陳傳淼+胡宏伶

摘 要 本文提出了雙插值有限元法求解一類非線性拋物組，它對未知函數和系數都采用了插值，于是某些常數矩陣可一次性計算好，每時間層組裝剛度矩陣很簡單.它是一種經濟格式.

關鍵詞 非線性拋物組；有限元；雙插值；經濟格式

中圖分類號 O241.82 文獻標識碼 A 文章編號 1000-2537（2016）05-0081-02

Abstract The bi-interpolation finite element method for solving nonlinear parabolic systems is proposed， in which both unknowns and their coefficients are interpolated， so some constant matrixes can be computed in one time， whereas at each time level the assembly stiffness matrixes are very simple. This is an economic scheme.

Key words nonlinear parabolic systems； finte element method； bi-interpolation； economic scheme

隨著科學技術的發(fā)展，非線性拋物問題出現在許多實驗領域，如高溫傳輸、核聚變、半導體、超導、石油開發(fā)、金融和圖像識別等.本文特別關注核聚變中的三溫計算問題.

在經典有限元法或有限體積法中，雖然有多種格式離散非線性拋物問題.但數值求解的主要困難是計算工作量極其巨大.

1）每個時間層的離散工作量巨大.

2）牛頓法求解非線性方程組需3～4次線性化（計算切矩陣）.

3）必須計算數千數萬時間層.

三種困難交織在一起成為大規(guī)模求解的主要困難之一，因此發(fā)展高效算法有重要意義.

由此看到，雙插值有限元法有以下3個優(yōu)點：

1） 像ICFEM一樣，矩陣Kijp，Mij可一次性算好，組裝Kij（U），Mij（U）很簡單；

2） 對多未知變量方程組適用，只要系數a（u），b（u），c（u）與t，x無關即可.特別地，核聚變中的三溫方程正好可以變換為這種散度形式.

3） 如何高效求解非線性方程組（7），是另一個重要問題[5]，將在其他論文討論.

參考文獻：

[1]ZLAMAL M. A finite element method of the nonlinear heat equation[J]. RAIRO Model Anal Numer， 1980，（14）：203-216.

[2]CHEN C M， LARSSON S， ZHANG N Y. Error estimates of optimal order for finite element methods with interpolated coefficients for the nonlinear heat equation[J]. IMA J Numer Anal， 1989，（9）：507-524.

[3]陳傳淼，黃云清.有限元高精度理論[M].長沙：湖南科技出版社，1995.

[4]陳傳淼.有限元超收斂構造理論[M].長沙：湖南科技出版社，2001.

[5]HU H L， CHEN C M， PAN K J. Time extrapolation algorithm for parabolic problems[J]. J Comput Math， 2014，32（2）：183-194.

（編輯 HWJ）