程 莉，焦 陽，李光海

(1.河北科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北石家莊 050018；2.中國特種設(shè)備檢測研究院，北京 100013)

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不同材料儲罐底板中Lamb波頻散曲線的繪制與對比分析

程 莉1，焦 陽1，李光海2

(1.河北科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北石家莊 050018；2.中國特種設(shè)備檢測研究院，北京 100013)

Lamb波頻散特性是進(jìn)行Lamb波無損檢測的前提，為了給儲罐底板的Lamb波檢測提供參考依據(jù)，根據(jù)Rayleigh-Lamb方程，采用二分法求解無限大板中Lamb波的頻散曲線，再通過Matlab軟件對求解過程進(jìn)行編程，繪制出Lamb波在不同儲罐底板材料中傳播的相速度和群速度曲線。為便于對比分析，繪制出各種材料S0模態(tài)相速度頻散特性曲線及A0模態(tài)相速度頻散特性曲線。通過對不同材料頻散特性的分析與比較，獲取對各種材料Lamb波檢測可選的模態(tài)為S0和A0模態(tài)，針對S0模態(tài)和A0模態(tài)分別給出了每種材料在實際檢測中可選的頻厚積范圍。

超聲學(xué)；Lamb波；頻散曲線；儲罐底板；無損檢測

程 莉，焦 陽，李光海.不同材料儲罐底板中Lamb波頻散曲線的繪制與對比分析[J].河北工業(yè)科技,2016,33(5):385-391.

CHENG Li, JIAO Yang, LI Guanghai.Drawing and comparative analysis of Lamb wave dispersion curves in tank bottom plate of different materials [J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology,2016,33(5):385-391.

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，大型儲罐在工業(yè)生產(chǎn)和國家戰(zhàn)略儲備中的應(yīng)用日益廣泛且種類復(fù)雜多樣。儲罐底板受所在地環(huán)境的影響容易產(chǎn)生腐蝕，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效，所以人們對儲罐的安全性能越來越重視。為了更好地對儲罐底板這樣的大型板狀材料進(jìn)行方便、快捷的檢測，彌補(bǔ)傳統(tǒng)檢測技術(shù)的不足，超聲導(dǎo)波技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生[1-9]。Lamb波是超聲無損檢測中最常見的一種導(dǎo)波形式，20世紀(jì)初由LAMB先生研究無限大板中正弦波問題而得名。Lamb波檢測具有快速便捷的特點，非常適合板形結(jié)構(gòu)的大面積無損檢測，而Lamb波的頻散曲線就是為不同材料的板結(jié)構(gòu)選擇合適的模態(tài)和頻率進(jìn)行檢測的主要依據(jù)[10-13]。本文對超聲 Lamb 波的傳播及其頻散曲線的繪制做了詳盡的介紹，繪制出不同儲罐底板材料的頻散曲線，得到了超聲Lamb波在不同材料結(jié)構(gòu)中的傳播特性，并分別對不同材料儲罐底板的超聲Lamb波傳播特性和適宜檢測的單個模態(tài)特性進(jìn)行了分析，并得出結(jié)論。

1 Lamb波的傳播特性及Rayleigh-Lamb方程

Lamb波是在具有2個平行表面的結(jié)構(gòu)中傳播的，是由橫波和縱波相互耦合形成的一種應(yīng)力波。Lamb波傳播的實質(zhì)是平板中質(zhì)點的振動，因其是板中的導(dǎo)波，又名為板波，根據(jù)平板上下表面質(zhì)點振動方向不同可以把Lamb波分成對稱S和反對稱A兩種模態(tài)[10-18]，如圖1、圖2所示。

圖1 對稱型Lamb波Fig.1 Symmetric Lamb wave

圖2 反對稱型Lamb波Fig.2 Anti symmetric Lamb wave

每種模式又可以進(jìn)一步分成相速度不同的若干種模態(tài)，分別用S0,S1,S2,…,Sn和A0,A1,A2,…,Am表示。描述Lamb波頻散特性的是Rayleigh-Lamb方程[11-18]：

對稱模態(tài)(S模態(tài))為

(1)

反對稱模態(tài)(A模態(tài))為

(2)

其中：

(3)

式中：cL為縱波速度；cT為橫波速度；k為波數(shù)；f為Lamb波的頻率；cP為相速度；d為被測結(jié)構(gòu)厚度的1/2。

cL和cT可由式(4)、式(5)計算：

(4)

(5)

式中：E為被測結(jié)構(gòu)的楊氏模量；ρ和v分別表示結(jié)構(gòu)所用材料的密度和泊松比。

群速度cg可以通過相速度cP來求解，cg與cP有如下關(guān)系[11-12,15-17]：

(6)

(7)

因為在特定的材料下，其厚度d是一定的，所以式(7)可以表示為群速度cg與頻厚積fd的關(guān)系：

(8)

2 Lamb波頻散曲線繪制

由于對稱模態(tài)與反對稱模態(tài)的求解方式相同，所以下面以反對稱模態(tài)為例闡述Lamb波頻散曲線的求解、Matlab編程及頻散曲線繪制[11]。

2.1 頻散曲線求解

由于Lamb波是多模態(tài)和頻散的，且板狀材料的選擇決定了橫波波速和縱波波速，在厚度一定時一個頻率下方程可能有多個解，即有多個模態(tài)的相速度cP，因此，將頻散方程轉(zhuǎn)變?yōu)檫m當(dāng)?shù)男问剑梢苑奖愕玫较嗨俣萩P與頻厚積fd的關(guān)系曲線，繼而求得群速度cg與頻厚積fd的關(guān)系曲線，這些曲線就是Lamb波的頻散曲線[16-17]。

以反對稱模態(tài)為例，將式(3)代入式(2)中可得，

(9)

化簡可得：

(10)

再約分提取相速度cP后，化簡可得：

(11)

為了方便求相速度cP與頻厚積fd的關(guān)系，采用二分法計算，把式(11)轉(zhuǎn)化為各因式相乘的形式，令

(12)

使各個因式都為實數(shù)后，由y=0即可用二分法在Matlab里求Rayleigh-Lamb方程在實數(shù)域范圍內(nèi)的解，從而得到頻散曲線。

2.2Matlab編程與頻散曲線的繪制

使用迭代和二分的方法對Lamb方程進(jìn)行求解，可以先確定fd在所需范圍內(nèi)的掃描步長，代入方程函數(shù)，然后在某一fd下掃描cP，分別代入cP1和cP2的值， 當(dāng)方程函數(shù)值y有為零的或者符號相反時，則有一合適的cP值對應(yīng)當(dāng)前的fd，為使方程結(jié)果滿足所需精度，可以在cP1和cP2之間進(jìn)行進(jìn)一步的二分計算[17-22]。

同時，在代入方程時應(yīng)當(dāng)考慮cP,cL和cT的關(guān)系，確定方程中根號下部分的虛實，從而保證得到的結(jié)果是實數(shù)解[16]。例如，在程序中為使方程簡化，可以令

p=abs(sqrt((cp/ct)^2-1))；

q=abs(sqrt((cp/cl)^2-1))；

則cp<=ct時，p和q都為復(fù)數(shù)，又由-i*sin(ix)=sinhx和cos(ix)=coshx可將方程化為y=-4*p*q*sinh(pi*fd/cp*q)*cosh(pi*fd/cp*p)+(-p^2-1)^2*sinh(pi*fd/cp*p)*cosh(pi*fd/cp*q)。

同理，當(dāng)cp>ct且cp<=cl時，y=-4*p*q*sinh(pi*fd/cp*q)*cos(pi*fd/cp*p)+(p^2-1)^2*sin(pi*fd/cp*p)*cosh(pi*fd/cp*q)。

當(dāng)cp>cl時，y=4*p*q*sin(pi*fd/cp*q)*cos(pi*fd/cp*p)+(p^2-1)^2*sin(pi*fd/cp*p)*cos(pi*fd/cp*q)。

將上述式子在程序中寫入1個子程序中，那么在主程序中也可方便調(diào)用。

計算完相速度cP與頻厚積fd的對應(yīng)關(guān)系后，畫出相速度的頻散曲線，之后群速度cg則可以直接調(diào)用已得數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，從而畫出群速度曲線。

圖3即為整個頻散曲線繪制的流程圖。

根據(jù)上述求解方法對Lamb波在儲罐底板常用的a3鋼板中傳播的頻散曲線進(jìn)行了計算，將a3鋼板的材料參數(shù)E=210GPa，v=0.3，ρ=7.85g/cm3輸入程序中，繪制得到相應(yīng)的相速度頻散曲線和群速度頻散曲線如圖4所示[20-22]。

由圖4可得Lamb波頻散曲線的特點[11]如下：

1) 在低頻情況下，模態(tài)較為簡單，只有S0和A0 2種模態(tài)，而頻率越高模態(tài)種類越復(fù)雜，會同時產(chǎn)生2種以上的模態(tài)；

2) 除了S0和A0模態(tài)，其他模態(tài)都有截止頻率，且截止頻率以下不存在該模態(tài)；

3) 各個模態(tài)的群速度不固定，而是隨頻率增加而上下浮動并逐漸趨向某一固定值。

圖3 Matlab頻散曲線繪制流程圖 Fig.3 Flow chart of drawing frequency dispersion curve on Matlab

3 不同材料儲罐底板的頻散特性分析

為了獲取Lamb波對不同儲罐底板材料檢測可選的模態(tài)，選取3種常用的儲罐底板材料，即鋼板、鋁板及玻璃鋼板，分別繪制出頻散曲線并進(jìn)行分析比較。算例中已給出鋼板的頻散曲線，利用上述的計算方法所繪制的另外2種材料的頻散曲線如圖5、圖6所示。

由圖4—圖6可得不同材料的Lamb波頻散曲線的特點：

1) 不同材料的儲罐底板的頻散曲線大概分布和復(fù)雜程度類似，且模態(tài)分布簡單的情況都在低頻厚積時，為使檢測中盡可能地克服多模態(tài)的問題，最好選用A0和S0模態(tài)進(jìn)行檢測；

2) 不同材料的群速度隨頻厚積的變化而變化的過程相似，而其大小卻不太相同，鋼板和鋁板群速度總體大小接近，鋼板的群速度在某些模態(tài)下要比鋁板高，而玻璃鋼的群速度最小。

分析得到，為了方便檢測，選擇頻率和模態(tài)時應(yīng)該盡量選擇低頻厚積，適合的模態(tài)有S0和A0[20-23]，接下來分別對不同材料下這2個模態(tài)的相速度進(jìn)行比較。

3.1 不同材料S0模態(tài)相速度頻散特性分析

將3種材料的S0模態(tài)畫在一張坐標(biāo)圖上，如圖7所示，3種材料的S0模態(tài)走勢相同，都是在低頻厚積下有稍高的相速度，隨著頻厚積的加大快速轉(zhuǎn)折到低相速度的位置，并逐漸趨向固定值。

對比后發(fā)現(xiàn)，雖然3種材料的曲線走勢類似，但是某一頻厚積下的相速度大小不同，鋼板相速度最大，鋁板次之，玻璃鋼相速度最小。另外轉(zhuǎn)折點位置不同，玻璃板轉(zhuǎn)折處的頻厚積最低，之后是鋁板，鋼板的轉(zhuǎn)折處頻厚積最大。

圖4 Matlab計算并繪制a3鋼板的頻散曲線 Fig.4 Frequency dispersion curve of a3 steel plate calculate and drawn by matlab

圖5 鋁板的頻散曲線(E=70 GPa，v=0.33，ρ=2.7 g/cm3) Fig.5 Frequency dispersion curve of aluminum plate (E=70 GPa, v=0.33, ρ=2.7 g/cm3)

圖6 玻璃鋼板的頻散曲線(E=21 GPa，v=0.3，ρ=1.85 g/cm3)Fig.6 Frequency dispersion curve of glass fibre reinforced plastic plate (E=21 GPa, v=0.3, ρ=1.85 g/cm3)

圖7 3種材料S0模態(tài)相速度頻散曲線 Fig.7 Phase velocity curves of S0 modes of three materials

由此可知，不同材料適合檢測頻厚積的范圍不同，鋼板范圍最寬，為0～2 MHz·mm;鋁板次之，為0～1.95 MHz·mm;而玻璃鋼可檢測范圍最窄，為0～1.1 MHz·mm。

3.2 不同材料A0模態(tài)相速度頻散特性分析

將3種材料的A0模態(tài)畫在一張坐標(biāo)圖上，如圖8所示，3種材料的A0模態(tài)走勢相同，都是在低頻厚積下相速度較低，隨著頻厚積的加大而相速度逐漸上升，并慢慢趨向1個固定值。

圖8 3種材料A0模態(tài)相速度頻散曲線 Fig.8 Phase velocity curves of A0 modes of three materials

對比后發(fā)現(xiàn)，雖然3種材料的曲線走勢類似，但是和對稱模態(tài)相同的是某一頻厚積下的相速度大小不同，鋼板相速度最大，鋁板次之，玻璃鋼相速度最小。另外相速度上升的位置不同，玻璃鋼上升處的頻厚積最低，之后是鋁板，鋼板的上升處頻厚積最大。由此可知，不同材料適合檢測頻厚積的范圍不同，鋼板范圍最寬，為0.8～2 MHz·mm；鋁板次之，為0.8～1.95 MHz·mm；而玻璃鋼可檢測范圍最窄，為0.7～1.1 MHz·mm。

總得來看，在不同材料適合檢測的頻厚積范圍下，S0模態(tài)在稍微低頻處的相速度相對較大，而A0模態(tài)在合適的范圍下，則是在相對較高的頻厚積處相速度稍大，由此可以進(jìn)一步縮短范圍，便于選取合適頻率的激勵信號。但由于不同材料的頻散曲線不同，可選范圍也不相同，還需在檢測前對各個材料進(jìn)行進(jìn)一步的分析并選取合適頻率合適模態(tài)的激勵源。

4 結(jié) 論

本文根據(jù)Rayleigh-Lamb方程，采用二分法并通過Matlab編程計算獲取儲罐底板常用3種材料的頻散特性曲線。對3種材料的頻散特性曲線進(jìn)行整體分析，并對S0模態(tài)下和A0模態(tài)下3種材料的頻散特性進(jìn)行對比分析，得出以下結(jié)論：

1)3種材料的相速度和群速度隨頻厚積的變化趨勢相似，但對應(yīng)同一頻厚積其大小不同。鋼板與鋁板接近，玻璃鋼最小。但都在低頻厚積時模態(tài)分布簡單，為使檢測中盡可能地克服多模態(tài)的問題，應(yīng)選用A0和S0模態(tài)。

2)對于S0模態(tài)，3種材料適合檢測頻厚積的范圍不同，鋼板范圍最寬，為0～2 MHz·mm；鋁板次之，為0～1.95 MHz·mm；而玻璃鋼可檢測范圍最窄，為0～1.1 MHz·mm。

3) 對于A0模態(tài)，3種材料適合檢測頻厚積的范圍不同，鋼板范圍最寬，為0.8～2 MHz·mm；鋁板次之，為0.8～1.95 MHz·mm；而玻璃鋼可檢測范圍最窄，為0.7～1.1 MHz·mm。

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Drawing and comparative analysis of Lamb wave dispersion curves in tank bottom plate of different materials

CHENG Li1, JIAO Yang1, LI Guanghai2

(1. School of Information Science and Engineering, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China; 2. China Special Equipment Inspection and Research Institute, Beijing 100013, China)

Lamb wave dispersion characteristic is the precondition of lamb wave nondestructive detection. The article provides an important reference for the Lamb wave detection of the tank bottom plate. Based on the Rayleigh lamb equation, Lamb wave dispersion curves in the infinite plate are obtained according to dichotomy in this paper. Through programming the Matlab software for the solving process, phase velocity curves and group velocity curves that Lamb wave propagate in different tank bottom plat materials are drawn. In order to facilitate the comparison and analysis, the S0 mode phase velocity dispersion characteristic curve and the A0 mode phase velocity dispersion characteristic curve of various materials are also plotted. Through the analysis and comparison of the dispersion characteristics of different materials, the optional mode for Lamb wave detection for different materials are S0 mode and A0 mode. For S0 mode and A0 mode, the optional frequency-thickness product ranges for each material in the actual detection are given, respectively.

ultrasonics; Lamb wave; frequency dispersion curve; tank bottom plate; nondestructive testing

1008-1534(2016)05-0385-07

2016-04-27;

2016-06-17；責(zé)任編輯：李 穆

國家科技支撐計劃項目(211BAK06B03)

程 莉(1991—)，女，河南周口人，碩士研究生，主要從事超聲檢測和傳感器方面的研究。

焦 陽教授。E-mail:jyang939@163.com

TK172

A

10.7535/hbgykj.2016yx05005