符雙學(xué),周長江

(1.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣州 510403; 2.湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長沙 410082)

?

基于精確建模的齒輪傳動(dòng)線外嚙合沖擊研究

符雙學(xué)1,周長江2

(1.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣州 510403; 2.湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長沙 410082)

根據(jù)齒輪嚙合原理,準(zhǔn)確求解出復(fù)雜的齒廓曲線; 采用MATLAB-APDL混合建模方法,創(chuàng)建精確的齒輪有限元模型,對齒輪傳動(dòng)線外嚙合沖擊問題進(jìn)行了研究,推導(dǎo)出齒輪嚙合沖擊碰撞數(shù)學(xué)模型,通過實(shí)例計(jì)算,求出了沖擊速度與沖擊力、齒寬與沖擊力的數(shù)量關(guān)系,獲得了比較精確的沖擊時(shí)間.線外嚙合沖擊的深入研究,對改善齒輪傳動(dòng)性能和提高齒輪設(shè)計(jì)制造水平具有一定的意義.

精確建模; 齒輪傳動(dòng); 線外嚙合; 沖擊

傳動(dòng)齒輪沖擊研究對于減少摩擦損失、增大輪齒承載能力、改善系統(tǒng)傳動(dòng)性能等具有顯著的意義.因輪齒的受載變形、加工誤差、在理論嚙合線外發(fā)生嚙合等而產(chǎn)生的嚙入與嚙出沖擊,稱為嚙合沖擊.嚙合沖擊會(huì)加速齒輪的點(diǎn)蝕形成、齒根裂紋的萌生與擴(kuò)展,及輪齒的斷裂,同時(shí)又影響到齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,是重要的振動(dòng)與噪聲激勵(lì)源.

國內(nèi)外學(xué)者對齒輪線外嚙合的沖擊問題做了很多研究,WINTER將線外嚙合沖擊列為齒輪傳動(dòng)振動(dòng)與噪聲的三大原因之一; MUNRO[1]等對線外嚙合與傳遞誤差的關(guān)系進(jìn)行了研究,推導(dǎo)出了定量的計(jì)算公式; SMITH[2]把傳遞誤差作為齒輪振動(dòng)噪聲的激勵(lì)源,研究了齒輪動(dòng)力學(xué)問題; WECK 、JAO分析了線外嚙合沖擊與齒輪點(diǎn)蝕破壞之間的關(guān)系[3-4]; 姚文席等[5]研究了嚙入沖擊的動(dòng)態(tài)響應(yīng); 武保林等[6]給出了基于機(jī)械動(dòng)力學(xué)理論和能量守恒定律的線外嚙合沖擊力的計(jì)算公式.

對于線外嚙合對齒輪承載能力、振動(dòng)、噪音、摩擦磨損等方面的影響,學(xué)者們做了許多有益的研究.但在連續(xù)體彈性動(dòng)力學(xué)層面,對線外嚙合的沖擊力、沖擊時(shí)間與相應(yīng)的沖擊應(yīng)力等問題尚缺少深入研究.齒輪嚙合沖擊問題的本質(zhì)是連續(xù)體彈性體動(dòng)力沖擊碰撞問題,目前的研究都把這一問題當(dāng)成集中質(zhì)量的碰撞問題,沖擊問題本身是一個(gè)強(qiáng)非線性問題,沖擊過程極其復(fù)雜,解析方法無法準(zhǔn)確的求解這一問題.本文采用MATLAB-APDL混合建模方法,創(chuàng)建精確的齒輪線外嚙合有限元模型,基于LS-DYNA動(dòng)力學(xué)仿真系統(tǒng),對嚙合沖擊問題進(jìn)行了研究,給出了齒輪嚙合沖擊碰撞的數(shù)學(xué)模型,通過實(shí)例計(jì)算,對沖擊過程進(jìn)行了數(shù)值模擬,得出了沖擊力與沖擊時(shí)間,齒寬與嚙合沖擊力的數(shù)量關(guān)系.

1 齒輪幾何模型的建立

1.1 齒輪及其材料特性參數(shù)

計(jì)算模型用到的齒輪參數(shù)見表1,齒輪的材料特性見表2.功率P=15 kW,轉(zhuǎn)速n1=2 000 r/min,傳動(dòng)比為1.齒輪精度6級,標(biāo)準(zhǔn)安裝,不計(jì)輪齒誤差及軸、齒輪箱變形; 齒形粗短,考慮剪切.

表1 齒輪參數(shù)

表2 齒輪材料特性

1.2 輪齒幾何模型的生成

齒廓由無凸臺(tái)、壓力角為20o的標(biāo)準(zhǔn)滾刀加工而成; 不考慮加工過程中刀具和齒輪毛坯相互擠壓產(chǎn)生的彈性變形.標(biāo)準(zhǔn)滾刀齒形如圖1所示,其中直線部分切出齒輪的漸開線,刀具圓角部分切出過渡曲線,加工出的輪齒如圖2所示.

圖1 滾刀齒形

漸開線方程為

(1)

式中:x,y分別為漸開線方程的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；γi為齒廊上任意點(diǎn)至齒輪軸心的距離；γ=(π/2z)-(invxi-invx),αi為齒廊上任意點(diǎn)的壓力角.

過渡曲線方程為:

圖2 輪齒齒廓

(2)

圖3 三維精確齒形

根據(jù)式(1)和(2),在MATLAB中編程準(zhǔn)確求解出齒廓曲線,并“寫入”純文本數(shù)據(jù)文件; 由APDL(ANSYS Parametric Design Language)編程“讀出”,在ANSYS圖形窗口中生成齒廓,完成較復(fù)雜的輪齒部分幾何建模,齒輪幾何模型見圖3.基于純文本數(shù)據(jù)文件的APDL與MATLAB混合編程,可創(chuàng)建復(fù)雜的齒輪有限元幾何模型.

2 齒輪嚙合的彈性沖擊碰撞動(dòng)力學(xué)模型

2.1 齒輪嚙合沖擊分析

在齒輪嚙合過程中,一對理想齒輪正確嚙合的條件是它們的法節(jié)相等,即Pb1=Pb2.但實(shí)際上由于存在輪齒誤差和變形,使得Pb1≠Pb2.這樣,輪齒在嚙入點(diǎn)和嚙出點(diǎn)會(huì)偏離理論嚙合線,從而導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)在嚙合開始與結(jié)束時(shí)發(fā)生嚙入與嚙出沖擊.

研究表明,嚙入沖擊的影響明顯比嚙出沖擊大,現(xiàn)主要討論嚙入沖擊對齒輪強(qiáng)度的影響.當(dāng)Pb1

圖4 齒輪嚙入沖擊示意圖

圖5 齒輪嚙合沖擊力學(xué)模型建模示意圖

2.2 基于彈性沖擊碰撞理論的齒輪嚙合沖擊力學(xué)模型

齒輪嚙合沖擊問題屬于彈性動(dòng)力學(xué)范疇，根據(jù)文獻(xiàn)[9],線彈性小變形動(dòng)力學(xué)基本控制方程為

(3)

邊界條件

(4)

式中：ui(x,t)為x點(diǎn)在t時(shí)刻的位移.

圖5是對應(yīng)于圖4的齒輪嚙合沖擊力學(xué)模型建模示意圖.在彈性沖擊碰撞問題中,除了考慮變形體的應(yīng)變能以及外力勢能外,還須考慮物體的動(dòng)能,建立包含這些能量在內(nèi)的泛函數(shù),由它們的駐值條件便可以得到彈性動(dòng)力學(xué)的控制方程以及定解條件.

由Hamilton變分原理可建立齒輪嚙合沖擊的彈性動(dòng)力學(xué)控制方程以及定解條件,采用的初值條件為u(x,0)=u0(x),u(x,t1)=u1(x),其中,u0(x)和u1(x)為給定的函數(shù),保留幾何方程、物理方程與位移邊界條件.滿足上述方程的狀態(tài)稱為可能運(yùn)動(dòng)狀態(tài),即約束所允許的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).由Hamilton變分原理有:

(5)

將K與U代入式(5)中,逐項(xiàng)進(jìn)行變分運(yùn)算,可以得到:

(6)

由于(σijδui),j=σij,jδui+σijδui,j,pi=σijnj，(nj為法向量)代入式(6)中,并應(yīng)用散度定理得出:

(7)

將主、從動(dòng)齒輪的結(jié)構(gòu)空間離散化,在離散化的單元以及節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行位移ui(x,y,z,t)插值,即

(8)

∫VρfNTdV-∫sσPNTdS]δUdt=0

(9)

令M=∫VNTρNdV,K′=∫VBTEBdV,F1=∫Vρf′NTdV,F2=∫sσPNTdS.由δU的任意性,有

(10)

(11)

式(11)中,阻尼矩陣C工程上一般采用比例阻尼計(jì)算方法,即

(12)

系數(shù)α0,α1可以由試驗(yàn)方法或經(jīng)驗(yàn)確定.

動(dòng)力方程式(11)的求解方法采用顯示中心差分法,假定0,t1,t2,…,tn時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)位移、速度與加速度均為已知,現(xiàn)求解tn+1(t+Δt)時(shí)刻的結(jié)構(gòu)響應(yīng).中心差分法對加速度、速度的導(dǎo)數(shù)采用中心差分代替,即

(13)

將式(13)代入式(11)中,整理后得

(14)

3 數(shù)值仿真及分析

3.1 沖擊力與沖擊速度的關(guān)系

由圖4可得實(shí)際嚙入點(diǎn)D的位置公式:

(15)

式中：η為O2D與O1O2的夾角；r1,r2分別為主動(dòng)齒輪和被動(dòng)齒輪的節(jié)圓半徑；ra2被動(dòng)齒輪和齒頂圓半徑.

由圖6可知,沖擊力隨著沖擊速度的增加而增大.齒側(cè)的間隙是不變的,因此主動(dòng)輪初速的增加,將引起輪齒沖擊過程的提前,提前的時(shí)間隨初速的增加而增大.

根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知最大沖擊力與速度的關(guān)系式為

(16)

式中：J1,J2分別為齒輪1，2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rb1,rb2分別為齒輪1，2瞬時(shí)嚙合線對應(yīng)的瞬時(shí)基圓半徑；qs為齒輪在初始嚙入點(diǎn)D處的綜合柔度.

在已知沖擊速度的情況下可求出的最大沖擊力的解析解,與數(shù)值仿真結(jié)果的對比情況如下表3所示.

3.2 沖擊力的作用時(shí)間

利用LS-DYNA可得到不同沖擊速度下沖擊力作用時(shí)間的準(zhǔn)確值,如表4所示.

圖6 沖擊力隨時(shí)間變化曲線

根據(jù)文獻(xiàn)[5],嚙合沖擊時(shí)間近似計(jì)算公式為

(17)

式中:Tz是理想齒輪理論上的換齒時(shí)刻;t0是齒對進(jìn)入嚙合的瞬時(shí)時(shí)刻.計(jì)算表明,Δt一般是Tz的5%～10%;z1是出輪1的齒數(shù)；ω1是齒輪1的角速度.

表3 沖擊力的解析解與數(shù)值仿真結(jié)果的對比

表4 沖擊力作用時(shí)間與沖擊速度對應(yīng)表

按文獻(xiàn)[5],Δt為一次完整的嚙合沖擊過程的時(shí)間,即圖4中齒輪嚙合運(yùn)動(dòng)從D點(diǎn)到E點(diǎn)的時(shí)間; 而表4中列出的沖擊時(shí)間為沖擊力作用的時(shí)間,即兩物體接觸碰撞時(shí)彈性變形的時(shí)間,兩者的定義不同,在數(shù)值上不具備可比性.但是由表4可知,隨著沖擊速度的提高,沖擊時(shí)間略有減小.這與式(17)中ω1增大Δt減小的趨勢一樣的,說明沖擊時(shí)間與主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速有關(guān),與沖擊速度有關(guān).

3.3 沖擊力與齒寬的關(guān)系

根據(jù)理論力學(xué)

(18)

式中:ρ為密度;b為齒寬;rh為齒輪內(nèi)腔半徑;rb1、rb2′分別為瞬時(shí)嚙合線對應(yīng)的瞬時(shí)基圓半徑,如圖4所示.

將(18)式代入到(16)式中,可得沖擊力與齒寬的關(guān)系式

(19)

同樣利用LS-DYNA仿真,得出了不同齒寬下的最大沖擊力值.如圖7所示.由圖7可知，最大沖擊力隨著齒寬的增加而增大.這是因?yàn)樵谄渌麉?shù)不變的情況下,齒輪齒寬增加,則齒輪質(zhì)量增大,沖擊必定加劇.

圖7 v=0.5 m·s-1時(shí)不同齒寬下的最大沖擊力

4 結(jié)論

(1) 基于齒輪嚙合原理,采用MATLAB-APDL混合建模方法,創(chuàng)建了精確的齒輪有限元模型.

(2) 齒輪線外嚙合沖擊時(shí),沖擊速度對沖擊力的影響非常大,因此在齒輪傳動(dòng)的減震降噪、摩擦與磨損上,適當(dāng)?shù)販p小沖擊速度是非常有效的手段.

(3) 在沖擊速度不變的情況下,齒寬越寬沖擊力越大.

(4) 沖擊作用時(shí)間可通過數(shù)值仿真精確求出,其值隨著沖擊速度的增大而減小,沖擊時(shí)間的精確求出為沖擊的動(dòng)態(tài)響應(yīng)奠定了基礎(chǔ).

[1] MUNRO R G,MORRISH L,PALMER D.Gear transmission error outside the normal path of contact due to corner and top contact[J].Journal of Mechanical Engineering Science,1999,213(3):389-399.

[2] SMITH D J.Gear noise and vibration[M].New York:Marcel Dekker,2000.

[3] WECK M G.Optimum tooth flank corrections for helical gears[J].Journal of Mechanical Design ,1990,112(4):584-589.

[4] JAO T C,DEVLIN M T.Influence of surface roughness on gear pitting behavior[J].Gear Technology,2006,23,(3):31-38.

[5] 姚文席,魏任之.漸開線直齒輪的嚙合沖擊研究[J].振動(dòng)與沖擊,1990,36(3):57-62.

YAO Wenxi,WEI Renzhi.The shock research on meshing teeth of involute spur gear[J].Journal of Vibration and Ahock,1990,36(3):57-62.

[6] 武保林,楊素君,姚俊紅.齒輪傳動(dòng)中嚙合沖擊的理論分析[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2003,22(1):55-57.

WU Baolin,YANG Sujun,YAO Junhong.Theoretical analysis on meshing impact of involute gears[J].Mechanical Science and Technology,2003,22(1):55-57.

[7] 符雙學(xué).齒輪傳動(dòng)齒面摩擦因數(shù)反求研究[D].長沙:湖南大學(xué),2008.

FU Shuangxue.Computational inverse studies of teeth friction coefficients in gear drive[D].Changsha:Hunan University,2008.

[8] 肖利民,唐進(jìn)元.低噪聲齒輪設(shè)計(jì)方法[J].制造技術(shù)與機(jī)床,1995(5):30-33.

XIAO Limin,TANG Jinyuan.A new design method for low noise gear[J].Manufacturing Technology & Machine Tool,1995(5):30-33.

[9] 白金澤.LS-DYNA3D理論基礎(chǔ)與實(shí)例分析[M].北京:科學(xué)出版社,2005:10-100.

BAI Jinze.LS-DYNAN3D theoretical basis and case analysis[M].Beijing:Science Press,2005:10-100.

Corner contact impact on gear transmission based on accurate modeling

FU Shuang-xue1,ZHOU Changjiang2

(1.Civil Aviation College Guangzhou, Guangzhou 510403，China；2.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082，China)

Based on the gear engagement principles, the exact curve of tooth profile is produced.With composite modeling via MATLABTM and APDLTM, a precise FEM gear model is established.Upon completion of the mathematical model for gear meshing impact and collision, the corner contact impact process is simulated to quantitatively obtain the relationships between impact velocity and force, as well as between gear breadth and impact force.Therein, the accurate impact timing can improve the performance of gear transmission and upgrade the gear design and manufacturing level.

accurate modeling; gear transmission; corner contact; impact

國家自然科學(xué)基金(50805044); 廣東省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目(YQ2014178)資助

符雙學(xué)(1979-),男,副教授.E-mail:25272505@qq.com

TH 132.41

A

1672-5581(2016)03-0221-06