(xué)者研究了一些新的混沌離散映射。例如，Jiang HB等[5]研究了兩種周期脈沖作用下Logistic映射的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，揭示了脈沖對系統(tǒng)周期解的影響；Fan AL.Zhang XF[6]構(gòu)造了一個(gè)全新的分段Logistic混沌映射，并對其產(chǎn)生的序列的隨機(jī)性以及初值敏感性進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[7]對具有周期邊界條件的二維Logistic組合映射的圖靈不穩(wěn)定性條件進(jìn)行了研究，并通過數(shù)值仿真給出了圖靈不穩(wěn)定性的區(qū)域。本文將基于Logistic映射建立周期參數(shù)切換條件下的Logistic切換模型，以此來研究離散切換系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。

工程中的許多實(shí)際模型都可以用切換系統(tǒng)來描述，而切換模式將導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生非光滑特性，從而呈現(xiàn)大量的非線性行為，對其復(fù)雜性分析引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。Zhang C等[8]討論了Duffing系統(tǒng)以及van der pol系統(tǒng)在時(shí)間以及狀態(tài)混合切換模式下的振蕩以及相應(yīng)的分岔行為；文獻(xiàn)[9]討論了周期參數(shù)切換下Lorenz振子的各種切換振蕩行為，討論了周期切換振蕩通往混沌的道路。然而，很少有工作介紹離散切換系統(tǒng)。許多問題，諸如離散切換系統(tǒng)的復(fù)雜振蕩行為、分岔機(jī)制以及切換模式的影響等都有待進(jìn)一步研究。

本文以典型的Logistic映射為例，借助于Floquet理論研究具有參數(shù)周期切換條件下離散切換系統(tǒng)的振蕩行為及其周期振蕩的分岔行為。

1 模型介紹

考慮如下的Logistic切換電路(如圖1所示)：虛線框(I)由兩個(gè)采樣保持器S/H(1)和S/H(2)組成，將連續(xù)的電壓信號(hào)轉(zhuǎn)化為離散的信號(hào)；虛線框(II)是Logistic模擬電路部分，乘法器M用來實(shí)現(xiàn)非線性平方項(xiàng)，而A1與A2為反向器和反向加法器，開關(guān)S實(shí)現(xiàn)電路在給定的切換模式系實(shí)現(xiàn)閉合與斷開。相應(yīng)的電路方程可表示為

圖1 參數(shù)周期切換下的Logistic切換電路圖

(1)

(2)

2 切換振蕩及分岔機(jī)理

固定參數(shù)μ1=3.75，取為分岔參數(shù)。圖2給出了系統(tǒng)(2)隨參數(shù)μ2變化的分岔圖以及相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖。根據(jù)圖2(a)結(jié)合圖2(b)可知，整個(gè)切換將呈現(xiàn)穩(wěn)定的平衡態(tài)和周期振蕩(相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為負(fù))還會(huì)出現(xiàn)混沌振蕩(相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為正)。

圖2 (a)分岔圖,(b)相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖

當(dāng)μ2<0.643， 整個(gè)系統(tǒng)存在穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)x*=0(圖3(a))，當(dāng)μ2穿過0.643時(shí)，不動(dòng)點(diǎn)x*=0對應(yīng)的Floquet乘子將從軸的正半軸穿過單位圓，表明不動(dòng)點(diǎn)x*=0在μ2=0.643時(shí)將失穩(wěn)經(jīng)由跨臨界分岔演變?yōu)橹芷?切換振蕩(圖3(b))。當(dāng)μ2穿過1.731時(shí)，周期1切換振蕩對應(yīng)Floquet乘子將從軸的負(fù)半軸穿過單位圓，意味著周期1切換振蕩將在μ2=1.731時(shí)失穩(wěn)經(jīng)由倍周期分岔演變?yōu)橹芷?振蕩(圖3(c))，而當(dāng)參數(shù)μ2=2.256時(shí)周期2振蕩又經(jīng)由倒倍周期分岔演變?yōu)橹芷?振蕩(圖3(d))。

當(dāng)2.256<μ2<2.453時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)存在周期1切換振蕩(圖3(d))。當(dāng)μ2穿過2.453時(shí)，周期1軌道的Floquet乘子將從軸的正半軸穿過單位圓，此時(shí)周期1軌道失穩(wěn)經(jīng)由鞍結(jié)分岔演變?yōu)榱硪粋€(gè)周期1振蕩(圖4(a))。隨著參數(shù)μ2的進(jìn)一步增加，系統(tǒng)的周期1振蕩將會(huì)經(jīng)由級(jí)聯(lián)倍周期分岔演變?yōu)橹芷?，周期4，周期8，直至通往混沌振蕩，典型的演變過程 (圖4)。當(dāng)μ2穿過3.244時(shí)，周期1軌道的Floquet乘子將再次從軸的正半軸穿過單位圓，整個(gè)系統(tǒng)的周期1軌道在μ2=3.244時(shí)失穩(wěn)經(jīng)由鞍結(jié)分岔直接進(jìn)入混沌振蕩，典型的演變過程如圖5。

圖3 (a)μ2=0.5; (b)μ2=1.2;(c)μ2=2.0;(d)μ2=2.38

圖4 周期1振蕩經(jīng)由倍周期分岔通往混沌

(a)μ2=2.58; (b)μ2=2.8;

圖5 混沌振蕩經(jīng)由鞍結(jié)分岔直接演變?yōu)橹芷?振蕩 (a)μ2=3.24; (b)μ2=3.3

3 結(jié)論

不同子系統(tǒng)之間相互切換會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。本文建立了logistic參數(shù)周期切換模型，給出了整個(gè)系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分岔圖以及相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)變化情況。討論了系統(tǒng)存在的各種周期切換振蕩，同時(shí)基于Floquet理論指出了鞍結(jié)分岔、跨臨界分岔以及倍周期分岔在整個(gè)系統(tǒng)各種周期振蕩以及混沌振蕩之間轉(zhuǎn)變中起到了重要的作用。

[1] May RA. Simple mathematical models with very complicated dynamics[J].Nature,1976,261(5560): 459-467.

[2] Gibson WT, Wilson WC. Individual-based chaos: extensions of the discrete logistic model[J].J Theor Biol,2013,339(39):84-92.

[3] Singh N, Sinha A. Chaos-based secure communication system using logistic map[J]. Opt LasersEng, 2010,48(3):398-404.

[4] Wang B, Wei X, Zhang Q. Cryptanalysis of an image cryp to system based on logistic map[J].Optik,2013,124(14):1773-1776.

[5] Jiang HB, Li T, Zeng XL, et al. Bifurcation analysis of complex behavior in the Logistic map via periodic impulsive force[J].Acta Phys Sin, 2013,62(12):120508.

[6] Fan JL, Zhang XF. Piecewise Logistic Chaotic Map and Its Performance Analysis[J].Acta Electronica Sinica, 2009,37(4):720-725.

[7] Xu L, Zhang G, Han B, et al. Turing instability for a two-dimensional Logistic coupled map lattice[J].Physics Leters A,2010,374(34):3447-3450.

[8] Zhang C, Bi QS, Han XJ, et al. On two-parameter bifurcation analysis of switched system composed of Duffing and van der Pol oscillators[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2014,19(3):750-757.

[9] Zhang C, Han X J, Bi QS. On symmetry-breaking bifurcation in the periodic parameter-switching Lorenz oscillator[J].SCIENCE CHINA Technological Sciences, 2013,56(9):2310-2316.

(責(zé)任編輯：孫文彬)

Oscillations and Bifurcation Mechanisms of Logistic Circuit with Periodic Switching Scheme

ZHANG Chun

(School of Mathematical Science, Huaiyin Normal University, Huai'an Jiangsu 223300, China)

Based on the periodic parameter-switching scheme, a switched logistic circuit is established, pointing out that the discrete switched systems will exhibit dynamic characteristics of each subsystem with a combination of oscillation modes. The combined movement and the trajectory of which can be divided into parts which were determined by the subsystems. Study shows that the turning point and saddle-node bifurcations determined the transitions between the fixed point and the different types of the period 1 oscillations, while cascading of period-doubling bifurcation may lead the system to chaotic movement and the saddle-node bifurcation may cause the chaos to period 1 oscillation.

discrete switched system; logistic circuit; periodic parameter-switching; bifurcation mechanism

2016-05-23

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11502091)

張春(1984-)，男，江蘇泗陽人，講師，博士，主要從事非線性切換系統(tǒng)研究。

O322，O302

A

1009-7961(2016)05-0077-04