李潤(rùn)

對(duì)于許多物理問題，單一用物理方法是無(wú)法求解的，然而用一定數(shù)學(xué)方法能簡(jiǎn)單地求得結(jié)果。所謂運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，就是把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問題的判斷、解釋和預(yù)測(cè)。如運(yùn)動(dòng)學(xué)中的v-t和x-t圖像上就用到了數(shù)學(xué)的一次函數(shù)的斜率、截距、面積等知識(shí)。因此，選擇合適的數(shù)學(xué)方法是快速解答出物理問題的關(guān)鍵。物體在共點(diǎn)力作用下的動(dòng)態(tài)平衡問題，既是高中物理的重點(diǎn)內(nèi)容，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。解答共點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)平衡問題時(shí)常用到數(shù)學(xué)中的“解析法”、“圖解法（矢量三角形法和相似三角形法）”，尤其“圖解法”不僅直觀、形象，而且學(xué)生易于接受、掌握和運(yùn)用。具體典例列舉如下：

一、解析法

【原理】：根據(jù)受力分析作出力的圖示，利用數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)關(guān)系解直角三角形，最終根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性解決問題，尋找出各力的變化情況。

【特點(diǎn)】：適用于三力或者多力作用下的動(dòng)態(tài)平衡問題。

二、矢量三角形法

【原理】：力的矢量三角形定則是從平行四邊形定則中演繹出來的新的數(shù)學(xué)方法，解決共點(diǎn)力問題有很好的作用，特別是動(dòng)態(tài)平衡問題、力的合成與分解中的多解分析，這樣的方法非常嚴(yán)密。

【特點(diǎn)】：適用于所受的三個(gè)力中，一個(gè)力大小、方向不變；一個(gè)力方向不變，大小不確定；另一個(gè)力的方向發(fā)生變化，大小不確定的情況。

【例2】.如圖2甲所示，在豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系中，一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在外力F的作用下，從坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止沿直線ON斜向下運(yùn)動(dòng)，直線ON與y軸負(fù)方向成θ角（θ<π/4）。則F大小至少為？搖？搖 ？搖？搖；若F=mgtanθ，則質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能大小的變化情況是___________。

【解析】：如圖2乙所示，質(zhì)點(diǎn)受到的力有重力mg和外力F，合力的方向沿著ON方向，將重力、外力、合力歸結(jié)到一個(gè)三角形中，該質(zhì)點(diǎn)受到重力和外力F從靜止開始做直線運(yùn)動(dòng)，說明質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。如圖2乙中顯示當(dāng)F力的方向?yàn)閍方向（垂直于ON）時(shí)，F(xiàn)力最小為mgsinθ；若F=mgtanθ，即F力可能為b方向或c方向，故F力的方向可能與運(yùn)動(dòng)方向相同，也可能與運(yùn)動(dòng)方向相反，除重力外的F力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做正功，也可能做負(fù)功，故質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能增加、減少都有可能。兩空分別填：mgsinθ，增大、減小都有可能。

三、相似三角形法

【原理】：相似三角形法通常尋找的是一個(gè)力的矢量三角形與一個(gè)幾何三角形相似。利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系求解力的大小。

【特點(diǎn)】：適用于物體所受的三個(gè)力中，一個(gè)力大小、方向不變，其他兩個(gè)力的方向均發(fā)生變化，且三個(gè)力中沒有兩力保持垂直關(guān)系，可以找到力構(gòu)成的矢量三角形與邊構(gòu)成的幾何三角形相似。（特別是當(dāng)幾何三角形的邊長(zhǎng)已知時(shí)）

以上列舉了幾個(gè)解決共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡問題的典型例題，其中都用到了數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其思想、方法和知識(shí)始終滲透、貫穿于整個(gè)物理學(xué)習(xí)和研究過程中，為物理概念、定律的表述提供簡(jiǎn)潔、精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，在物理學(xué)習(xí)中用好數(shù)學(xué)方法為學(xué)生進(jìn)行抽象思維和邏輯推理提供有效保障，為物理學(xué)中的數(shù)量分析和計(jì)算提供有力工具。高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，借助物理知識(shí)考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的永恒主題。

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社物理教材必修一.

[2]優(yōu)化設(shè)計(jì)、物理教參必修一.