王 民 蔣雄飛 張 巍 周 霜

(*北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院先進制造技術(shù)北京市重點實驗室 北京 100124)(**電火花加工技術(shù)北京市重點實驗室 北京 100191)

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滾珠直線導(dǎo)軌副分形磨損模型及精度退化研究①

王 民②***蔣雄飛*張 巍*周 霜*

(*北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院先進制造技術(shù)北京市重點實驗室 北京 100124)(**電火花加工技術(shù)北京市重點實驗室 北京 100191)

為研究滾珠直線導(dǎo)軌副磨損和精度損失規(guī)律，基于赫茲接觸理論建立了滾珠直線導(dǎo)軌副力學(xué)模型。使用分形函數(shù)表征滾珠和滑塊滾道接觸區(qū)表面，并采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法求得滾道表面的分形參數(shù)?？紤]滾珠和滑塊滾道之間的潤滑狀態(tài)，在分形接觸模型下對滾珠和滑塊滾道接觸區(qū)域的微分形表面進行了受力分析。基于粘著磨損理論分析了滾珠和滾道接觸面微凸體的磨損過程，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合蠕滑理論建立了滾珠和滾道接觸面的分形磨損模型。最后，以某型號滾珠直線導(dǎo)軌副為研究對象進行了仿真分析，得到不同載荷和不同跑合距離下滾珠直線導(dǎo)軌副磨損和精度退化規(guī)律。

滾珠直線導(dǎo)軌副， 分形理論， 精度退化， 蠕滑理論

0 引 言

滾珠直線導(dǎo)軌副是滾動直線導(dǎo)軌副的一種，其具有定位精度高、動摩擦系數(shù)小、可維護性好等優(yōu)點。滾動直線導(dǎo)軌副作為機床的關(guān)鍵功能部件得到了越來越廣泛的應(yīng)用，它對提高機床的加工精度起著非常重要的作用。但其基礎(chǔ)理論目前尚不很完善[1]，尤其對其精度失效規(guī)律及其精度保持性缺乏準(zhǔn)確的理論分析方法。

滾珠直線導(dǎo)軌副的精度保持性主要取決于導(dǎo)軌副運行過程中因摩擦磨損導(dǎo)致的導(dǎo)向精度和導(dǎo)軌副接觸剛度的退化。目前對于滾珠直線導(dǎo)軌副的研究還主要集中在滾珠直線導(dǎo)軌副的剛度研究上，磨損方面的研究相對較少。鐘洋[2]基于Hertz接觸理論和剛體動力學(xué)建立了導(dǎo)軌副的剛度計算模型，并結(jié)合Archard磨損理論建立了導(dǎo)軌副的磨損預(yù)測模型，但Archard磨損公式主要是適用于滑動摩擦磨損，且未考慮不同摩擦接觸面的幾何差異性的影響。自從Mandelbrot提出分形幾何理論以來，分形幾何理論被廣泛應(yīng)用在各不同學(xué)科領(lǐng)域。由于分形理論在描述機械加工表面時具有與尺度無關(guān)的特性，分形理論被引入到接觸力學(xué)和摩擦學(xué)中[3]。Zhou等人基于M-B分形模型建立了磨合磨損預(yù)測模型[4]。房桂芳[5]在機械密封端面接觸分形模型基礎(chǔ)上，依據(jù)Archard粘著磨損理論，建立了機械密封端面粘著磨損分形模型。分形理論可以有效地表征機械加工表面的形貌，基于分形理論建立的摩擦學(xué)研究模型比基于傳統(tǒng)的模型更具合理性和有效性[6]。

滾珠直線導(dǎo)軌副中滾珠滾道接觸磨損為滾動摩擦磨損，磨損主要發(fā)生在硬度相對較低的滑塊滾道上。導(dǎo)軌副運行過程中在外載荷的作用下，滾珠與滾道接觸區(qū)域內(nèi)滾珠將會產(chǎn)生微量的彈性變形，形成彈性相對滑動，并由粘著效應(yīng)形成粘著節(jié)點剪斷或脫落，從而形成磨屑。為了計算滾珠滾道相對滑動距離，本文引入滾動接觸蠕滑理論計算滾珠和滾道間的相對滑動距離[2]。本文基于分形理論和赫茲接觸理論，考慮滾珠和滾道間潤滑狀態(tài)，并結(jié)合粘著磨損理論和蠕滑理論，研究了滾動直線導(dǎo)軌副磨損和精度退化規(guī)律。

1 滾珠直線導(dǎo)軌副力學(xué)模型

圖1為滾珠直線導(dǎo)軌副受外載荷時的截面圖，導(dǎo)軌副有4列滾珠，每列滾珠的承載滾珠數(shù)為ns，每列滾珠的接觸角均為α，每列滾珠所受接觸面的法向載荷為Qi(i=1,2,3,4)，在4列滾珠的對稱中心點建立如圖1所示坐標(biāo)系。對其進行力學(xué)分析可知：

圖1 滾珠直線導(dǎo)軌副受力圖

Q1=Q2， Q3=Q4

(1)

(Q1+Q2-Q3-Q4)nssinα+Fv=0

(2)

滾珠與滑塊滾道之間的接觸滿足空間Hertz點接觸理論，其接觸區(qū)域為橢圓形區(qū)域。鋼制滾珠直線導(dǎo)軌副接觸變形計算公式為[2]

(3)

(4)

(5)

式中，Q為滾珠所受載荷，δ為滾珠變形量，Σρ為滾珠和滾道的綜合曲率，a′和b′分別為橢圓形接觸區(qū)域的長半軸和短半軸長度。ma、mb和2K/πma是和橢圓主曲率函數(shù)相關(guān)的系數(shù)，橢圓的主曲率之和與主曲率函數(shù)的計算式如下：

(6)

(7)

式中，Da為滾珠直徑，f為滑塊滾道曲率半徑與滾珠直徑比(曲率比)。依據(jù)主曲率函數(shù)和主曲率之和的值，查表可以得到ma、mb和2K/πma。

為了提高滾珠直線導(dǎo)軌副承載剛度，制造廠家一般通過給每列滾珠施加預(yù)緊力以達(dá)到提高剛度的目的。因預(yù)緊力的作用滾珠會產(chǎn)生初始變形δ0，Q0和δ0之間的關(guān)系為

(8)

在受外載荷Fv的作用下，每列滾珠的變形為δi(i=1,2,3,4)，滑塊會在Z軸的方向產(chǎn)生一個位移量δv，根據(jù)滾珠直線導(dǎo)軌副的變形幾何協(xié)調(diào)關(guān)系可以得到：

(9)

(10)

δ1=δ2， δ3=δ4

(11)

當(dāng)滾珠的變形量δi≤0時，滾珠因預(yù)緊力而產(chǎn)生的變形消失，滾珠脫離接觸，滾珠受力Qi=0。

2 分形接觸模型

2.1 滾道表面形貌分形表征

機械加工表面不僅具有統(tǒng)計特性，而且具有分形特性，為了便于分析，將滾珠和滑塊滾道橢圓接觸區(qū)域離散為一系列8μm×8μm微分形表面，微分形表面可以用W-M函數(shù)來表征[7]：

(12)

式中z(x)為粗糙表面的隨機輪廓高度，x為輪廓的坐標(biāo)位置，G是分形表面的特征尺度系數(shù)，D′是表面輪廓分形維數(shù)，γn決定了粗糙表面的頻率譜，一般取γ=1.5。nl依賴于采樣長度L,且γnl=1/L。

分形參數(shù)可通過功率譜函數(shù)法和結(jié)構(gòu)函數(shù)法求取，但功率譜函數(shù)法得出的結(jié)果誤差較大，結(jié)構(gòu)函數(shù)法要優(yōu)于功率譜法[8]。結(jié)構(gòu)函數(shù)法是通過求得輪廓曲線的結(jié)構(gòu)函數(shù)，并在結(jié)構(gòu)函數(shù)的雙對數(shù)坐標(biāo)軸上做回歸分析來獲取輪廓的分形參數(shù)。輪廓曲線的結(jié)構(gòu)函數(shù)定義為

E(τ)=2

(13)

式中τ是x方向的任意增量，<·>表示空間平均值。

將結(jié)構(gòu)函數(shù)表示在雙對數(shù)坐標(biāo)軸上，lgE(τ)和lgτ成直線關(guān)系，且直線斜率ks滿足0

ks=4-2D′

(14)

B=lgCG2(D′-1)

(15)

(16)

式中B為直線的截距，函數(shù)Γ為第二類歐拉積分，即Gamma函數(shù)。

運用顯微系統(tǒng)測量某型號為LG20的滾珠直線導(dǎo)軌副滑塊滾道表面輪廓，測量區(qū)域為500μm×675μm，采樣點數(shù)為768×1024，根據(jù)測量數(shù)據(jù)繪制滾道三維輪廓圖，如圖2所示。

圖2 滑塊滾道三維輪廓圖

在675μm方向任取一組1024個數(shù)據(jù)點，采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法由式(13)～(16)可求得分形參數(shù)D′和G，二維表面輪廓圖和結(jié)構(gòu)函數(shù)雙對數(shù)圖分別如圖3和圖4所示。

利用MATLAB軟件中多項式擬合函數(shù)擬合結(jié)構(gòu)函數(shù)雙對數(shù)圖，算得D′=1.874，G=2.38×10-8m，因此滑塊滾道表面具有分形特性，滿足分形理論的使用條件。

圖3 滑塊滾道表面輪廓高度曲線

圖4 結(jié)構(gòu)函數(shù)雙對數(shù)圖

2.2 分形接觸力學(xué)分析

由于滾珠尺寸遠(yuǎn)大于橢圓區(qū)域尺寸，因此將滾珠與滑塊滾道之間的接觸簡化為光滑滾珠剛性平面與粗糙的具有分形特性的滑塊滾道面間的接觸。剛性平面相對于粗糙表面擠壓形成的微凸體截斷尺寸服從島嶼分布，三維表面微凸體截斷尺寸分布為[10]

(17)

式中D為表面分形維數(shù)，與式(12)中D′之間的關(guān)系為D=D′+1，a為接觸面上微凸體截斷接觸面積，aL為微凸體最大截斷接觸面積。

根據(jù)微分形表面彈塑性力學(xué)分析可得[10]

(18)

(19)

(20)

(21)

式中，ac為微凸體臨界截斷接觸面積，當(dāng)a≤ac時，微凸體變形為塑性變形；當(dāng)a>ac時，微凸體變形為彈性變形。E*為綜合彈性模量，H為滑塊滾道材料硬度，與材料的屈服強度σs相關(guān)，一般取H=2.8σs。Fe為微分形表面彈性負(fù)載總和，F(xiàn)p為微分形表面塑性負(fù)載總和，S為微分形表面微凸體與剛性平面的總接觸面積。

微分形表面微凸體所受的總載荷Fz為彈性負(fù)載和塑性負(fù)載之和：

Fz=Fe+Fp

(22)

實際工況下，滾珠與滾道之間添加潤滑油或者潤滑脂潤滑。假定滾珠和滾道之間的潤滑為邊界潤滑狀態(tài)，實驗證明[11]微凸體之間產(chǎn)生的流體動壓力約等于摩擦副中較軟材料的屈服強度σs。假定所有的微分形表面均勻的承擔(dān)橢圓接觸面的壓力，對微分形表面受力分析可得

σs(Aα-S)+Fz=PAα

(23)

(24)

式中微分形面名義面積Aα=64μm2，P為橢圓接觸區(qū)域平均接觸應(yīng)力。綜合式(18)-(24)可得

(25)

其中：

(26-a)

(26-b)

(26-c)

(26-d)

由式(25)、(26)可以求出微分形面中微凸體的最大截斷接觸面積aL。

3 分形磨損模型

假定粗糙表面的形貌具有各向同性的特征，將粗糙表面上的微凸體近似為軸對稱體，接觸面底圓半徑為l/2，則單個微凸體的截斷接觸面積a和底圓半徑l/2的關(guān)系為

a=π(l/2)2

(27)

由W-M分形函數(shù)可知，微凸體在底圓以上的輪廓線可以近似為余弦波，其函數(shù)表達(dá)式為[12]

(28)

單個微凸體的體積V(a)可計算得到[5]

(29)

當(dāng)單個滾珠和滾道接觸面相對滑動距離為l時,因滾珠滾道間相對滑動所產(chǎn)的生磨屑總體積為

(30)

產(chǎn)生ΔV的磨損體積時摩擦副的平均滑動距離la為[13]

(31)

根據(jù)蠕滑理論，滾珠在滑塊滾道上的相對滑動距離ls可由下式計算[2]：

ls=μSz

(32)

(33)

式中μ為蠕滑率，Sz為滑塊的跑合距離，δi為滾珠的彈性變形量，Da為滾珠的直徑。

由于在磨損的過程中，并非所有的粘著點都會產(chǎn)生磨屑，因此引入分形磨損系數(shù)Kf，對磨損體積進行修正。當(dāng)滑塊運動Sz后，第i列滾珠引起的對應(yīng)滑塊滾道的磨損體積Vz,i為

(34)

每列滾珠產(chǎn)生的總磨損量隨著滾珠的運動均勻分布在滑塊滾道長度lr上，第i列滾珠引起的對應(yīng)滑塊滾道接觸面法向磨損深度hi為

(35)

lr=nsDa

(36)

綜合式(34)-(36)可得

(37)

導(dǎo)軌副在受圖1所示載荷下運動，滑塊滾道磨損會使滑塊產(chǎn)生Z向位移Δδv，根據(jù)導(dǎo)軌副的結(jié)構(gòu)特征可得

Δδv=(h3-h1)sinα

(38)

綜合考慮滾珠與滾道彈性變形和磨損對導(dǎo)軌副的運動精度的影響，可得滑塊在Z軸方向的總位移量δvs用下式表示：

δvs=δv+Δδv

(39)

滾珠直線導(dǎo)軌副發(fā)生磨損后，滾珠預(yù)緊力會退化，初始變形量變小，在磨損量計算中需要隨跑合距離的增加不斷對初始變形量進行修正以保證計算準(zhǔn)確性。每列滾珠初始預(yù)緊變形隨磨損過程導(dǎo)致的變化量Δδ0,i(i=1,2,3,4)可根據(jù)導(dǎo)軌副的結(jié)構(gòu)特征得到：

(40)

4 仿真計算與分析

為了驗證所建磨損模型的合理性，以型號為LG20的滾珠直線導(dǎo)軌副(圖5所示)為對象進行磨損仿真分析，導(dǎo)軌副的主要參數(shù)如表1所示。

圖5 LG20滾珠直線導(dǎo)軌副

初始變形δ0(mm)0．004滾珠直徑Da(mm)3．969曲率比f0．51承載滾珠數(shù)ns(個)12接觸角α(°)45

滑塊和滾珠的材質(zhì)均為高碳鉻軸承鋼GCr15,E*=1.143×105MPa，σs=518.4MPa。宿月文[14]等人的研究表明磨損系數(shù)隨著載荷的增大而減少并趨于穩(wěn)定值，本文取Kf=5×10-4對滾珠直線導(dǎo)軌副磨損及精度損失進行退化規(guī)律仿真計算。磨損主要發(fā)生在滾動直線導(dǎo)軌副滑塊的滾道上，滑塊為對稱結(jié)構(gòu)有4個磨損表面，滑塊一側(cè)滾道磨損表面如圖6所示。

圖6 滑塊滾道磨損表面

圖7是在滾珠直線導(dǎo)軌副在外加載荷下工作初始階段，即跑合距離為5km時的仿真結(jié)果。從圖7可見，載荷越大，滑塊總變形、彈性變形以及磨損產(chǎn)生的位移均越大，彈性變形δv的仿真曲線與滾珠直線導(dǎo)軌副剛度曲線一致。從圖中可以看出受外載荷較大時，滑塊彈性變形量δv遠(yuǎn)大于磨損產(chǎn)生的位移，滑塊總位移曲線變化趨勢與彈性變形曲線變化趨勢一致。

圖7 Sz=5km下滑塊位移量

圖8和圖9分別是滾珠直線導(dǎo)軌副在外加載荷下工作初始階段，即跑合距離為5km時，滑塊第3、4列滾珠和第1、2列滾珠和滑塊滾道接觸區(qū)域的滾道微分形表面受力圖。從圖8可見，載荷越大，第3、4列滾珠和滑塊滾道接觸區(qū)域的滾道微分形面的彈性載荷、塑性載荷以及彈塑性載荷總和均越大。從圖9可見，載荷越大，第1和第2列滾珠和滾道接觸區(qū)域的滾道微分形面的彈性載荷、塑性載荷以及彈塑性載荷總和均越小，且隨著外載荷的增加，滑塊第1列和第2列滾珠與滾道表面脫離接觸。

圖8 Sz=5km下滑塊第3、4列滑塊滾道微分形表面受力

圖9 Sz=5km下滑塊第1、2列滑塊滾道微分形表面受力

圖10為滾珠直線導(dǎo)軌副在恒定載荷Fv=2kN下，不修正滾珠預(yù)緊力和修正預(yù)緊力時，由磨損導(dǎo)致的位移Δδv隨跑合距離增加的變化關(guān)系圖。從圖10中可以看出預(yù)緊力對導(dǎo)軌副的磨損有很大的影響，圖中修正預(yù)緊力的曲線為每運行10km修正一次預(yù)緊初始變形量δ0。修正預(yù)緊力后磨損導(dǎo)致的位移比不修正預(yù)緊力的要小。在實際磨損過程中，發(fā)生磨損后滾珠的預(yù)緊力變小，滾珠的總變形會減少，磨損趨勢會變緩。

圖10 Fv=2kN時磨損導(dǎo)致的滑塊位移

圖11為考慮預(yù)緊力退化后，因磨損產(chǎn)生的位移Δδv和滑塊總位移δvs隨滑塊跑合距離的變化曲線。在恒定外加負(fù)載下導(dǎo)軌彈性變形δv近似為定值，故導(dǎo)軌副在外加負(fù)載作用下Z向總位移量隨著磨損導(dǎo)致的位移量變化趨勢一致，且隨著跑合距離的增加，磨損導(dǎo)致的位移量所占比重不斷加大，導(dǎo)致滾珠直線導(dǎo)軌副導(dǎo)向精度降低。當(dāng)磨損導(dǎo)致的位移量在滾道法向方向的位移分量超過滾珠的預(yù)緊初始變形量時，滑塊下兩列滾珠與滾道脫離接觸導(dǎo)致剛度喪失。

圖11 Fv=2kN時滑塊的總位移及磨損導(dǎo)致的位移

5 結(jié) 論

本文從赫茲接觸理論出發(fā)分析了滾珠直線導(dǎo)軌副的受力與變形，建立了導(dǎo)軌副力學(xué)模型。引入分形理論來表征滑塊滾道表面，并結(jié)合蠕滑理論以及粘著磨損理論建立了滾珠直線導(dǎo)軌副在潤滑狀態(tài)下的分形磨損模型。首次將分形理論引入到滾動直線導(dǎo)軌副的磨損研究中，相比于用Archard磨損理論建立的導(dǎo)軌精度損失模型，本文所建分形磨損模型綜合考慮了接觸表面的分形參數(shù)、潤滑條件、材料的表面特性等因素，更加符合實際情況。同時本文所建精度損失模型充分考慮了磨損過程中預(yù)緊力退化對導(dǎo)軌副精度退化的影響，對預(yù)緊力進行了修正，得到了更加準(zhǔn)確的精度損失模型。本文所建立的精度損失模型可為研究滾珠直線導(dǎo)軌副精度退化規(guī)律和開展精度保持性試驗研究提供理論依據(jù)。

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Studies of linear ball guideways’ fractal wearmodel and accuracy degradation

Wang Min***, Jiang Xiongfei*, Zhang Wei*, Zhou Shuang*

(*Advanced Manufacturing Technology of the Key Laboratory of Beijing Municipality College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124)(**Beijing Municipal Key Laboratory of EDM Technology, Beijing 100191)

Based on the Hertz contact theory, a mechanical model of linear ball guideways was built to study the wear rule and accuracy degradation of linear ball guideways. The contact area between the ball and the slider’s raceway was characterized by the fractal function, and the raceway’s fractal parameters were obtained by using the structure function analysis method. Under the considering of the lubrication state between the ball and the slider’s raceway, the asperities load capacity was obtained by using the fractal contact model. The wear between the ball and slider’s raceway was analyzed through the adhesive wear theory, and then, the fractal wear model of linear ball guideways was established with the creep theory. Finally, the simulation analysis for a certain type of the linearball guideway was conducted, and the wear rules and accuracy degradation of the linearball guideway under different loads and running distance were obtained by the calculation simulation.

linear ball guideway, fractal theory, accuracy degradation, creep theory

10.3772/j.issn.1002-0470.2016.03.007

①國家科技重大專項(2012ZX04010021-001-004)，國家自然科學(xué)基金(51575014)，北京自然科學(xué)基金暨北京教委科技計劃重點項目(KZ201410005010)和北京市自然科學(xué)基金委員會-北京市科學(xué)技術(shù)研究院聯(lián)合(L150006)資助項目。

2016-01-21)

②男，1972年生，博士，博士生導(dǎo)師，教授；研究方向：機床動力學(xué)，振動測試與控制，切削過程監(jiān)控，數(shù)控機床精度保持性等；聯(lián)系人，E-mail: wangm@bjut.edu.cn(