周奇才,吳青龍,陳明陽,熊肖磊

(同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院,上海 201804)

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基于靈敏度分析的桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)尺寸優(yōu)化

周奇才,吳青龍,陳明陽,熊肖磊

(同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院,上海 201804)

以桁架結(jié)構(gòu)桿件截面尺寸參數(shù)為設(shè)計(jì)變量,以結(jié)構(gòu)重量為目標(biāo)函數(shù),以結(jié)構(gòu)的固有頻率為約束條件,建立桁架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型.通過推導(dǎo)固有頻率和結(jié)構(gòu)重量對(duì)桿件截面尺寸的靈敏度,確定優(yōu)化桿件及優(yōu)化步長(zhǎng),建立了結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)方法并制定了在ANSYS軟件中的實(shí)現(xiàn)方案.方法能有效地改變結(jié)構(gòu)固有頻率,避免處于動(dòng)載荷作用下的結(jié)構(gòu)因發(fā)生共振而破壞.最后,使用數(shù)值算例驗(yàn)證了優(yōu)化方法的有效性.

桁架; 尺寸優(yōu)化; 固有頻率; 靈敏度; 動(dòng)力學(xué)

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域,靜力學(xué)優(yōu)化方法已十分成熟,包括結(jié)構(gòu)拓?fù)?、形狀、尺寸?yōu)化設(shè)計(jì)方法.但工程中的結(jié)構(gòu),不可避免地會(huì)受到風(fēng)激、地震、波浪或者貨物的突然加載和卸載等振動(dòng)和沖擊載荷的作用.而隨工程技術(shù)的進(jìn)步,對(duì)結(jié)構(gòu)性能的要求也越來越高,結(jié)構(gòu)不僅要滿足靜力學(xué)強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求,還要滿足動(dòng)力學(xué)性能的要求.因此,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)逐步發(fā)展起來.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化是一門集有限單元法、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、數(shù)學(xué)優(yōu)化算法、數(shù)值計(jì)算方法以及程序設(shè)計(jì)等多學(xué)科于一體的學(xué)科,是現(xiàn)代工程領(lǐng)域較為復(fù)雜的研究分支[1-2].考慮結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量與結(jié)構(gòu)外形的關(guān)系,動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)與結(jié)構(gòu)靜力優(yōu)化一樣可分為動(dòng)力尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化[3]和拓?fù)鋬?yōu)化[4].考慮優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響,動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)可分為結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)[5]和結(jié)構(gòu)響應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)[6].結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性優(yōu)化設(shè)計(jì)是指對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率、振型、阻尼、重量與剛度等進(jìn)行優(yōu)化; 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)是以動(dòng)載荷激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)為目標(biāo)或約束的優(yōu)化設(shè)計(jì).

本文以桁架結(jié)構(gòu)桿件截面尺寸參數(shù)為設(shè)計(jì)變量,以結(jié)構(gòu)重量為目標(biāo)函數(shù),以結(jié)構(gòu)的固有頻率為約束條件,建立了桁架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型,推導(dǎo)了目標(biāo)函數(shù)和約束條件對(duì)設(shè)計(jì)變量靈敏度的表達(dá)式,找到了固有頻率靈敏度與重量靈敏度比值大的桿件并以此確定優(yōu)化方向.以結(jié)構(gòu)剛度矩陣的變化量確定優(yōu)化步長(zhǎng)并實(shí)現(xiàn)了桁架結(jié)構(gòu)頻率約束下的尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì).

1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型可描述如下:

(1)

2 靈敏度分析

2.1 固有頻率靈敏度

無阻尼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性可由特征方程(2)給出:

(2)

方程(2)本質(zhì)上是一個(gè)廣義特征值問題.其中,K,M 分別為結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣和總體質(zhì)量矩陣,方程的特征值λk=ωk2,特征值λk對(duì)應(yīng)的特征向量Xk為固有頻率ωk下的結(jié)構(gòu)振型向量.

為求固有頻率ωk對(duì)桿件截面尺寸參數(shù)ai的靈敏度,式(2)兩端對(duì)設(shè)計(jì)變量ai微分可得:

(3)

式(3)兩端左乘XkT,并整理得到:

(4)

式(2)兩邊進(jìn)行轉(zhuǎn)置運(yùn)算可以得到XkTKT=λkXkT·MT,因剛度矩陣和質(zhì)量矩陣K,M為對(duì)稱矩陣,故有:

(5)

因此式(4)可化為

(6)

整理式(6)即可得到特征值的靈敏度:

(7)

式(2)兩邊乘以XkT可以得到式(8).

XkTKXk=λkXkTMXk

(8)

假設(shè)XkTMXk=δk,則XkTKXk=λkδk.將振型Xk對(duì)質(zhì)量矩陣歸一化,假設(shè)Xk1=αXk為歸一化后的振型,則有:

(9)

振型歸一化后,式(7)可轉(zhuǎn)化為

(10)

(11)

空間桁架的有限元法中,桿單元在單元坐標(biāo)系下的剛度矩陣和一致質(zhì)量矩陣可表示如下:

(12)

(13)

要由單元坐標(biāo)系下的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣組集總體剛度和質(zhì)量矩陣,需要將單元?jiǎng)偠染仃?、質(zhì)量矩陣轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系下,其坐標(biāo)變換矩陣如下:

(14)

α為單元坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系之間的夾角.

(15)

(16)

(17)

(18)

將式(17),(18)代入(11),式(11)可轉(zhuǎn)化為

(19)

式(19)即為無阻尼桁架結(jié)構(gòu)固有頻率對(duì)桁架中桿件截面尺寸參數(shù)的靈敏度.

2.2 重量靈敏度

桁架結(jié)構(gòu)中,重量對(duì)桁架截面積設(shè)計(jì)變量的靈敏度較為簡(jiǎn)單,如式(20)所示.

(20)

2.3 單元靈敏度

為表征結(jié)構(gòu)的優(yōu)化效率,引入單元靈敏度的概念,如式(21)所示.它表示了改變桿單元i的截面積所帶來的結(jié)構(gòu)頻率收益Δω2與結(jié)構(gòu)重量支出ΔM的比值,該比值越大則表明此桿單元的優(yōu)化效率越高,在優(yōu)化時(shí)優(yōu)先改變這些桿件的截面積.

(21)

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)方案

單元靈敏度si的大小表示了設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化效率.si越大則增大桿件i的截面積所帶來的頻率改變量越大.為平衡優(yōu)化效果與計(jì)算量,需確定每次優(yōu)化迭代中對(duì)哪些桿件的截面參數(shù)進(jìn)行調(diào)整及調(diào)整的幅度,具體的優(yōu)化方案如下.

3.1 設(shè)計(jì)變量移動(dòng)方案

假定si>1的單元為有效優(yōu)化單元,為增強(qiáng)優(yōu)化效果,每次迭代中選取有效優(yōu)化單元中靈敏度最大的50%作為移動(dòng)單元,改變這些單元的截面尺寸.

3.2 移動(dòng)步長(zhǎng)

尺寸的移動(dòng)步長(zhǎng)是一個(gè)重要的優(yōu)化控制參數(shù),移動(dòng)步長(zhǎng)小,則優(yōu)化過程更為精確,但優(yōu)化進(jìn)程則較為緩慢,計(jì)算成本增加.而過大的移動(dòng)步長(zhǎng)可能導(dǎo)致優(yōu)化設(shè)計(jì)收斂困難.在移動(dòng)中,要求保證總體剛度矩陣的變化量ΔK相對(duì)于總體剛度矩陣K在一個(gè)很小的量級(jí)內(nèi),如2%K—5%K,在文中取5%.因總體剛度矩陣和總體質(zhì)量矩陣都是帶狀稀疏矩陣,可采用矩陣的跡來近似代表矩陣[7].即有:

(22)

在單元層次上可表示為

(23)

3.3 優(yōu)化終止條件

如數(shù)學(xué)模型式(1)中所示,當(dāng)結(jié)構(gòu)固有頻率滿足約束條件,且各桿件截面積在約束范圍內(nèi),則優(yōu)化完成,終止條件如式(24)所示.

(24)

4 ANSYS軟件中的優(yōu)化流程

在ANSYS軟件中實(shí)現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)固有頻率優(yōu)化的重點(diǎn)在于固有頻率靈敏度的計(jì)算,其中涉及到剛度矩陣、質(zhì)量矩陣的提取與組裝,以及剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、頻率、振型之間的向量與矩陣運(yùn)算等[8-10].具體流程如圖1所示.

圖1 ANSYS中優(yōu)化流程圖

5 數(shù)值算例

5.1 問題描述

以如圖2所示的平面桁架結(jié)構(gòu)為例對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證.桁架結(jié)構(gòu)中桿件材料為鋁,彈性模量E=68.97GPa,密度ρ=2 768kg·m-3.結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)及各桿件尺寸參數(shù)如表1所示.假設(shè)因工程實(shí)際需求,該桁架結(jié)構(gòu)的基頻需大于20Hz,各桿件截面的最小尺寸為6.45cm2,最大尺寸為225.81cm2.求滿足該條件的最小重量桁架.該優(yōu)化問題可用數(shù)學(xué)模型(25)描述.

圖2 優(yōu)化算例桁架示意圖

桿號(hào)截面積/cm2節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)/m桿1167.741(0,9.14)桿267.742(10,8.6)桿367.743(0,0)桿432.264(9.14,0)桿5141.945(18.28,0)桿677.426(7,4.4)桿732.267(13.9,6.3)桿867.74桿9141.94桿10109.68

(25)

5.2 優(yōu)化結(jié)果

如圖3所示為優(yōu)化過程中結(jié)構(gòu)基頻和重量的變化圖線.

圖3 桁架基頻和重量的優(yōu)化過程數(shù)據(jù)

結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后的固有頻率及重量數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 桁架優(yōu)化前后的固有頻率和重量對(duì)比數(shù)據(jù)

優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的桿件截面尺寸數(shù)據(jù)如表3所示.

表3 桁架優(yōu)化后桿件的截面積參數(shù)

由上述數(shù)據(jù)可知,優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率增加了8.27%,結(jié)構(gòu)重量增加了2.54%.以較小的重量代價(jià)獲得了較大的固有頻率收益.

6 結(jié)論與討論

文章建立了桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型,推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)固有頻率和重量的靈敏度表達(dá)式,確定了設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化方案,并用數(shù)值算例驗(yàn)證了算法的有效性.該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的意義在于,通過固有頻率的約束,可使結(jié)構(gòu)避開其工作環(huán)境中動(dòng)載荷的激勵(lì)頻率,從而避免結(jié)構(gòu)因發(fā)生共振而破壞.基于靈敏度分析對(duì)桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化,由于利用了結(jié)構(gòu)固有頻率和重量對(duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)信息,故具有較高的優(yōu)化效率和較好的優(yōu)化效果.

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Dynamic size optimization of truss based on sensitivity analysis

ZHOU Qi-cai,WU Qing-long,CHEN Ming-yang,XIONG Xiao-lei

(School of Mechanical Engineering,Tongji University,Shanghai 201804,China)

Using the section size as design variable,truss weight of truss as objective and natural frequency as constraints,the mathematical model for dynamics size optimization design of truss structure is established.Based on the mathematical model,the sensitivity of natural frequency and structural weight to section size is deduced and thus the members to optimize and their optimization step length is determined.These make up the truss size optimization method,which is then accomplished in the ANSYS software.The method can prevent structures from resonance breakage by adjusting the natural frequency efficiently.Finally this truss size optimization method is illustrate by an example.

truss; size optimization; natural frequency; sensitivity; dynamics

周奇才(1962-),男,教授，博士生導(dǎo)師.E-mail:Qczhou@#edu.cn

TH11

A

1672-5581(2016)03-0254-05