孫可芊，李 智，廖慧敏，張朝暉

(a.北京市八十中學，北京 100020； b.北京大學 物理學院，北京 100871)

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霍爾效應測量磁場實驗中副效應的研究

孫可芊a，李 智b，廖慧敏b，張朝暉b

(a.北京市八十中學，北京 100020； b.北京大學 物理學院，北京 100871)

用換向法對實驗室的霍爾效應儀進行了測量，結果表明各種副效應中以不等位電勢差的貢獻最大，而能斯特效應和里吉-勒迪克效應的貢獻可以忽略. 測量結果還顯示存在一項額外的副效應，這一副效應與霍爾電流的平方成正比，與外磁場無關，其性質與一般教科書中提到的各種副效應都不同，應該是由霍爾電流的熱效應引起的溫差電動勢. 根據上述結果，對換向法的公式進行了相應的修正.

霍爾效應；不等位電勢差；溫差電動勢

霍爾效應是一種基本的電磁現象[1]. 根據霍爾效應制成的霍爾元件,在傳感器、自動控制等領域有著廣泛的應用[2-5]. 因此，利用霍爾效應測量磁場是大學物理實驗中非?；竞统Ｒ姷膶嶒烅椖? 實際實驗過程中，所測量的電壓信號中，除了霍爾效應的貢獻之外，還伴隨著各種副效應的貢獻[6-11]. 一般教科書上認為副效應主要包括不等位電勢差、埃廷斯豪森效應、能斯特效應和里吉-勒迪克效應，這些副效應會對測量結果產生影響，因此實驗中的重點內容就是通過換向法消除副效應. 然而，對實驗中所用霍爾元件的測量結果表明：能斯特效應和里吉-勒迪克效應的貢獻一般可以忽略，無需通過換向法消除，更為重要的是，實驗中還存在另一項性質與前面所說的各種副效應都不同的副效應，這一項的影響一般不能忽略.

1 霍爾效應實驗原理

將通有電流的導體置于垂直電流方向的外磁場中時，磁場會對導體中的運動電荷產生洛侖茲力，使電荷發(fā)生橫向偏轉，偏轉的載流子在霍爾元件邊界不斷累積，并產生橫向電場，直到橫向電場力與洛侖茲力剛好互相抵消. 此時載流子不再偏轉，在導體中垂直于外磁場和電流的方向上出現橫向電勢差UH，該現象稱為霍爾效應. 根據霍爾效應的基本原理，霍爾電壓UH與導體中通過的霍爾電流IH和垂直電流方向上所加的外磁場B成正比關系.

實際測量過程中還會伴隨一些副效應，它們產生的附加電壓將對UH的測量產生影響. 首先是不等位電勢差，由于霍爾電壓測量引線在制作時不可能絕對對稱地焊接在霍爾片的兩側，因此，當霍爾電流IH流過霍爾元件時，即使不加外磁場，在霍爾電壓測量引線間也會有電勢差存在，這就是不等位電勢差U0.U0與霍爾電流IH成正比，與外磁場B無關.

由于導體中載流子的速度滿足一定統(tǒng)計分布，高速和低速載流子受到洛侖茲力和電場力的合力方向不同，將向相反方向偏轉，并對霍爾片兩側造成不同效果的加熱，使兩側出現溫度差，進而產生溫差電動勢UE，這就是埃廷斯豪森效應. 埃廷斯豪森效應的電壓UE與霍爾電流IH和外磁場B都成正比關系.

其次是能斯特效應，由于實際霍爾元件中霍爾電流引線兩端電阻不完全相同，霍爾電流流過時發(fā)熱不同，會產生一定的溫度差，進而在霍爾電流所在方向上形成熱流，而熱流是由載流子的定向擴散運動形成的，因此，和電流類似，也會在外磁場B作用下產生橫向的附加電壓UN，這就是能斯特效應.UN與熱流和外磁場B成正比，而熱流由霍爾電流產生的熱引起，與霍爾電流IH的平方成正比，因此UN與IH的平方成正比關系.

最后是里吉-勒迪克效應，類似于埃廷斯豪森效應中電流的載流子速度分布在磁場作用下會在橫向產生溫差電動勢UE，熱流的載流子速度分布在磁場作用下也會在橫向產生溫差電動勢UR，這就是里吉-勒迪克效應.UR也與熱流和外磁場B成正比，因此也和霍爾電流IH的平方成正比.

為消除副效應對霍爾電壓測量的影響，常用的方法是換向法. 由于不同效應的電壓對霍爾電流IH和外磁場B的依賴關系不同，改變IH和B的方向時，不同電壓的符號改變不相同：

當IH正、B正時，

U1=UH+U0+UE+UN+UR;

(1)

當IH負、B正時，

U2=-UH-U0-UE+UN+UR;

(2)

當IH負、B負時，

U3=UH-U0+UE-UN-UR;

(3)

當IH正、B負時，

U4=-UH+U0-UE-UN-UR.

(4)

記下4種不同情況下的電壓測量值U1,U2,U3,U4，并做運算可以得到

UH+UE=(U1-U2+U3-U4)/4,

(5)

U0=(U1-U2-U3+U4)/4 ,

(6)

UN+UR=(U1+U2-U3-U4)/4.

(7)

也就是可以分別獲得UH+UE,U0和UN+UR的值. 這里換向法雖然不能消去與UH方向始終相同的UE，但由于UE和UH對霍爾電流IH和外磁場B的依賴關系完全相同，實際上可以不做區(qū)分，而不會對實驗中磁場的測量結果造成影響.

2 實驗內容和數據

實驗使用西安理工大學科教儀器研究所研制開發(fā)的HL-4霍爾效應儀(見圖1). 外磁場B由電磁鐵產生，其大小和方向可以通過改變勵磁電流IM的大小和方向進行控制，霍爾片置于電磁鐵的氣隙中. 實驗中首先將IM的大小固定在0.600 A，再依次將霍爾電流IH的大小設定為2.000,4.000,6.000,8.000,10.000 mA. 每次都通過換向開關1和換向開關3分別改變霍爾電流IH和勵磁電流IM(從而改變外磁場B的方向)的方向，用數字電壓表測出霍爾元件兩端相應的4組電勢差數據U1,U2,U3,U4，并根據式(5)～(7)計算出UH+UE,U0和UN+UR的值，結果如表1所示. 這里，由于式(5)～(7)中都包含“除以4”，將計算得到的電壓值多保留了1位數字.

圖1 實驗裝置圖

IH/mAU1/mVU2/mVU3/mVU4/mV(UH+UE)/mVU0/mV(UN+UR)/mV2.0009.96-9.988.97-8.999.4750.4950.0004.00020.05-20.1217.92-18.0019.0221.0620.0026.00030.06-30.2326.87-27.0428.5501.5950.0008.00040.06-40.3635.80-36.0938.0782.132-0.00210.00050.06-50.5444.73-45.1947.6302.670-0.005

為了更直觀地顯示出不同效應電壓的相對大小和所滿足的基本規(guī)律，在圖2中分別畫出了UH+UE，U0和UN+UR對IH的依賴關系. 由圖2可以看到：UH+UE和U0都與霍爾電流IH成正比關系，與理論預言的規(guī)律一致；而U0的大小大約是UH+UE的6%，也就是說不等位電勢差的貢獻比較明顯，不能忽略. 相比之下，從表1中可以看到，當IH變化時，UN+UR表現為隨機漲落，并且絕對值始終在0.01 mV以下，也就是說在儀器分辨能力范圍內(數字電壓表200 mV擋分辨率為0.01 mV)，沒有觀察到明顯的UN+UR.

圖2 UH+UE，U0和UN+UR對霍爾電流IH的 依賴關系(勵磁電流IM=0.600 A)

由于測量結果顯示UN+UR可以忽略，即UN+UR≈0，代入式(1)～(4)可以得出U1≈-U2，U3≈-U4. 然而觀察表1中的原始測量數據可以發(fā)現，上述關系并不成立，U1與-U2、U3與-U4之間存在明顯偏差. 為了更清楚地顯示出這一差異，將U1-(-U2)(即U1+U2)和U3-(-U4)(即U3+U4)的計算結果列入表2中，可以看到U1+U2與U3+U4的值近似相等并且隨霍爾電流IH的增加而增加. 這一結果說明:在式(1)～(4)中一定還存在著之前沒有考慮到的其他副效應. 這一額外副效應隨霍爾電流IH的增加而增加，但增長速度明顯快于IH. 在圖3中，畫出了U1+U2和U3+U4對IH平方的依賴關系，可以看到二者與IH的平方呈正比關系. 根據這一特征猜測這一副效應應該是由霍爾電流的焦耳熱效應所導致的，因此與霍爾電流的平方成正比.

表2 U1-(-U2)和U3-(-U4)對霍爾電流IH的

圖3 U1+U2和U3+U4對IH平方的依賴關系 (勵磁電流IM=0.600 A)

為了進一步弄清楚這一額外副效應的來源，將霍爾電流IH的大小固定在10.000 mA，依次改變勵磁電流IM，從而改變外磁場B的大小(外磁場B近似與勵磁電流IM成正比關系，如表3所示)，測量U1～U4隨勵磁電流的變化，并對測得的數據進行與之前類似的處理. 為了簡單起見，省略了部分原始測量數據，而在表3中直接給出計算得到的各個電壓項.

表3 固定IH=10.000 mA，改變勵磁電流IM，由測量結果計算得到的不同電壓項

可以看到，UH+UE與勵磁電流IM或者說外磁場B大致成正比關系，與理論預期一致. 不等位電勢差U0的大小始終保持在2.7 mV左右，與外磁場B基本無關，也和理論預期一致.UN+UR的絕對值始終不超過0.01 mV，并且與外磁場B沒有表現出明顯的依賴關系，也就是說在儀器分辨能力范圍內沒有觀察到明顯的UN+UR，這一結果也和之前固定IM改變霍爾電流IH情況下的結果保持一致.U1+U2和U3+U4這兩項始終保持近似相等并且不隨勵磁電流變化而改變，由此可以得出結論，這一額外副效應與外磁場B無關.

綜合前面改變霍爾電流和勵磁電流的實驗結果可得出結論：存在一項額外的副效應，這一副效應與外磁場B無關，而與霍爾電流IH的平方呈正比關系. 基于這2個特征，我們認為這一副效應應該是霍爾電流所引起的溫差電動勢：當霍爾電流流過霍爾片時，會產生焦耳熱，由于兩側霍爾電壓引線的焊點不可能完全相同，焊點附近霍爾電流的發(fā)熱和散熱能力存在差別，因此2個霍爾電壓引線間溫度不可能完全相同，這一效應會導致2個引線間存在一定的溫度差，進而由于溫差電效應會產生額外的溫差電動勢UT，這一電動勢的產生與外磁場B無關，是純粹的電效應，同時由于是霍爾電流的焦耳熱引起的，所以和霍爾電流的平方成正比.

考慮到額外副效應UT的存在，需要對式(1)～(4)進行修正. 由于UT與霍爾電流的平方成正比，也就是說與霍爾電流的方向無關，同時UT又與外磁場B無關，因此，對于一定大小的霍爾電流，在改變霍爾電流和勵磁電流的方向時，副效應UT始終保持不變，相當于是常數項，這一性質明顯不同于其他已知的各項副效應，由此可以得到修正后的實際測量電壓公式：

當IH正、B正時，

U1=UH+U0+UE+UN+UR+UT;

(8)

當IH負、B正時，

U2=-UH-U0-UE+UN+UR+UT;

(9)

當IH負、B負時，

U3=UH-U0+UE-UN-UR+UT;

(10)

當IH正、B負時，

U4=-UH+U0-UE-UN-UR+UT.

(11)

對修正后的公式做運算可以得到，式(5)～(7)仍然成立，也就是說，副效應UT的存在不影響UH+UE,U0和UN+UR的計算. 原因是UT在修正后的式(8)～(11)中表現為常數項，在不同電壓的減法運算中互相抵消，因此不影響UH+UE,U0和UN+UR的計算. 但是副效應UT的存在會使實驗中的4個測量電壓U1～U4在整體上發(fā)生相同的偏移. 根據式(8)～(11)還可以得到UT的計算公式為

UT=(U1+U2+U3+U4)/4.

(12)

在圖4中給出了計算得到的UT隨外磁場B的變化，可以看到UT近似保持不變，也就是與外磁場B無關. 作為對比，圖中還給出了U0和UN+UR，可以看到不等位電勢差U0也和外磁場B無關，并且在這3種副效應中，U0最為顯著，其次是UT，而UN+UR可以忽略.

圖4 利用修正后的公式計算得到的U0,UT和UN+UR 對外磁場B的依賴關系

以上是實驗室中某個霍爾元件的測量結果，為了驗證結論的普遍性，又在實驗室中任意選取了其他5臺儀器進行測量. 表4列出了在霍爾電流IH=10.000 mA、勵磁電流IM=1.000 A的情況下，用上述修正后的公式計算所得到的不同效應的電壓值. 從結果可以看出，副效應基本都是以不等位電勢差U0最為明顯，大致是在UH+UE的百分之幾量級；其次是霍爾電流產生的溫差電動勢UT，大致在UH+UE的千分之幾量級；而能斯特效應和里吉-勒迪克效應對應的電壓UN+UR比UT小1個量級以上，基本可以忽略. 也就是說，前面實驗中所觀測到的主要現象是普遍存在的.

表4 用修正后的公式測量、計算得到的其他5臺儀器的

不等位電勢差U0是由霍爾電壓測量引線的不對稱所引起的，受到儀器制作工藝的限制，上述現象應該普遍存在，因此副效應中通常以U0最為明顯是合理的現象. 由于霍爾電壓引線的焊點不可能完全相同，焊點附近霍爾電流的發(fā)熱和散熱能力存在差異，在霍爾電流的焦耳熱作用下，導致霍爾電壓測量引線間存在溫度差也是很正常的現象，而溫差電動勢UT是上述溫度差所直接產生的電動勢，這一效應較為顯著也是比較合理的. 相比之下，能斯特效應和里吉-勒迪克效應的產生需要在霍爾電流的焦耳熱作用下，使電流引線間先產生溫度差，并進一步由這一溫度差引起熱流存在，再由熱流載流子在磁場下偏轉產生電壓UN+UR，這是一種次生的高階效應，因此一般來說UN+UR比霍爾電壓引線間的溫度差所直接產生的溫差電動勢UT要弱得多. 查閱資料可以發(fā)現，能斯特效應和里吉-勒迪克效應一般都描述為熱流在外磁場作用下所產生的電動勢，可以想象，上述效應在沒有電流只有熱流的情況下會相對較為顯著，而在霍爾效應實驗中，熱流本身只是電流產生的次生效應，因此不難理解，這種情況下次生的熱流所引發(fā)的電動勢相對于電流直接產生的電動勢來說一般是可以忽略的，這就是實驗中沒有觀察到明顯的UN+UR的原因.

另外為什么長期以來副效應UT并未引起關注？從教學實踐來看，主要原因是容易將溫差電動勢UT誤認為是UN+UR. 如果從一般教科書上的公式，也就是式(1)～(4)出發(fā)，會認為UN+UR存在的后果是使U1與-U2,U3與-U4之間產生差異，也就是在霍爾電流換向時測量的電壓值會表現出差異，并且這一差異也是與霍爾電流IH的平方成正比，因此，如果不做深入分析，很容易直接認為測量數據中U1與-U2，U3與-U4之間的差異是源于UN+UR. 然而，從修正公式(8)～(11)來看，副效應UT同樣會使U1與-U2，U3與-U4之間出現差異. 那么如何區(qū)分UT和UN+UR所造成的差異呢？關鍵不同在于UT與外磁場B無關，而UN+UR與B成正比. 從表3中的數據來看，實驗中U1-(-U2)和U3-(-U4)都與B無關，說明這個差異是源于UT而非UN+UR. 此外，從修正公式還可以分析出，若只有UT存在會使U1-(-U2)和U3-(-U4)的大小、符號都相同；反之，若只有UN+UR存在則會使U1-(-U2)和U3-(-U4)大小相等、符號相反，而表2和表3中的數據表明，實驗中的實際情況屬于前者，這也是區(qū)分UT和UN+UR的一種辦法.

3 結束語

利用換向法對實驗室的霍爾效應儀進行了測量，結果表明副效應中不等位電勢差的貢獻最大，而能斯特效應和里吉-勒迪克效應可以忽略. 此外，實驗結果表明還存在額外的副效應，這種副效應與霍爾電流的平方成正比，與外磁場無關，其性質與一般教科書中提到的各種副效應都不同，應該是由霍爾電流的焦耳熱所引起的溫差電動勢. 實際教學當中，容易將此副效應誤認為是能斯特效應和里吉-勒迪克效應，因此需要特別注意.

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[責任編輯：郭 偉]

SUN Ke-qiana, LI Zhib, LIAO Hui-minb, ZHANG Zhao-huib

(a. Beijing No.80 High School, Beijing 100020, China;b. Shool of Physics, Peking University, Beijing 100871, China)

Contributions of different associated effects to the Hall voltage were determined in the experiment of measuring magnetic field with Hall effect. It was found that the influence of IR drop was prominent, while the contributions of the Nernst and Righi-Leduc effects were negligible. The results also indicated the presence of an additional associated effect, which was proportional to the square of the Hall current and was independent of the magnetic field. This effect was attributed to thermo-electromotive-force originating from the thermal effect of the Hall current.

Hall effect; IR drop; thermo-electromotive force

2016-06-18

中學生英才計劃

孫可芊(1999-)，女，北京人，北京市八十中學學生.

O472.6

A

1005-4642(2016)11-0036-05