南 陽，熊 暢，唐 芳，李朝榮

（1.北京航空航天大學 材料科學與工程學院，北京 100191；2.北京航空航天大學 物理科學與核能工程學院，北京 100191）

邁克耳孫干涉儀測折射率時的異常現(xiàn)象研究

南 陽1，熊 暢2，唐 芳2，李朝榮2

（1.北京航空航天大學 材料科學與工程學院，北京 100191；2.北京航空航天大學 物理科學與核能工程學院，北京 100191）

針對邁克耳孫干涉儀以激光為光源測量玻璃板折射率所產(chǎn)生的異?，F(xiàn)象，本文從幾何光學理論出發(fā)進行了討論，簡明直觀地給出了干涉條紋吞吐轉(zhuǎn)折點與零光程點、光程、虛光源相對位置之間的關系，并與實驗數(shù)據(jù)進行了對比.

邁克耳孫干涉儀；吞吐轉(zhuǎn)折點；折射率；幾何光學；虛光源

邁克耳孫干涉儀是美國物理學家邁克耳孫（A.A.Michelson，1852-1931）在1883年利用分振幅方法制成的一種精密干涉儀，由于其設計精巧、光路直觀、結構簡單、測量精確等特點，廣泛應用于科學研究和工程技術，透明物體折射率的測量也是一個重要應用.一般來說，由于白光相干長度小，從而干涉區(qū)間非常明確，偏離此區(qū)間后干涉條紋消失.對比于激光作為光源，白光的現(xiàn)象更加簡單明確，從而在測量介質(zhì)薄膜折射率時通常使用的光源是白光而不是激光.我們在嘗試使用激光作為光源測量玻璃板折射率時，發(fā)現(xiàn)始終存在一種反直觀的現(xiàn)象，玻璃板似乎會導致所在光路光程變小，從而得出玻璃板折射率小于1的錯誤結論.通過對比分析選擇白光和激光作為光源的差異，我們對此異?，F(xiàn)象進行了研究，采用幾何光學方法簡單又直觀地闡明了其內(nèi)在機制.

1 邁克耳孫干涉儀測量折射率的原理

圖1所示為簡易的邁克耳孫干涉裝置原理圖，G1是一面鍍有半透半反膜的分束板，補償板已省略，M1、M2為平面反射鏡，M1是定鏡，M2是動鏡.G1將光源S0射來的光束一分為二，這兩束光分別又被兩塊平面鏡反射，當定鏡M1與動鏡M2嚴格垂直時，在觀察屏E處形成等傾干涉圓環(huán)圖樣.利用白光測量待測物折射率時，在移動好儀器的基礎上，將動鏡M2移動至與 M1′重合的位置，即零光程差處.移動定鏡 M1稍微傾斜，可觀察到等厚干涉條紋，然后將待測物平行放置在M2前面，這時待測物所在光路的光程變大，要重新回到零光程差處就需要將M2向靠近G1的方向移動，當再次看到白光的等厚干涉條紋時認為再次回到了零光程差處.

圖1 邁克耳孫干涉裝置原理圖

假設待測物厚度為d，折射率為n，動鏡臂增大的光程為2（n-1）d.設再次回到零光程處時M2移動的距離為ΔL，則有

即可得到待測物的折射率為

2 測量折射率時的異常現(xiàn)象

本實驗不使用傳統(tǒng)的白光干涉而是使用激光邁克耳孫干涉實驗來測量平板玻璃介質(zhì)的折射率.實驗中使用波長為632.8 nm的氦氖激光器作為光源，待測物為一塊質(zhì)地均勻的無機玻璃板，厚度約為1 mm.實驗時發(fā)現(xiàn)在動鏡臂和定鏡臂光程相同的位

置處（不加玻璃板的零光程差處），在動鏡前加上一塊玻璃板，動鏡臂的光程毫無疑問是增大的.當將動鏡M2向靠近分束鏡G1的方向移動時，動鏡臂光程變小，兩臂光程差變小，應該看到干涉條紋向里吞.繼續(xù)沿同一方向移動M2，在越過新的零光程差點（加入玻璃板后的零光程差處）后兩臂的光程差又開始變大，應該看到干涉條紋向外吐，因此整個移動M2的過程中預期觀察到的實驗現(xiàn)象應該是干涉條紋先吞入后變?yōu)橥鲁?反之，如果將M2向遠離分束鏡G1一側移動則是干涉條紋一直吐出.

然而，我們在實驗過程中觀察到的實驗現(xiàn)象卻與之相反，當將 M2向靠近分束鏡一側移動時干涉條紋一直在往外吐出，而當M2向遠離分束鏡G1一側移動時干涉條紋是先吞入后吐出.將待測物換成有機玻璃、石英比色皿等其他介質(zhì)，結果也是如此.

圖2所示為實驗過程中所觀察到的觀察屏上干涉條紋的變化圖.其中圖2（a）表示未加玻璃板時，將可動鏡臂M2移動到零光程差處可看到觀察屏上一片光亮.圖2（b）表示在可動鏡臂M2前加入待測玻璃板后觀察到的干涉條紋，干涉圓環(huán)的中心稍有偏離，由于動鏡和定鏡難以絕對垂直，中心的偏離無法避免.而圖2（c）表示將M2向遠離分束鏡G1的一側移動時看到的條紋先吞入然后到達吞吐轉(zhuǎn)折點，這時干涉條紋是粗大、筆直的.

圖2 觀察屏上干涉條紋的變化圖

此外，我們分別在動鏡位置遠大于零光程差位置和遠小于零光程差位置（M2位于M1′遠離分束鏡的一側）時，在動鏡前加上玻璃板，讓玻璃板僅擋住一半的光，到達動鏡臂的光一部分經(jīng)過玻璃板，一部分不經(jīng)過玻璃板，兩部分光分別與定鏡臂的光干涉，在觀察屏上可同時看到二者的干涉條紋，如下圖3所示.圖3（a）所示為動鏡位置遠大于零光程差處觀察屏上二者的干涉條紋，左邊較粗大的干涉條紋是加了玻璃板的，右邊較密的干涉條紋是無玻璃板的.按照預想，對于圖3（a）位置相比于未加玻璃板的一側，加入玻璃板的一側光程變大，故光程差增大，條紋應該變密.對于圖3（b）位置相比于未加玻璃板的一側，加入玻璃板的一側光程變大，光程差減小，條紋應該變稀疏.而實際觀察到的正好與預期相反.并且我們觀察到當動鏡由遠離分束鏡向靠近分束鏡一側移動的過程中，加了玻璃板的左邊干涉條紋先到達吞吐轉(zhuǎn)折點，而右邊無玻璃板的后到達條紋吞吐轉(zhuǎn)折點，即前者的吞吐轉(zhuǎn)折點位于不加玻璃板的零光程差的外側（遠離分束鏡的一側）.理論上我們知道加入玻璃板使光程增大，新的零光程點應該位于原零光程點的內(nèi)側（靠近分束鏡的一側）.這說明了加入玻璃板后條紋吞吐轉(zhuǎn)折點并不是零光程，對于非對稱光路，不能通過條紋吞吐來判斷零光程差的位置.加入玻璃板后的非對稱光路中，條紋吞吐轉(zhuǎn)折點和零光程差的位置是兩個不同的概念，且二者分別位于不加玻璃板的零光程位置的兩邊.

圖3 干涉圓環(huán)粗細疏密變化

實驗中我們分別測量了未加玻璃和加入玻璃板后條紋吞吐轉(zhuǎn)折點的位置 L1和 L2，具體數(shù)據(jù)如

表1所示，其中L1為未加玻璃板時的零光程差位置（即條紋吞吐轉(zhuǎn)折點的位置），L2為加上玻璃板之后條紋吞吐轉(zhuǎn)折點的位置.玻璃板的厚度測量數(shù)據(jù)如表2所示.按照前面的式（2），計算得玻璃板的折射率為n=ΔL/d+1=0.643＜1.這種異?，F(xiàn)象說明加上玻璃板之后條紋吞吐轉(zhuǎn)折處并不是零光程差位置.下面我們具體分析加入玻璃板后條紋吞吐轉(zhuǎn)折點的物理意義，并且利用條紋吞吐轉(zhuǎn)折點測量玻璃板的折射率.

表1 動鏡M2位置記錄表

表2 玻璃板厚度測量

3 干涉條紋吞吐機理的研究

圖4所示為點光源的邁克耳孫干涉光路原理圖［1］，它是通過分束鏡將一束光分為兩束，再將它們反射到一起，形成干涉圖樣.點光源S0通過分束鏡成一虛像S，然后分別在兩塊反射鏡M′1和M2上成像，即形成兩個虛光源 S1和 S2，當兩反射鏡嚴格垂直時，這兩個虛光源之間產(chǎn)生等傾干涉圓環(huán)圖樣.設M′1M2=t，則 S1S2=2t，對于中心亮條紋有 2t=kλ（λ為光源波長）.通過調(diào)節(jié)動鏡 M2的位置來改變虛光源S2的位置，從而使得干涉圓環(huán)條紋發(fā)生吞入或者吐出的變化.理論上當動鏡M2向靠近分束鏡方向移動時，由于兩虛光源 S1和 S2的間距變大，k增大，干涉條紋變纖細、緊密，表現(xiàn)為吐出現(xiàn)象.反之，如果動鏡向遠離分束鏡方向移動，兩虛光源S1和S2的間距變小，k減小，干涉條紋變粗大、稀疏，表現(xiàn)為吞入現(xiàn)象.

圖4 點光源邁克耳孫干涉光路原理圖

實驗中，我們在動鏡臂光路中加上玻璃板，該路光程增大，但并不意味著該路的虛光源移到了更遠的地方.相反，因為玻璃板的折射作用，虛光源會向靠近動鏡的方向移動.圖5所示為在動鏡M2前放上厚度為d、折射率為n的待測平板玻璃后，光在平板玻璃板內(nèi)傳播路徑光路圖.由于光在玻璃板內(nèi)發(fā)生折射，折射光的反向延長線與主光軸的交點為新的虛光源S′，相對于未放玻璃板前的虛光源 S而言，光源被拉近了一段距離，這段距離的長度即為線段SS′的長度（等于 AB）.由于光線兩次通過玻璃板，所以總共拉近的距離為2AB.

圖5 光在玻璃板中的折射光路圖

設虛光源S發(fā)出的光線的入射角為α，其相應的折射角為β，由幾何關系易知

則

對應拉近的距離為

其中

因此，

考慮入射角α很小的情況，有［2］

圖6所示為加入玻璃板的點光源干涉原理圖.測量玻璃板折射率前先將動鏡M2調(diào)到與M′1重合的位置，這時兩臂光程差為零，虛光源S1與S2重合.在動鏡前加上玻璃板之后，由于光源S兩次經(jīng)過玻璃板，等效為加入了厚度為2d的玻璃板.由于折射的原因，虛光源S移動到了S′處（SS′=2d（n-1）/n），相應的S2就移動到了 S′2的位置，此時 M2M′2=d（n-1）/n，S2S′2= 2d（n-1）/n.要使干涉條紋發(fā)生吞吐轉(zhuǎn)折，就要通過移動動鏡將虛光源S′2移動至與虛光源S1重合的地方，即將M2移動至M′2位置.在動鏡移動的過程中，兩光源之間距離一直減小，條紋一直是吞入的，直到S′2越過S1.

圖6 加上玻璃板之后的點光源位置變化

而要使兩臂重新回到零光程差，動鏡的位置應該是M2″處，相應的虛光源S′2將移動到S2″，M2M2″= S2″S′2／2=（n-1）d.在動鏡移動的過程中，兩光源之間的距離不斷增大，條紋不斷吐出.新的零光程差位置M2″和條紋吞吐轉(zhuǎn)折位置M′2分別位于原零光程差位置M2（M′1）（沒有加玻璃板時）的兩側.這就是我們觀察到異?，F(xiàn)象的原因所在.

綜上分析可知

即可得玻璃板折射率為

對于前面提到的干涉圓環(huán)粗細疏密的變化，用這種方法同樣可以解釋.

圖7（a）所示為動鏡位置遠大于零光程差位置時的情況.加上玻璃板前，對于觀察屏中心亮條紋有2S1S2=2t=k1λ.加上玻璃板之后，虛光源由S2移動到了S2′的位置，2S1S2′=2t-2d（1-1/n）=k2λ，可知k2＜k1，故而條紋變粗大、稀疏.同理可分析圖 7（b）所示動鏡位置遠小于零光程差位置時的情況，得出加入玻璃板后觀察屏上的條紋變密變細.加入玻璃板后通過移動動鏡再次找到條紋吞吐轉(zhuǎn)折點的位置L2處，此時動鏡臂和定鏡臂的光程差應該為

圖7 條紋粗細疏密變化原理分析

說明加入玻璃板確實增大了光程差，但是我們看到的條紋粗細疏密及條紋吞吐的變化不是簡單的往外吐且條紋變密，條紋吞吐及粗細疏密的變化需要通過具體計算兩臂的光程差隨位置變化的關系來判斷條紋吞吐，以及干涉角度隨位置變化的關系來判斷條紋粗細疏密的變化.

對于白光干涉的情況，由于白光的相干長度非常小，只有在零光程差附近時才能看到干涉條紋，并且白光是等厚干涉的直條紋，它并不依靠條紋吞吐轉(zhuǎn)折來確定零光程差位置.所以用白光干涉法測量折射率并不會有所謂的異?，F(xiàn)象.

4 實驗測量玻璃板折射率

由前面的分析得出，通過分別測量不加玻璃板和加入玻璃板后條紋吞吐轉(zhuǎn)折點處動鏡所在的位置L1和L2，兩者之差即為ΔL=｜L1-L2｜，通過測量玻璃板的厚度，即可推導出待測玻璃板的折射率.

由前面的公式（10）和表1、表2測得的數(shù)據(jù)計算可以得到，無機玻璃板的折射率為 n=1/（1+ΔL/

表3 白光干涉法測量折射率

則n=ΔL/d+1=1+0.538 885/0.993 6=1.542，激光干涉法測得的折射率相對于白光干涉法的誤差為1.10%.可見上述分析是符合實際情況的，用激光干涉法測量折射率是可行的.

文獻［2］中，作者將條紋吞吐的實質(zhì)理解為干涉圓環(huán)角半徑i隨動鏡位置x的變化，吞吐轉(zhuǎn)折時，di/dx=0，并由此給出了吞吐轉(zhuǎn)折點和零光程差位置的關系.而我們則是直接從幾何光學出發(fā)給出了吞吐轉(zhuǎn)折點與零光程差位置的關系式，方法簡單直觀，且從實驗上進行了進一步的數(shù)據(jù)驗證.

5 實驗總結

未加上玻璃板之前，條紋吞吐轉(zhuǎn)折就是零光程差位置，因為這個時候兩條光路是對稱的，產(chǎn)生干涉的兩個虛光源可視為等效的光源，可直接比較它們之間的光程差.加上玻璃板之后，由于折射成像，就破壞了這種對稱性，兩個虛光源之間就不能直接比較光程差了.與此同時，筆者注意到補償板的補償作用的實質(zhì)所在，它不僅在于補償光程差，更在于使虛光源等效，而后者是靠動鏡移動無法補償?shù)?若缺少補償板，或者補償板厚度不夠、角度與分束鏡不平行，都相當于在原本對稱的光路基礎上，再加上了一塊玻璃板，就不能憑條紋吞吐來判斷零光程差位置.

所謂的異常現(xiàn)象是因為理解不夠深入，簡單認為吞吐轉(zhuǎn)折點就是零光程差的位置.對于上述現(xiàn)象的研究，有利于增加對邁克耳孫干涉和光的波粒二象性的理解，同時也得到了一種新的測量折射率的方法.這種方法的不足之處在于條紋吞吐轉(zhuǎn)折判斷存在一定主觀因素的誤差，優(yōu)點在于激光相干長度大，測量方法簡單，條紋便于觀察.

致謝：衷心感謝國防科技大學的周艷麗老師和北京大學的穆良柱老師在實驗中給予的幫助與有益討論.

［1］ 李賢芳，李建青，馬爭爭，等.基于點光源的邁克耳孫干涉實驗條紋的機理分析［J］.物理與工程，2014，24（3）：37-41.

［2］ 雷前召.邁克爾遜干涉儀測量折射率的實驗研究［J］.渭南師范學院學報，2011，26（10）：68-74.

The abnormal phenomenon of measuring refractive index with Michelson interferometer

NAN Yang1，XIONG Chang2，TANG Fang2，LI Chao-rong2
（1.School of Material Science and Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China；2.School of Physics and Nuclear Energy Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China）

While Michelson interferometer and laser are used to measure the refractive index of glass pane，there is an abnormal phenomenon.When we put a glass pane into one side of the light path，we observe an abnormal phenomenon of equal inclination inference rings puff.In this letter，we analyze the phenomenon in terms of geometrical optics and make clear the relationship between the turning point of interference fringe，zero light path difference and the relative location of virtual light sources.We also perform comparative analysis with experimental data.

Michelson interferometer；turning point of interference fringe；refractive index；geometrical optics；virtual light source

O 436.1

A

1000-0712（2016）11-0052-06

2015-12-30；

2016-05-04

北京航空航天大學重大教改項目資助

南陽（1994-），男，江西樟樹市人，北京航空航天大學材料科學與工程學院2013級本科生.

熊暢，Email：xiongchang1821＠163.com