柯紅衛(wèi)，高 磊，周嘉惠

（天津大學(xué) 理學(xué)院 物理系，天津 300072）

豎直懸掛弦上橫波的波速

柯紅衛(wèi)，高 磊，周嘉惠

（天津大學(xué) 理學(xué)院 物理系，天津 300072）

解析地計(jì)算了豎直懸掛弦上橫波的相速度，與直接應(yīng)用張力均勻弦上的波速公式計(jì)算結(jié)果一致，從而證實(shí)了張力均勻弦上的波速公式對張力不均勻弦適用.

弦；橫波；波速

弦上橫波的波動方程是一個(gè)非常典型的偏微分方程，很多數(shù)學(xué)物理的教材都有該方程的推導(dǎo).在教科書［1］的推導(dǎo)中，一般都不考慮重力的影響，即認(rèn)為弦是無重力的理想模型.在大多數(shù)情況下，因弦的重力確實(shí)可以忽略，所以理論能解釋實(shí)際現(xiàn)象.但是，在一些情況下弦的重力不可忽略，這時(shí)，需要重新考慮其波動方程和傳播特性.一個(gè)簡單的例子就是豎直懸掛弦上的橫波.由于豎直放置，弦上某處的張力等于其下端弦的重力，因而處處不相等，文獻(xiàn)［2］稱這樣的弦振動為非均勻的弦振動.

在文獻(xiàn)［3］中，作者研究了這種張力非均勻的弦上的波方程和特征頻率，指出與張力均勻弦上的波方程和特征頻率有一些差異.但沒有指出振動狀態(tài)的傳播速度，即相速度是否存在差異.

在文獻(xiàn)［4］上有一道習(xí)題，要求出豎直懸掛弦上橫波的波速，文獻(xiàn)［5］給出了解答，其中用到了張力均勻時(shí)的相速度v：

其中T為張力，ρ為弦的線密度.這個(gè)結(jié)果是否能推廣到張力非均勻的情況呢？

下面，我們以上端被懸掛，下端自由的弦為例，來計(jì)算張力非均勻的弦上的相速度.

1 波動方程及波動解

在文獻(xiàn)［2］中，非均勻的弦上橫波的波動方程為

這個(gè)方程可以根據(jù)教材的方法進(jìn)行類似的推導(dǎo)得到，只要注意到重力的方向始終豎直向下.

文獻(xiàn)［3］解出了相應(yīng)的波動解：

其中J0是零階的貝塞爾函數(shù)與 φn由初始條件決定（Cn是一小量），x為弦上一點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖 1．這類似于教材［6］中的駐波，由一列入射波和一列反射波合成．

圖1

由邊界條件可以得出圓頻率：

ξ（0）n為零階的貝塞爾函數(shù)第n個(gè)的零點(diǎn).若取n=10，圖2中繪出了cos（ω10t+φ10）=1時(shí)的波形圖，即各點(diǎn)偏離平衡位置最大（各點(diǎn)作微小橫振動，假設(shè)C=1 mm）.很明顯，張力非均勻弦上的波動方程和特征頻率，與張力均勻情形下有差別.

2 振動狀態(tài)傳播的速度

根據(jù)式（3）畫出圖2，可以看到，有一些地方的振幅為0，為波節(jié).圖2是根據(jù)式（3）畫出的，而式（3）是在邊界條件和特定的初始條件下導(dǎo)出的，繩上各微元以同一圓頻率作簡諧振動，不存在振動狀態(tài)的傳播問題.為了求出繩上有橫波傳播的波速，將該波看成是兩列形狀相同的入射波和反射波在弦上干涉的結(jié)果，很明顯在兩列波相位完全相反的位置，形成波節(jié).相鄰的兩個(gè)波節(jié)處，對于一列行波來講，是相鄰的反相位點(diǎn).從圖上看，相鄰波節(jié)之間的距離在增加，而周期是一個(gè)不變的量，可見各點(diǎn)的波速不一樣.

圖2

首先，可以根據(jù)行波在相鄰的反相位點(diǎn)之間傳播需要半個(gè)周期（T／2），可以算出波在這一段弦上的平均速度.假設(shè)當(dāng)n一定時(shí)，xa是一個(gè)波節(jié)點(diǎn)，對應(yīng)于零階的貝塞爾函數(shù)第 a個(gè)零點(diǎn)， 即xa=.下一個(gè)波節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)xa+1，對應(yīng)于零階的貝塞爾函數(shù)第 a+1個(gè)零點(diǎn)于是相鄰波節(jié)之間的距離為

這兩個(gè)波節(jié)之間的平均速度為

為了能夠從平均速度過渡到xa處的瞬時(shí)速度，應(yīng)該選取一個(gè)非常大的n（理想情況下為無窮大），即很大，弦上波的圓頻率ω很大，xa+1非常接近xa，于是

我們計(jì)算弦上幾種不同頻率的橫波（入射波）傳播最后半個(gè)波長（駐波最后兩個(gè)波節(jié)之間的距離）的時(shí)間，見表1.

表1

表1中，t1由式（4）計(jì)算得到（實(shí)際上是繩上各微元的振動半周期），t2是假定式（8）成立的情況下積分而得（在 n一定的情況下，橫波傳播距離等于任意相鄰兩波節(jié)之間的距離所需時(shí)間）.數(shù)值表明兩者沒有顯著的差別，這說明式（8）對于 n小的情況也成立（n=1時(shí)，只有懸掛點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)，無法數(shù)值驗(yàn)證），不同頻率的橫波波速一致.還需要指出的是，計(jì)算出來的波速是行波的波速，即合成式（3）的入射波和反射波的波速.

當(dāng)然，更一般的情況下，弦上的橫波是式（3）所表示的波的疊加：

根據(jù)波的獨(dú)立傳播原理，這不會影響我們推導(dǎo)出的結(jié)果.

3 總結(jié)與討論

本文研究了豎直懸掛的弦上行波的波速.利用非均勻弦上波動方程的解，確定了弦上波節(jié)的位置，相鄰波節(jié)正好是行波相鄰的振動反相位的點(diǎn)，在這段弦上振動狀態(tài)傳播需要的時(shí)間是半個(gè)周期，于是可以計(jì)算出相應(yīng)的平均速度.在n很大的情況下，相鄰波節(jié)之間的距離很小，于是得到的速度是某個(gè)位置波的相速度，這和由得到的結(jié)果完全一致，證實(shí)了在均勻張力情況下得到的式（1）是可以應(yīng)用到本文討論的考慮重力的豎直懸掛的弦，此時(shí)弦上的張力是非均勻的.我們可以這樣來理解：對于張力非均勻的情況，弦可以分割成很多的小段，每一小段可以認(rèn)為張力均勻，可以用張力均勻的公式計(jì)算波速，于是整個(gè)弦應(yīng)用式（1）來計(jì)算波速也是合理的.由此我們推斷，在其他的張力不均勻的情況下，式（1）一般來說可以用于計(jì)算波速.

對于豎直懸掛的弦，我們可以求出波速的變化率（加速度），其值為g／2，正好是重力加速度大小的一半.

［1］ 梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法［M］.北京：高等教育出版社，1998：136-138，328-331，477-478.

［2］ F.S.克勞福德.伯克利物理學(xué)教程：第三卷［M］.盧鶴紱等，譯.北京：科學(xué)出版社，1983：85.

［3］ 方開源.重力對弦振動特征頻率的影響 ［J］.大學(xué)物理，1991，10（12）：26-28.

［4］ 吳亞非，等.大學(xué)物理（下）［M］.北京：高等教育出版社，2015：78.

［5］ 吳亞非.大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)［M］.北京：高等教育出版社，2015：205.

［6］ 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2005：358-359.

Wave velocity of transverse wave in vertical suspended string

KE Hong-wei，GAO Lei，ZHOU Jia-hui
（Department of Physics，School of Science，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

The wave velocity of transverse wave in vertical suspended string is calculated analytically.The result can be also obtained by using the formula of wave velocity in a spring with uniform tension，which means that the formula can be applied for a spring with uneven tension.

spring；transverse wave；wave velocity

O 321

A

1000-0712（2016）11-0018-02

2015-12-23；

2016-03-28

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11375128）資助

柯紅衛(wèi)（1977-），男，江西崇仁人，天津大學(xué)物理系副教授，博士，主要從事理論物理研究工作.