劉 安 東， 李 佳， 俞 立

( 浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院， 浙江 杭州 310023 )

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城市路網(wǎng)的魯棒預(yù)測(cè)控制

劉 安 東*， 李 佳， 俞 立

( 浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院， 浙江 杭州 310023 )

針對(duì)模型不確定的城市路網(wǎng)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的魯棒預(yù)測(cè)狀態(tài)反饋控制器．首先，將“存儲(chǔ)與向前”路段線性模型擴(kuò)展為城市路網(wǎng)拓?fù)淠Ｐ停瑫r(shí)考慮實(shí)際情況中路況變化、測(cè)量誤差等因素引起的飽和流量、車輛數(shù)的不確定性的影響，提出了具有不確定參數(shù)的城市路網(wǎng)系統(tǒng)模型．然后，采用線性矩陣不等式處理方法求解一個(gè)具有約束的凸優(yōu)化問題，給出了狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法．最后通過Matlab仿真驗(yàn)證了所提方法能有效緩解城市交通擁堵和優(yōu)化信號(hào)燈．

魯棒預(yù)測(cè)控制；城市路網(wǎng)系統(tǒng)；參數(shù)不確定；線性矩陣不等式

0 引 言

近幾十年來，隨著車輛數(shù)的增加，交通擁堵已經(jīng)成為阻礙社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要因素．在城市路網(wǎng)系統(tǒng)中，由于交通流的時(shí)段性及交通基礎(chǔ)設(shè)施的不可擴(kuò)展性，擁堵問題尤為嚴(yán)重[1]．因此，迫切需要一種有效的控制策略來緩解城市交通擁堵和優(yōu)化路口信號(hào)燈．在已有的控制策略中，實(shí)時(shí)控制策略具有對(duì)當(dāng)前變化的交通狀況做出及時(shí)調(diào)整的優(yōu)點(diǎn)，從而比定時(shí)控制策略具有更廣闊的發(fā)展前景[2]．實(shí)時(shí)控制可分為基于實(shí)時(shí)交通流和基于狀態(tài)空間模型的實(shí)時(shí)控制，其中基于模型的控制方法能更好地運(yùn)用現(xiàn)代控制理論方法，故近年來得到了較快的發(fā)展與應(yīng)用[3]，并成為當(dāng)前的一個(gè)研究熱點(diǎn)．

目前，城市路段模型主要有“存儲(chǔ)與向前”線性模型、改進(jìn)型“存儲(chǔ)與向前”非線性模型、細(xì)胞模型等[4-11]．在這些模型中，Gazis和Potts等提出的“存儲(chǔ)與向前”線性模型相比于其他模型更直觀簡潔、適用性強(qiáng)，且該模型適用于飽和狀態(tài)下的城市路段[4]．基于該線性模型，學(xué)者們提出了一系列控制算法：Diakaki等采用LQR算法求解綠燈相位時(shí)間的反饋控制控制律[5]，雖然簡單方便，但是不能處理帶有約束的最優(yōu)化問題；Aboudolas等采用集中式或分布式模型預(yù)測(cè)控制方法解決帶有約束的綠燈相位時(shí)間的最優(yōu)化問題[6-8]；為了能準(zhǔn)確描述交通系統(tǒng)，Lin等通過對(duì)“存儲(chǔ)與向前”線性模型的改進(jìn)得到了非線性模型，并使用了模型預(yù)測(cè)控制算法，達(dá)到了較好的控制效果[9]．但是“存儲(chǔ)與向前”線性模型和非線性模型是一種精確模型，而實(shí)際情況中路況變化、測(cè)量誤差等因素引起的飽和流量、車輛數(shù)的不確定性會(huì)導(dǎo)致“存儲(chǔ)與向前”模型的參數(shù)不確定[12]，因此基于該模型的算法在具有不確定因素影響下無法獲得很好的控制效果．

針對(duì)實(shí)際情況中路況變化、測(cè)量誤差等因素引起的飽和流量、車輛數(shù)的不確定性所導(dǎo)致的“存儲(chǔ)與向前”線性模型的參數(shù)不確定，本文采用魯棒預(yù)測(cè)控制方法設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器用于調(diào)節(jié)各個(gè)路口的綠燈相位時(shí)間．首先改進(jìn)由“存儲(chǔ)與向前”路段線性模型增廣得到的城市路網(wǎng)拓?fù)淠Ｐ?，同時(shí)考慮參數(shù)不確定性和綠燈時(shí)間約束，得到帶有參數(shù)不確定的路網(wǎng)系統(tǒng)模型；然后利用線性矩陣不等式(LMI)處理方法解決具有約束的凸優(yōu)化問題，并給出控制器求解方法；最后，通過仿真驗(yàn)證魯棒模型預(yù)測(cè)控制策略．

1 城市路網(wǎng)系統(tǒng)建模

文中常用符號(hào)定義見表1．

表1 符號(hào)定義

1.1 “存儲(chǔ)與向前”路段模型

“存儲(chǔ)與向前”路段模型由兩個(gè)相鄰路口(M、N)及連接兩個(gè)路口的一條道路z組成，且z∈OM，z∈IN，如圖1所示．

圖1 “存儲(chǔ)與向前”路段模型

根據(jù)圖1及表1可建立如下的路段模型：

xz(k+1)=xz(k)+T[qz(k)-sz(k)+

dz(k)-uz(k)]

(1)

其中

(2)

sz(k)=tz,oqz(k)

將式(2)代入式(1)，并令X(k+1)=(x1(k+1)x2(k+1) …xnx(k+1))T，即可得如下的城市路網(wǎng)拓?fù)淠Ｐ停?/p>

X(k+1)=X(k)+BU(k)+d(k)

(3)

式中：X(k)=(x1(k)x2(k) …xnx(k))T，其中的各分量表示kT時(shí)刻含有nx條路段的路網(wǎng)系統(tǒng)中的各條路段中的車輛數(shù)；U(k)=(u1(k)u2(k) …unu(k))T，其中的各分量表示[kT,(k+1)T]期間路網(wǎng)系統(tǒng)中的全部路口信號(hào)燈的各相位綠燈時(shí)間占所在信號(hào)燈周期的百分比；矩陣B是由路段模型(1)推導(dǎo)得到的系數(shù)矩陣；列向量d(k) 的各元素分別表示[kT,(k+1)T]期間車輛從各路段中途駛?cè)氲钠骄髁浚?/p>

在實(shí)際交通系統(tǒng)中，每個(gè)相位時(shí)間必須大于最短綠燈時(shí)間且小于最長綠燈時(shí)間，故控制變量U(k)具有以下約束條件：

uz,min≤uz(k)≤uz,max

(4)

其中uz,min、uz,max分別表示路段z中車輛有權(quán)通過路口的最短、最長相位時(shí)間占信號(hào)周期的百分比，uz,min可以為零，表示相應(yīng)相位的綠燈時(shí)間為零，即出現(xiàn)全紅相位．另外，路口j的各相位綠燈時(shí)間百分比之和應(yīng)滿足

(5)

式中：Lj表示路口j的黃燈時(shí)間之和；Cj表示路口j的信號(hào)周期；Pj表示路口j的相位數(shù)．

1.2 不確定模型

為了使得路網(wǎng)控制系統(tǒng)的控制效果達(dá)到一個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)，從而協(xié)調(diào)路網(wǎng)系統(tǒng)中各路段的交通狀況，首先給出如下定義：

ΔX=X-XN， ΔU=U-UN， Δd=d-dN

(6)

式中：XN表示狀態(tài)量X的名義值，即各路段的期望車隊(duì)長度；UN表示控制量U的名義值；dN表示d的名義值，并滿足d=dN，則Δd=0．由XN(k+1)=XN(k)得如下名義系統(tǒng)：

XN(k)=XN(k)+BUN+dN

(7)

由式(7)可知

BUN+dN=0

(8)

從而求解UN轉(zhuǎn)化為如下的求可行解問題：

BUN+dN=0

s.t.uz,min≤uz,N≤uz,max

(9)

結(jié)合式(3)和(7)可得如下狀態(tài)空間模型：

ΔX(k+1)=ΔX(k)+BΔU(k)

(10)

在實(shí)際交通狀況中，測(cè)量誤差、飽和流量的浮動(dòng)等多種外界因素對(duì)交通流量的影響，將會(huì)導(dǎo)致交通模型具有不確定性，為此引入不確定矩陣，則式(10)可以轉(zhuǎn)換為

ΔX(k+1)=(I+ΔA(k))ΔX(k)+

(B+ΔB(k))ΔU(k)

(11)

其中ΔA(k)和ΔB(k)為不確定矩陣且滿足以下等式：

ΔA(k)=Δa(k)Fa=

(12)

ΔB(k)=EbΔb(k)Fb=

(13)

2 魯棒預(yù)測(cè)控制

針對(duì)具有不確定參數(shù)的城市路網(wǎng)模型(11)，采用基于LMI的魯棒預(yù)測(cè)控制方法，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器調(diào)節(jié)每個(gè)路口各相位的綠燈時(shí)間，從而解決城市路網(wǎng)系統(tǒng)擁堵問題．在給出主要定理前，首先引入以下引理：

引理1[13]設(shè)W、M、N、G為具有適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，其中G滿足GTG≤I，W為對(duì)稱矩陣，那么

W+NTGTMT+MGN<0

(14)

當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)ε>0，使得

W+ε-1NTN+εMMT<0

2.1 無窮時(shí)域極小-極大問題

首先定義如下的無窮時(shí)域性能指標(biāo)：

(15)

ΔUT(k+i|k)RΔU(k+i|k)]

式中：S和R為給定的對(duì)稱正定加權(quán)矩陣；ΔX(k)=ΔX(k|k)為kT時(shí)刻的狀態(tài)測(cè)量值；ΔX(k+i|k)為kT時(shí)刻對(duì)(k+i)T時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測(cè)值；ΔU(k+i|k)為kT時(shí)刻求得的(k+i)T時(shí)刻的最優(yōu)控制輸入．

本文的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)如下所示的無記憶狀態(tài)反饋控制器：

ΔU(k+i|k)=K(k)ΔX(k+i|k)

(16)

使得對(duì)所有允許的不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)

ΔX(k+1)=[I+ΔA(k)+(B+

ΔB(k))K(k)]ΔX(k)

(17)

穩(wěn)定．

定理1 對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(17)，如果存在矩陣Q(k)、Y(k)以及常數(shù)ξ1(k)、ξ2(k)和γ(k)，使得以下優(yōu)化問題

(18)

有解，則存在狀態(tài)反饋控制器(16)，使得閉環(huán)系統(tǒng)(17)漸近穩(wěn)定．其中

H2(k)=Q(k)+BY(k)

狀態(tài)反饋控制器增益K(k)=Y(k)Q-1(k)．

證明 選取Lyapunov函數(shù)V(k)=ΔXT(k)·P(k)ΔX(k)，其中P(k)=PT(k)>0．若以下不等式

V(k+i+1|k)-V(k+i|k)≤

-[ΔXT(k+i|k)SΔX(k+i|k)+

ΔUT(k+i|k)RΔU(k+i|k)]

(19)

成立，則式(19)滿足Lyapunov穩(wěn)定條件：

V(k+i+1|k)-V(k+i|k)≤0

(20)

從而可知閉環(huán)系統(tǒng)(17)漸近穩(wěn)定．

將閉環(huán)系統(tǒng)(17)代入不等式(19)可得

LT(k)P(k)L(k)-P(k)+S+KT(k)RK(k)≤0

(21)

其中L(k)=I+ΔA(k)+BK(k)+ΔB(k)K(k)．

對(duì)式(21)應(yīng)用Schur補(bǔ)定理可得

(22)

對(duì)式(22)依次應(yīng)用引理1和Schur補(bǔ)定理可知，上式成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)ε1(k)>0和ε2(k)>0滿足

(23)

其中

對(duì)式(23)兩邊分別左乘、右乘矩陣diag{γ1/2(k)I,γ1/2(k)I,γ1/2(k)I,γ1/2(k)P-1(k),γ1/2(k)I,γ1/2(k)I,γ1/2(k)I}，并令Q(k)=γ(k)P-1(k)，Y(k)=γ(k)K(k)P-1(k),ξ1(k)=ε1(k)γ(k)，ξ2(k)=ε2(k)γ(k)，可得式(18)的條件2．

將式(19)兩邊從i=0到i=∞求和可得

J(k)≤V(k)

(24)

令Lyapunov函數(shù)的上界為γ(k)，則由上式可得

J(k)≤V(k)≤γ(k)

(25)

即求解性能指標(biāo)J(k)的上界可轉(zhuǎn)化為求解V(k)的上界．由上式可得

V(k)=ΔXT(k)P(k)ΔX(k)≤γ(k)

(26)

對(duì)式(26)應(yīng)用Schur補(bǔ)定理可得到式(18)的條件1．

2.2 約束處理

為了使用線性矩陣不等式處理方法處理魯棒預(yù)測(cè)控制，需要對(duì)約束(4)、(5)進(jìn)行必要的處理．

首先，根據(jù)問題(9)求得UN后，式(4)、(5)的左右兩邊分別減去控制變量的名義值UN，并令uz,min=0，每個(gè)路口的信號(hào)周期均為C，則式(4)、(5)可轉(zhuǎn)換為

-uz,N≤Δuz(k+i|k)≤uz,max-uz,N

(27)

(28)

首先，對(duì)約束(27)作如下處理：

(29)

其中

(30)

進(jìn)而將式(30)轉(zhuǎn)換為以下線性矩陣不等式：

(31)

同理，可將約束(28)轉(zhuǎn)換為

(32)

由式(32)可得如下線性矩陣不等式：

(33)

2.3 魯棒預(yù)測(cè)控制算法

對(duì)城市路網(wǎng)采用魯棒控制策略，能有效處理由測(cè)量誤差、飽和流量的浮動(dòng)等引起的交通狀態(tài)的不確定性．本文提出的魯棒預(yù)測(cè)控制算法步驟具體如下：

步驟1 在控制算法迭代初始時(shí)刻，設(shè)k=0,K=0．

步驟2 算法迭代開始，采集kT時(shí)刻的狀態(tài)量，并在線求解優(yōu)化問題(18)、(31)、(33)，得到最優(yōu)解Q(k)、Y(k)，進(jìn)而得到控制器增益

K(k)=Y(k)Q(k)

步驟3 求解得到控制量ΔU(k)=K(k)·ΔX(k)．

步驟4 進(jìn)入下一采樣時(shí)刻，令k=k+1，返回步驟2．

3 仿真與實(shí)現(xiàn)

在仿真與實(shí)現(xiàn)中，考慮采用包含4個(gè)路口的路網(wǎng)系統(tǒng)，如圖2所示．

圖2 4個(gè)路口的路網(wǎng)系統(tǒng)

該路網(wǎng)系統(tǒng)共包含24條車道{L1,L2,…,L24}，但是受控的車道只有{L1,L3,L5,L6,L7,L8,L10,L12,L13,L14,L15,L17,L19,L21,L22,L23}．各車道的轉(zhuǎn)彎率如下：t1,4=0.05，t1,21=0.15，t3,2=0.12，t3,7=0.20，

t5,4=0.05，t5,21=0.15，t6,2=0.12，t6,7=0.20，

t7,9=0.05，t7,14=0.15，t8,5=0.20，t8,11=0.12，

t10,9=0.15，t10,14=0.15，t12,5=0.20，t12,11=0.12，

t13,12=0.15，t13,18=0.05，t14,22=0.20，t14,16=0.12，

t15,12=0.15，t15,18=0.10，t17,22=0.20，t17,16=0.12，

t19,6=0.15，t19,24=0.15，t21,20=0.12，t21,13=0.20，

t22,6=0.15，t22,24=0.05，t23,20=0.12，t23,13=0.20定義p=ST，且

p1=40，p3=50，p5=50，p6=50;

p7=45，p8=50，p10=50，p12=50;

p13=50，p14=50，p15=50，p17=50;

p19=50，p21=50，p22=50，p23=50

每個(gè)路口的信號(hào)燈周期均為C=120 s，其中，黃燈損失時(shí)間為L1=L2=L3=L4=16 s，每個(gè)周期含有4個(gè)相位，如圖3所示．

圖3 路口的相位示意圖

名義系統(tǒng)的XN和dN分別為

XN=(25 25 20 20 20 25 25 20

20 20 25 25 25 20 20 25)T

dN=(9 9 0 0 0 9 9 0 0 0

9 9 9 0 0 9)T

根據(jù)式(9)可求解得UN．選取加權(quán)矩陣S=I，R=1 000I．采用魯棒預(yù)測(cè)控制方法，設(shè)計(jì)控制器調(diào)節(jié)路口信號(hào)燈，使得路口車隊(duì)長度趨于期望值，從而緩解交通擁堵．

對(duì)比圖5中(a)、(b)可知，在無控制情況下，J1路口的各車隊(duì)長度逐漸變長，導(dǎo)致交通擁堵狀況惡化；采用本文提出的具有輸入約束的狀態(tài)反饋控制器，J1路口的車道L1、L3和L6中的車隊(duì)長度經(jīng)過多個(gè)信號(hào)周期的控制調(diào)整后趨于期望的車隊(duì)長度，防止了擁堵狀況的惡化，有效緩解了路口的擁堵狀況．

圖4 路口J1的控制輸入

(a) 魯棒預(yù)測(cè)控制

(b) 無控制

圖5 路口J1的狀態(tài)軌跡

Fig.5 State trajectory of intersectionJ1

4 結(jié) 語

本文將“存儲(chǔ)與向前”路段模型改進(jìn)為具有不確定性的路網(wǎng)系統(tǒng)模型，并且使得輸入量滿足一定的約束條件，采用魯棒預(yù)測(cè)控制方法解決了帶有約束的凸優(yōu)化問題．仿真研究表明：系統(tǒng)滿足約束條件，具有較強(qiáng)的魯棒性，能有效協(xié)調(diào)路網(wǎng)系統(tǒng)中的交通狀況．

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Robust predictive control for urban road network

LIU An-dong*, LI Jia, YU Li

( College of Information Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China )

For urban road network system with model uncertainty, a robust predictive state feedback controller is designed to ensure the closed-loop system asymptotically stable. Firstly, the store-and-forward segment linear model is extended to the urban road network topology model. Considering the influence of saturation flow rate and vehicle number uncertainty caused by the road conditions change and the error of measurement, the urban road network system model with parameters uncertainty is proposed. Furthermore, a convex optimization problem with constraints is solved by linear matrix inequality (LMI) treatment to design the state feedback controller. Finally, the effectiveness of the proposed method to alleviate the urban traffic congestion and optimize the signal lights is demonstrated by Matlab simulation.

robust predictive control; urban road network system; parameter uncertainty; linear matrix inequality (LMI)

1000-8608(2016)02-0202-06

2015-10-05；

2015-11-19．

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273117,61403344).

劉安東*(1985-)，男，博士，講師，E-mail:lad@zjut.edu.cn.

TP273

A

10.7511/dllgxb201602014