陳炳建

（閩侯縣青口學(xué)區(qū)，福建 閩侯 350119）

小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)用幾何直觀教學(xué)策略探究

陳炳建

（閩侯縣青口學(xué)區(qū)，福建 閩侯 350119）

文章試圖通過(guò)正確認(rèn)識(shí)幾何直觀的內(nèi)涵與功能，提出借助幾何直觀理解“數(shù)”的概念、分析數(shù)量關(guān)系、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、解決實(shí)際問(wèn)題等四方面策略來(lái)闡述如何科學(xué)運(yùn)用幾何直觀。

小學(xué)數(shù)學(xué)；幾何直觀；數(shù)形結(jié)合；意義；策略

小學(xué)階段的幾何直觀是兒童大腦對(duì)客觀事物的直觀感知引發(fā)想象的心理活動(dòng)過(guò)程。主要借助熟悉的幾何圖形本質(zhì)特征來(lái)理解數(shù)與數(shù)量關(guān)系，其實(shí)也就是借助圖形說(shuō)“事”。幾何直觀貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起著聯(lián)系知識(shí)脈絡(luò)、理解數(shù)量關(guān)系、提供解答方法、推動(dòng)數(shù)學(xué)思考的作用。通過(guò)幾何直觀可加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。然而，盡管“幾何直觀”的優(yōu)越性與重要性已被廣大一線教師所接受，但在具體操作中卻存在諸多偏差。主要表現(xiàn)在：一是理解泛化。將所有直觀教學(xué)全歸結(jié)為幾何直觀，沒(méi)有真正理解幾何直觀的本真內(nèi)涵。即只重“直觀”，輕視“幾何”。二是操作表面化。認(rèn)為圖形越直觀越好，而在關(guān)鍵問(wèn)題上沒(méi)有利用圖形幫助學(xué)生對(duì)其本質(zhì)進(jìn)行抽象。即只是直觀，忘了抽象。三是功能片面化。教學(xué)中目標(biāo)只停留在片面解讀教材中幾何直觀圖，單純利用圖形描述問(wèn)題，忽略了圖形分析解決問(wèn)題的功能。即只為解讀，忽視分析。為此，隨著課程改革向理性化推進(jìn)，筆者試圖從培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)出發(fā)，辨析幾何直觀及其相關(guān)概念，反思應(yīng)用幾何直觀教學(xué)的實(shí)踐體會(huì)，挖掘幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價(jià)值，以期拋磚引玉。

一、厘清幾何直觀概念本質(zhì)，正確認(rèn)識(shí)幾何直觀數(shù)學(xué)意義

數(shù)學(xué)家認(rèn)為直觀是對(duì)概念、證明的直接把握為起點(diǎn)；哲學(xué)家認(rèn)為直觀是關(guān)注事物本質(zhì)為起點(diǎn)，心理學(xué)家認(rèn)為直觀是從關(guān)注感覺(jué)為起點(diǎn)。小學(xué)階段的直觀是指通過(guò)學(xué)生對(duì)客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)，即學(xué)生在生活實(shí)踐中對(duì)客觀事物的直接的、生動(dòng)的、具體的反映。如對(duì)顏色的辨認(rèn)，對(duì)聲音的判斷、對(duì)圖形的感知、對(duì)文字的描繪等可以直接刺激感官誘發(fā)思維的東西都可以構(gòu)成直觀。直觀具有多樣性，相同的事物可以用不同的方法記錄、表示與刻畫。直觀具有相對(duì)性，有不同的層面的表現(xiàn)。當(dāng)以語(yǔ)言解釋一個(gè)詞有困難時(shí)，我們用具體的動(dòng)作演示讓人更易理解；當(dāng)描摹眼前的景色有困難時(shí)我們用拍照片方式讓人直接感知；抽象的道理難以領(lǐng)悟，我們通過(guò)講故事讓人明白；復(fù)雜的邏輯關(guān)系難以梳理，我們畫了一個(gè)關(guān)系圖便一目了然；復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系難以一眼看出，我們通過(guò)圖形來(lái)表征；所有這些都是直觀。由此看來(lái)并非所有的直觀都可冠以“幾何直觀”帽子。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?！保?］

這段話涵蓋三層意思，第一層意思是對(duì)幾何直觀的主要表現(xiàn)形式作了精要說(shuō)明；第二層意思概述幾何直觀的優(yōu)勢(shì)；第三層意思進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)幾何直觀的功能和作用。與其他核心詞類似，回避了幾何直觀的明確界定?？梢哉f(shuō)，這段話是目前理解幾何直觀的最重要依據(jù)。

課標(biāo)的闡述對(duì)幾何直觀的理解覆蓋了三個(gè)層面。其一對(duì)幾何直觀的兩種表現(xiàn)作出了精煉的概述，幾何直觀的描述和分析的過(guò)程就是凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程。其二對(duì)幾何直觀的學(xué)習(xí)策咯也作出了解釋，它通過(guò)主要的線索將數(shù)學(xué)問(wèn)題中內(nèi)在的數(shù)學(xué)關(guān)系、邏輯關(guān)系清晰的展示出來(lái)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中感受深入淺出的境界。其三對(duì)幾何直觀的功能和作用作出了進(jìn)一步的強(qiáng)調(diào)，幾何直觀是目前數(shù)學(xué)思考的重要拐杖更是后續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)展的必備素養(yǎng)，它是一種思維習(xí)慣更是享用一生的智慧財(cái)富。通過(guò)認(rèn)真研讀課標(biāo)內(nèi)涵，領(lǐng)悟課標(biāo)精神實(shí)質(zhì)，筆者對(duì)幾何直觀的現(xiàn)實(shí)意義有了更加具體的認(rèn)識(shí)。［2］

首先，小學(xué)階段的幾何直觀不僅是學(xué)習(xí)的工具更是素養(yǎng)的培養(yǎng)。作為學(xué)習(xí)工具主要體現(xiàn)在利用圖形幫助理解關(guān)系，幫助分析解決問(wèn)題；作為素養(yǎng)培養(yǎng)就是通過(guò)工具的使用培養(yǎng)能力、品質(zhì)與習(xí)慣。與“圖形與幾何”中發(fā)展“空間觀念”截然不同。再則，雖然直觀緣于直接觀感，但直接未必就是直觀，它受到兒童的思維經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平高低的制約。由于小學(xué)階段學(xué)生思維的形象性特點(diǎn)與數(shù)學(xué)學(xué)科思維的抽象性特點(diǎn)是學(xué)習(xí)的一大矛盾，幾何直觀教學(xué)十分必要。此外，幾何直觀是一個(gè)長(zhǎng)期、動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程。它經(jīng)歷了整個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程，不同階段所收獲的幾何直觀能力是不同的。從2011版課標(biāo)對(duì)幾何直觀的定位呈現(xiàn)出漸進(jìn)的軌跡來(lái)看，第一階段初步感知空間觀念模型；第二階段建立空間觀念，感受空間模型的作用；第三階段發(fā)展空間觀念，應(yīng)用空間模型解決問(wèn)題?；谝陨嫌^點(diǎn)，針對(duì)當(dāng)前教學(xué)現(xiàn)狀，筆者開(kāi)展了一系列探索性實(shí)踐，旨在尋求有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的途徑。

二、優(yōu)化幾何直觀應(yīng)用策略，有效提升幾何直觀數(shù)學(xué)素養(yǎng)

（一）借助幾何直觀理解“數(shù)”的概念

“數(shù)”的概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，而“數(shù)”本身抽象枯燥的特點(diǎn)影響了學(xué)習(xí)效果，借助幾何直觀可以讓“數(shù)”變得形象、趣味。在小學(xué)階段“數(shù)的認(rèn)識(shí)”主要是“數(shù)”借助于“形”幫助理解，也就是數(shù)形結(jié)合。合理用好數(shù)形結(jié)合的幾何直觀教學(xué)策略不僅可以幫助我們更好了解兩者之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，更能夠簡(jiǎn)潔完成“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)化，便于促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解、數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。數(shù)形結(jié)合作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的思想方法，課標(biāo)針在不同的學(xué)段提出了不同的目標(biāo)要求。

第一學(xué)段幾何直觀主要任務(wù)是初步感知空間觀念的模型，夯實(shí)幾何直觀基礎(chǔ)?！皵?shù)”的認(rèn)識(shí)教學(xué)，必須創(chuàng)設(shè)多個(gè)具體情境讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)物表征——圖形表征——符號(hào)表征的過(guò)程。通過(guò)擺小棒、圓片，畫圖形、數(shù)線，撥計(jì)數(shù)器等活動(dòng)幫助學(xué)生從具體的實(shí)物過(guò)渡到抽象的數(shù)字。在動(dòng)手操作中建立起與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，衍生到會(huì)看圖理解數(shù)量的多少進(jìn)而發(fā)展到會(huì)用數(shù)表示數(shù)量的大小。

第二學(xué)段幾何直觀主要任務(wù)發(fā)展為初步形成空間觀念，感受幾何直觀的作用。這個(gè)階段數(shù)線隨著知識(shí)的積累和發(fā)展逐漸演變就成了數(shù)軸。在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候就借助了數(shù)軸來(lái)理解分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位、以及這些分?jǐn)?shù)單位的變化情況。0刻度到1刻度可以表示“單位1”，在這“單位1”內(nèi)平均分后兩個(gè)刻度之間的量可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示，軸上每一個(gè)刻度都可以表示一個(gè)分?jǐn)?shù)單位。在認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)時(shí)候也借助了數(shù)軸來(lái)理解正負(fù)數(shù)的內(nèi)涵，直觀了解正負(fù)數(shù)的變化規(guī)律。

案例中借助鮮明的“形”去理解凝練的“數(shù)”，“數(shù)”原始概念在“形”的幫助下顯得清晰、明了。通過(guò)圖和線段理解“數(shù)”有效體現(xiàn)了幾何直觀的作用。

（二）借助幾何直觀理解數(shù)量關(guān)系

學(xué)生通過(guò)幾何直觀啟迪思路，將思維集中在借助圖形表達(dá)思路，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化，從中可以明晰數(shù)量關(guān)系。

1.借助操作，感知數(shù)量關(guān)系

要讓學(xué)生真正領(lǐng)悟幾何直觀的意義與操作方法，就必須鼓勵(lì)學(xué)生充分參與活動(dòng)，教師協(xié)助培養(yǎng)他們經(jīng)歷從擺一擺發(fā)展到畫一畫解決的過(guò)程。數(shù)學(xué)具體的操作活動(dòng)和背后的數(shù)學(xué)知識(shí)密切聯(lián)系在一起，這個(gè)過(guò)程教學(xué)組織者要重在引導(dǎo)學(xué)生將自己對(duì)問(wèn)題的理解通過(guò)幾何直觀展示出來(lái)，敢于將對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解用語(yǔ)言表述出來(lái)。因此，要善于把握和利用好操作活動(dòng)，借助活動(dòng)充分感知，借助活動(dòng)提煉本質(zhì)，借助活動(dòng)推進(jìn)思維。

如教學(xué)“三角形的兩邊之和大于第三邊”：

A、取出3、4、5、7厘米長(zhǎng)的任意3根小棒看看能擺出哪些三角形，請(qǐng)動(dòng)手?jǐn)[一擺（獨(dú)立探究，動(dòng)手感知）。

B、匯報(bào)驗(yàn)證，并將能擺出和不能擺出三角形的三條邊數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。

C、小組討論，發(fā)現(xiàn)規(guī)律（三角形的兩邊之和大于第三邊）。

資源給出的是抽象的“數(shù)”，教師則將“數(shù)”轉(zhuǎn)化成線段讓學(xué)生去擺，就是這樣的直觀操作活動(dòng)引發(fā)了學(xué)生的思考：原來(lái)認(rèn)識(shí)的三角形每條邊都是可測(cè)量的，而今天這些可測(cè)量的線段卻不能完全可以拼成三角形究竟問(wèn)題出在哪呢？這個(gè)質(zhì)疑的過(guò)程就是新舊知識(shí)的矛盾沖突。借助矛盾引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類觀察，質(zhì)疑討論從而發(fā)現(xiàn)了三角形兩邊之和必須要大于第三邊。在動(dòng)手操作中 學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題嘗試著解決問(wèn)題，就是這樣的直觀操作啟迪了學(xué)生的思維，拓寬了學(xué)生的思路，不僅找到了規(guī)律更是理解了規(guī)律的內(nèi)涵。

（三）借助幾何直觀尋找發(fā)現(xiàn)規(guī)律

運(yùn)用幾何直觀尋求規(guī)律是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。其基本流程是：將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境運(yùn)用幾何直觀使之簡(jiǎn)單，通過(guò)幾何圖形將情境表達(dá)出來(lái)，借助幾何直觀進(jìn)行分析思考，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律模型。應(yīng)用幾何直觀尋找規(guī)律策略，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系由繁瑣的敘述向簡(jiǎn)潔的表達(dá)完美過(guò)渡，紛亂的思緒向規(guī)律地思考邁進(jìn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約一規(guī)律的魅力。

例如新世紀(jì)版三上“搭配中的學(xué)問(wèn)”

【數(shù)學(xué)活動(dòng)1】

用A或B分別表示上裝，用①、②、③表示3件下裝，寫出所有答案。

怎樣搭配才能做到不重不漏？（先用A來(lái)搭配下裝，有3種方法；再用B來(lái)搭配下裝，也有3種方法，所以共有6種不同的搭配方法）

小結(jié)：分類，能確保搭配不重不漏。

【數(shù)學(xué)活動(dòng)2】從學(xué)校經(jīng)過(guò)少年宮到動(dòng)物園，一共有幾路可以走。

（畫交叉對(duì)應(yīng)的圖表示從學(xué)校到動(dòng)物園的所有路線）

1.展示學(xué)生作品。

2.反思：通過(guò)上述兩個(gè)生活中的搭配活動(dòng)，你能概括 一下什么是搭配嗎？（從兩種不同的事物中各取出一個(gè)構(gòu)成所需事物的方法。）

3.小結(jié)感悟：搭配的本質(zhì)是兩種事物之間的交叉對(duì)應(yīng)。

交叉對(duì)應(yīng)可以轉(zhuǎn)換成矩形模式，說(shuō)明搭配也是乘法的一種現(xiàn)實(shí)背景。這一依賴于直觀圖示的解釋，不失為一種個(gè)性化的數(shù)學(xué)形式建構(gòu)。

（四）借助幾何直觀解決實(shí)際問(wèn)題

借助幾何直觀教學(xué)，發(fā)揮符號(hào)與圖形的互補(bǔ)優(yōu)勢(shì)，為學(xué)生理解提供適當(dāng)?shù)摹澳_手架”，使之經(jīng)歷幾何圖形、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)表征的合情轉(zhuǎn)化，這是解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段。具體做法是選用示意圖、線段圖、平面圖、、集合圖等幫助學(xué)生弄清題意，分析問(wèn)題，找到解題的方法。

如分?jǐn)?shù)應(yīng)用題：畜牧場(chǎng)共飼養(yǎng)牛羊260頭，如果羊賣去 ，牛賣去20頭，牛羊所剩的頭數(shù)量一樣多，畜牧場(chǎng)飼養(yǎng)羊多少只？

此題如果在“純數(shù)學(xué)”領(lǐng)域里分析數(shù)量關(guān)系十分抽象，解決此類問(wèn)題學(xué)生往往無(wú)從下手。然而，一旦引入線段圖直觀理清其題意，問(wèn)題便迎刃而解。不但數(shù)量關(guān)系一目了然，還可避開(kāi)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常規(guī)解法，創(chuàng)新解題思路。

8小段=260-20=240

又如常見(jiàn)的容斥問(wèn)題：五年二班上學(xué)期期未考試，語(yǔ)文有35人成績(jī)優(yōu)秀，數(shù)學(xué)有26人成績(jī)優(yōu)秀，有9人語(yǔ)數(shù)兩科均得成績(jī)優(yōu)秀。五年二班共有多少個(gè)同學(xué)？

從圖上可以很直觀的看出9人是重復(fù)了的部分，那么全班的人數(shù)就是35+26-9=42（人）。如果沒(méi)用韋恩圖直觀表示數(shù)量關(guān)系，很難理順解題頭緒。

由此看來(lái)，借助幾何直觀辨析數(shù)學(xué)概念、分析數(shù)量關(guān)系、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題具有不可替代的重要作用。幾何直觀的作用不僅是讓兒童確信數(shù)學(xué)事實(shí)，還能啟迪兒童獲得自己的意義建構(gòu)，從而促進(jìn)理解。加強(qiáng)幾何直觀教學(xué)，一要加強(qiáng)空間觀念的建立，夯實(shí)幾何直觀的基礎(chǔ)。二要加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用。在研究問(wèn)題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合考慮，把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，或把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化。三要正確處理直觀感知、直觀理解與直觀洞察三者之間的關(guān)系。“直觀感知”是建立空間觀念的基礎(chǔ)；“直觀洞察”是空間觀念的發(fā)展與升華。兩者相輔相成，互為因果。而“直觀理解”是架設(shè)“直觀感知”通往“直觀洞察”的橋梁。［3］

總之，幾何直觀作為解決問(wèn)題策略的工具它可以直觀呈現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，有助于對(duì)數(shù)量關(guān)系的解讀，有助于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析解決；作為素養(yǎng)的提升它能促進(jìn)在應(yīng)用的過(guò)程中領(lǐng)悟思想，發(fā)現(xiàn)方法，使之成為核心發(fā)展的能力素養(yǎng)。數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)形本是相依偎，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微?！庇脠D形說(shuō)話，用圖形描述問(wèn)題，用圖形討論問(wèn)題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在教學(xué)中一方面應(yīng)該充分發(fā)揮幾何直觀的價(jià)值，挖掘教材各領(lǐng)域的資源，優(yōu)化幾何直觀教學(xué)行為，將不同階段不同層次達(dá)成幾何直觀教學(xué)目標(biāo)貫穿于學(xué)習(xí)過(guò)程中。另一方面要從小培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，幫助學(xué)生直觀的理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)，解決更多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在實(shí)踐中逐步建立應(yīng)用幾何直觀的自覺(jué)意識(shí)，積累幾何直觀的操作經(jīng)驗(yàn)，成為一生受用的學(xué)習(xí)方法。

［1］教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社.2012.

［2］曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之四覽——幾何直觀（上）［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2013（10）.

［3］汪國(guó)祥．充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的支架作用”［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2012（3）.

G623.5

A

1673-9884（2016）08-0046-04

2016-06-20

福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度一般課題（FJJK20130102122）

陳炳建（1962-），男，福建閩侯人，閩侯縣青口學(xué)區(qū)高級(jí)教師，特級(jí)教師。