安徽省合肥中科大附中 黃嚴(yán)生 高龍錦

盤點向量運算，直擊向量應(yīng)用

安徽省合肥中科大附中 黃嚴(yán)生 高龍錦

向量是數(shù)學(xué)中重要且基本的數(shù)學(xué)概念。向量既有大小又有方向，既有代數(shù)屬性又有幾何屬性，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具，為我們利用代數(shù)方法研究幾何問題提供了方法和思路。本文將從如何利用向量的線性運算和數(shù)量積運算解決問題等方面，對向量的應(yīng)用進(jìn)行討論和分析。

一、向量的線性運算

1.知識盤點

（1）向量的線性運算有加法、減法和數(shù)乘，加法和減法有三角形法則和平行四邊法則，數(shù)乘就是一個實數(shù)與一個向量相乘，其結(jié)果仍是一個向量，所得的向量與原向量共線。

（2）向量共線定理：對于向量a、b（b為非零向量），向量a、b共線?存在唯一實數(shù)，使a=λb。

若A、B、C三點共線，且點O異于A、B、C，根據(jù)向量的減法運算有，將它們代入上式，可得，整理可得。

特別說明，零向量與任何向量均共線，零向量的方向是任意的。

利用向量線性運算可以解決點點共線、線線平行以及線段的等分等問題。

（3）向量基本定理與向量的坐標(biāo)表示：

如果e1、e2是平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于平面內(nèi)任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2（e1、e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）。

在平面向量的運算中，我們經(jīng)常選取適當(dāng)?shù)幕?，將問題中的向量用基底表示，然后進(jìn)行基底向量之間的運算。

若在平面直角坐標(biāo)系中，選擇單位正交基底i、j，方向分別與平面坐標(biāo)系中x軸和y軸的正方向相同，那么平面中任何一個向量a都可以表示為a=xi+yj，（x，y）叫作向量a的坐標(biāo)，于是a用坐標(biāo)表示為a=（x，y）。因此，向量的坐標(biāo)表示是向量基本定理的一種特殊形式。

2.應(yīng)用透視

例1 已知向量e1、e2不共線，，若A、B、D三點在同一條直線上，求實數(shù)λ的值。

②利用向量共線可以證明線線平行問題，但要注意線線平行與向量平行之間的區(qū)別與聯(lián)系。兩直線平行，則直線的方向向量一定平行，但向量平行，表示向量的有向線段可能平行，也有可能共線，這里不一一舉例。

例2 如右圖，已知△OAB中，點C是點B關(guān)于A的對稱點，點D是線段OB的一個靠近B的三等分點，DC和OA交于點E，求的值。

思考 ①利用向量解決幾何問題，首先要選取適當(dāng)?shù)幕?，然后用基底表示相關(guān)的向量，最后利用向量共線定理，建立方程組解出參數(shù)的值；

②O、E、A三點共線，同學(xué)們易于發(fā)現(xiàn)，但C、E、D三點共線，在解題中往往被忽視，從而導(dǎo)致解題受阻。

二、向量的數(shù)量積

1.知識盤點

向量a、b是非零向量，a·b=|a||b|cos〈a，b〉，零向量與任何向量的數(shù)量積均為實數(shù)零。

值得注意的是，向量的數(shù)量積有別于向量的線性運算，向量線性運算的結(jié)果仍然是一個向量，但兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)。

利用向量的數(shù)量積，可以解決距離問題、夾角問題、線線垂直問題等。

2.應(yīng)用透視

例3 在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的三個頂點為O（0，0），A（3，λ），B（4，-3），∠AOB為銳角，求實數(shù)λ的值。

思考 兩個向量的夾角是銳角，能推出這兩個向量的數(shù)量積大于零，但兩個向量的數(shù)量積大于零，不能推出它們的夾角為銳角：當(dāng)兩個非零向量同向時，其數(shù)量積也大于零；同樣，兩個向量的夾角是鈍角，能推出這兩個向量的數(shù)量積小于零，但兩個向量的數(shù)量積小于零，不能推出它們的夾角為鈍角：當(dāng)兩個非零向量反向時，其數(shù)量積也小于零。因此，利用向量的數(shù)量積來研究夾角問題時，要特別注意共線情況。解答中第二個不等式也可以根據(jù)不共線，用不等式4λ+9≠0表示，更加簡單、方便。

例4 在圓O中，若弦AB=3，AC=5，AB、AC不過圓心，求的值。

思考 對數(shù)學(xué)概念的理解要透徹。如果只是死記硬背，我們就不能發(fā)現(xiàn)，也就不能有效地解答問題。另外，在解題時，還要充分利用幾何圖形的性質(zhì)，這樣可以簡化計算。

三、探究與深化

探究 將圓心為O一個圓周n（n≥2，n∈N*）等分，所得的等分點按逆時針順序依次為A1， A2，…，An-1，An，求。

一方面，旋轉(zhuǎn)后圓周上點A1，A2，…，An-1，An分別旋轉(zhuǎn)到A2，…，An-1，An，A1的位置，雖然點的位置發(fā)生改變，但它們的和向量沒有改變，仍有；

思考 本題根據(jù)對n取偶數(shù)和n=3得到的結(jié)論，提出猜想，然后證明猜想，這也是解決問題時常用的一種方法。

通過以上實例，我們可以發(fā)現(xiàn)向量解決數(shù)學(xué)問題的威力。向量為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了一種新的途徑和方法，能有效實現(xiàn)抽象問題形象化，復(fù)雜問題代數(shù)化，幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題幾何化。向量既是代數(shù)對象，又是幾何對象，“一身兼二任”，所以許多圖形的幾何性質(zhì)都可以用向量的運算表示出來，這樣我們就可以通過向量的運算來描述和研究幾何元素之間的關(guān)系（如直線的平行、垂直等），確定幾何圖形的長度、面積、夾角等。

用向量方法解決幾何題的基本思路是：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。向量運算能把一個思辨過程變?yōu)橐粋€計算過程，可以按照一定的“程序”進(jìn)行運算，從而降低了思維難度。