孔艷平， 劉金喜， 聶國權(quán)

(石家莊鐵道大學(xué) 工程力學(xué)系，石家莊 050043)

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SH波在0.71Pb(Mg1/3Nb2/3)O3-0.29PbTiO3/金剛石界面的反射和透射

孔艷平， 劉金喜， 聶國權(quán)

(石家莊鐵道大學(xué) 工程力學(xué)系，石家莊 050043)

研究SH波分別從0.71Pb(Mg1/3Nb2/3)O3-0.29PbTiO3(PMN-0.29PT)介質(zhì)和金剛石介質(zhì)傾斜入射時在雙材料界面上的反射和透射規(guī)律。PMN-0.29PT單晶沿[011]c方向極化，宏觀上呈正交各向異性性質(zhì)，且材料主軸沿x3方向旋轉(zhuǎn)切割，數(shù)值分析了SH波斜入射時在交界面處的反射、透射系數(shù)以及能量反射、透射系數(shù)隨入射角的變化。結(jié)果顯示：SH波從金剛石入射時，壓電晶體的旋轉(zhuǎn)切割角度對SH波的反射、透射系數(shù)和能量分配規(guī)律起到非常關(guān)鍵的作用；SH波從壓電材料入射時，晶體的旋轉(zhuǎn)切割角度越大，臨界角越小，隨著入射角的增大，切割角度對SH波反射系數(shù)的影響逐漸減小。這些結(jié)論可為PMN-PT單晶材料在傳感器和頻率控制等領(lǐng)域中的應(yīng)用提供有價值的理論參考。

SH波；PMN-PT單晶；金剛石；反射系數(shù)；透射系數(shù)

波在彈性介質(zhì)中反射與透(折)射問題的研究成果被廣泛應(yīng)用于地震勘探、地震工程和非破壞性評估系統(tǒng)中。彈性波在壓電材料界面的反射透射問題也涉及到許多工程和工業(yè)應(yīng)用，如傳感器、執(zhí)行器、智能結(jié)構(gòu)和超聲波等。在早期，AULD[1]詳細研究了彈性波在半無限大壓電材料自由表面的反射規(guī)律，發(fā)現(xiàn)壓電晶體對稱性、表面電學(xué)邊界條件以及彈性波入射方向?qū)Ψ瓷湫再|(zhì)均有重要影響。KOSHKINA等[2]以及EVERY等[3]分別研究了彈性波在3 m和2 mm對稱壓電晶體自由表面的反射問題。彈性波的反射透射理論也可以應(yīng)用于液體傳感器，SHANA等[4]以及NOORBEHESHT等[5]分別研究了平面波在壓電陶瓷/流體和壓電/水界面的反射和透射規(guī)律。YUAN等[6-7]采用電場準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)，應(yīng)用非均勻波理論研究了彈性波在6 mm對稱壓電晶體半空間表面的反射和在雙材料界面的透射問題。SINGH[8]研究了SH波在彈性/壓電和壓電/壓電界面的反射和透射規(guī)律，數(shù)值分析了反射、透射系數(shù)以及能量反射、透射系數(shù)隨著入射角的變化關(guān)系。DARINSKII等[9]研究了彈性波在壓電材料界面反射和透射時電磁效應(yīng)的作用和影響，研究結(jié)果表明，盡管電磁波和聲波的波速差異較大，但是它們之間存在較強的相互作用。路桂華等[10-11]研究了一維彈性波在壓電介質(zhì)接觸界面的反射和透射規(guī)律，界面連接方式考慮了分離狀態(tài)及接觸狀態(tài)兩種方式，發(fā)現(xiàn)界面分離可以引起高頻諧波。BURKOV等[12]研究了有外電場作用時壓電介質(zhì)中體波的反射和透射，并對結(jié)果進行了數(shù)值模擬。KUANG等[13]以及ZHOU等[14]分析了彈性波在熱釋電材料和壓電材料界面的反射和透射問題，計算了彈性波在半無限大壓電介質(zhì)與真空連接界面之間的二維反射問題。DARINSKII等[15]研究了壓電雙材料的內(nèi)部界面對彈性波的影響，推導(dǎo)了界面超聲波泄漏引起共振所對應(yīng)的入射角，建立了共振全反射的條件。ABD等[16-17]研究了在初應(yīng)力場作用下，QP波和QSV波在兩種不同壓電介質(zhì)界面的反射和透射問題，發(fā)現(xiàn)初應(yīng)力的作用不僅使頻率發(fā)生了偏移，還使表面波波速發(fā)生了變化。上述文獻選取的壓電材料多為壓電陶瓷，對于彈性波在新型弛豫型鐵電單晶PMN-0.29PT界面的反射和透射問題至今還沒有研究，本文以PMN-0.29PT單晶材料為研究對象，當(dāng)PMN-0.29PT沿不同方向極化時，在宏觀上呈現(xiàn)不同對稱性質(zhì)，由于晶體切割方向不同，材料屬性不同，彈性波在鐵電單晶PMN-0.29PT和彈性介質(zhì)界面的反射和透射規(guī)律將會出現(xiàn)一些新的特點。

1 基本方程的描述及求解

如圖1所示，半無限大PMN-0.29PT介質(zhì)和彈性介質(zhì)(金剛石)在x2=0界面處完好結(jié)合在一起，x3方向垂直于ox1x2的平面，x1軸的一側(cè)為PMN-0.29PT單晶，另一側(cè)為金剛石，在圖1中用①和②分別表示兩種不同的介質(zhì)，為了正負號的統(tǒng)一，SH波始終從材料①入射。

圖1 SH波在PMN-0.29PT/金剛石界面的反射和透射Fig.1 Reflection and transmission of SH waves at an interface between PMN-0.29PT and diamond

1.1 基本方程

本文研究反平面問題，即只有面外的彈性場與面內(nèi)的電場耦合，與面內(nèi)的彈性場無關(guān)，也就是u3不為零，面內(nèi)位移u1=u2=0，而且u3僅與x1和x2有關(guān)。PMN-0.29PT單晶沿[011]c方向極化時的本構(gòu)方程為:

(1)

式中,u3和φ分別為PMN-0.29PT的位移和電勢；σ3β和Dβ(β=1,2)分別為應(yīng)力和電位移；(c44,c45,c55)、(e15,e14,e24)和(κ11,κ12,κ22)分別為PMN-0.29PT晶體在實際坐標(biāo)系中的彈性常數(shù)、壓電系數(shù)和介電常數(shù)。單晶的材料主軸繞x3軸逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ，則實際坐標(biāo)系和晶體坐標(biāo)系中材料參數(shù)的關(guān)系可以表示為:

(2)

不考慮體力和自由電荷，應(yīng)力和電位移滿足下面的運動方程:

(3)

式中，ρ為材料密度；t為時間；下標(biāo)中的逗號表示變量對相應(yīng)坐標(biāo)(x1、x2)或時間t的偏微分。

將式(1)代入運動方程(3)，得到控制微分方程:

(4)

對于金剛石介質(zhì)，其本構(gòu)關(guān)系為:

(5)

金剛石介質(zhì)的控制微分方程為:

(6)

1.2 基本方程求解

假設(shè)控制方程(4)解的形式為:

(7)

式中，k為視波數(shù)，v為視速度，i為純虛數(shù)，A、B是未知的振幅，q為未知常數(shù)。

將式(7)代入式(4)得到:

(8)

式(8)有非零解的條件是其系數(shù)行列式的值為零，即:

γ1q4+γ2q3+γ3q2+γ4q+γ5=0

(9)

式中,

γ1=c44κ22+(e24)2,γ2=2(c45κ22+κ12c44+2e24e14),

γ3=c44κ11+4c45κ12+c55κ22+2e15e24+4(e14)2-ρκ22v2,

γ4=2(c45κ11+c55κ12+2e14e15+ρκ12v2),γ5=c55κ11+(e15)2-ρκ11v2

求解式(9)可以得到關(guān)于q的四個根，分別代表入(反)射的SH波，入(反)射的聲電波(EA波)。PMN-0.29PT壓電介質(zhì)中的總波場可以表示為:

(10)

F2j=e24qj+e14-κ12Lj-κ22Ljqj，j=1～4。

同理，解控制方程(6)得到金剛石介質(zhì)的位移和電勢:

(11)

(12)

如果SH波從金剛石入射，①代表金剛石，②代表PMN-0.29PT，入射波場為:

(13)

反射波場為:

(14)

透射波場(PMN-0.29PT介質(zhì))為:

(15)

如果SH波從PMN-0.29PT介質(zhì)入射，①代表PMN-0.29PT，②代表金剛石，入射波場為:

(16)

反射波場為:

(17)

透折射波場(金剛石介質(zhì))為:

(18)

式中,上標(biāo)“(I)” 、“(R)”和“(T)”分別為入射波、反射波和透(折)射波。

1.3 反射和透射系數(shù)

兩個半空間在交界面處是密接的，x2=0處的連續(xù)條件為:

(19)

將入射波式(13)或式(16)、反射波式(14)或式(17)和透射波式(15)或式(18)的位移、電勢、應(yīng)力和電位移等代入界面連續(xù)性條件式(19)中，可以得到關(guān)于反射和透射波幅的4個線性代數(shù)方程，寫成矩陣形式:

(20)

式中,a為4×1向量；M為4×4矩陣。定義反射和透射系數(shù)分別為反射波和透射波波幅與入射波波幅的比值，RS和DS分別代表反射和透射SH波系數(shù)，RE和DE分別代表反射和透射EA波系數(shù)。當(dāng)SH波從PMN-0.29PT介質(zhì)入射時，矩陣M為:

(21)

向量a為:

(22)

因此，通過求解式(20)，可以得到SH波從PMN-0.29PT入射時的反射和透射系數(shù)。

當(dāng)聲電EA波從PMN-PT介質(zhì)入射時，矩陣M與式(21)相同，向量a為:

(23)

類似地，應(yīng)用同樣的方法可以求得SH波從金剛石介質(zhì)入射時的反射和透射系數(shù)。

2 SH波在界面處的能量分配

彈性波在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)中的各個質(zhì)點都在自己的平衡位置附近振動，所以它們具有振動動能，同時由于各質(zhì)點產(chǎn)生了形變，所以還具有彈性勢能，彈性波傳播的過程同時也是能量傳播的過程，一般情況下，用能流密度反應(yīng)彈性波的傳播和強度，我們把垂直于傳播方向單位面積上的能量稱為能流密度(波印亭矢量)，彈性波在介質(zhì)中傳播時，入射波所攜帶的能量在遇到界面時會發(fā)生改變，能量會重新分配或轉(zhuǎn)換，在電場和磁場的準(zhǔn)靜態(tài)近似下，壓電材料的能流密度為:

(24)

式中，Pe(t)為能流密度，是時間t的函數(shù)。

彈性材料(金剛石)的能流密度為:

(25)

將式(16)、式(17)和式(18)分別代入式(24)和式(25)中，可以得到PMN-0.29PT中入射波、反射波以及彈性材料中透射波在一個周期內(nèi)時間平均能流的計算公式。SH波從PMN-0.29PT壓電介質(zhì)入射時，入射SH波的時間平均能流為:

(26)

反射SH波的時間平均能流為:

{P}(Rsh)=-kω(F12-L2F22)(A2)2e2ik(x1+q2x2-vt)

(27)

透射SH波的時間平均能流為:

(28)

反射波強度和透射波強度一般用它們各自所攜帶的能量占總的入射波能量的比值來反映，用{P}(R)/{P}(Ι)和{P}(T)/{P}(Ι)表示:

(29)

由能量守恒，得到:

(30)

3 數(shù)值算例和討論

前面推導(dǎo)的公式中，PMN-0.29PT沿[011]c方向極化，在宏觀上呈現(xiàn)正交各向異性性質(zhì)，所以上述公式適用于各種正交各向異性壓電材料和各向同性彈性材料，表1給出了金剛石和PMN-0.29PT單晶沿[011]c方向極化時的材料常數(shù)。

表1 材料特性參數(shù)[18-19]Tab.1 Material properties[18-19]

表中,κ0為真空中的介電常數(shù)，κ0=8.854×10-12(C2·Nm-2)。

圖2 SH波從金剛石入射時x1-x2平面內(nèi)PMN-PT/金剛石的慢度曲線Fig.2 Slowness curves of PMN-PT/diamond on x1-x2 plane for SH wave incidence from diamond

下面主要討論SH波在PMN-0.29PT和金剛石交界面處的反射和透射規(guī)律，分析反射系數(shù)、透射系數(shù)、能量反射和透射系數(shù)隨入射角的變化，以及PMN-0.29PT晶體的切割角度對反射、透射系數(shù)、能量反射和透射系數(shù)的影響。為了方便討論，圖2給出了SH波從金剛石入射時ox1x2平面內(nèi)的慢度曲線，坐標(biāo)系ox1x2與PMN-0.29PT介質(zhì)的晶體坐標(biāo)系重合，即旋轉(zhuǎn)角度為0°，臨界角可以通過慢度圖中的幾何關(guān)系得到。圖3～圖10給出了SH波分別從金剛石和PMN-0.29PT單晶入射時的反射和透射系數(shù)以及能量反射和透射系數(shù)隨著入射角的變化，入射角的變化范圍為0°～90°。

3.1 SH波從彈性介質(zhì)入射時在交界面處的反射和透射

圖3 SH波從金剛石入射切割角度不同時 SH波的反射和透射系數(shù)隨入射角的變化Fig.3 Reflection and transmission coefficients of SH waves varying with the incident angle for different cutting angles for the SH wave incident from diamond medium

由圖2可以看出，SH波從金剛石入射時不存在臨界角，所以圖3～圖5所示SH波的反射、透射以及能量反射和透射曲線均為光滑的。圖3和圖4描述的是SH波從金剛石介質(zhì)入射時SH波的反射系數(shù)和透射系數(shù)以及EA波的反射系數(shù)隨著入射角的變化曲線。由圖3可以看出，SH波的反射系數(shù)和透射系數(shù)均隨著入射角的增大而減小，入射角為90°(掠入射) 時，反射系數(shù)為-1，透射系數(shù)為零，與PMN-0.29PT晶體的切割角度無關(guān)，但是當(dāng)入射角為0° (垂直入射) 時，晶體的切割角度對SH波的反射系數(shù)和透射系數(shù)影響很大。同時還可以看出，入射角相同的情況下，SH波的反射和透射系數(shù)隨著晶體切割角度的增大而增大，隨著入射角的增大，SH波的反射系數(shù)趨于-1，SH波的透射系數(shù)趨于零。

圖4 SH波從金剛石入射切割角度 不同時EA波的反射系數(shù)隨入射角的變化Fig.4 Reflection and transmission coefficients of EA waves varying with the incident angle for different cutting angles for the SH wave incident from diamond medium

SH波由彈性介質(zhì)入射到壓電/金剛石界面時，在金剛石界面上有沿界面?zhèn)鞑サ姆瓷潆姴?EA波)，由圖4(a)可以看出，當(dāng)入射角為90°時(SH波掠入射)，金剛石介質(zhì)中EA波的反射系數(shù)為零，入射角在0°～90°之間時，EA波的反射系數(shù)與PMN-0.29PT晶體的切割角度有關(guān)，切割角度越大，EA波的反射系數(shù)也越大。PMN-0.29PT透射場中除了SH波以外還有聲電波的傳播，如圖4(b)所示，當(dāng)SH波垂直入射或掠入射時，EA波的透射系數(shù)均為零，其他入射角時，PMN-0.29PT晶體的切割角度對透射場中聲電波EA影響很大，電波(EA波)透射系數(shù)隨入射角的增大先增大后減小，當(dāng)入射角為65°左右時EA波透射系數(shù)達到最大值。相同入射角時，當(dāng)晶體切割角度為45°時，在PMN-0.29PT透射場中的透射系數(shù)大于其它切割角度的透射系數(shù)。

下面分析SH波從金剛石入射時能量反射和透射系數(shù)隨著入射角的變化。反射波和透射波的能量根據(jù)式(29)得到。從金剛石入射時，不存在臨界角，能量變化曲線光滑連續(xù)，如圖5所示。入射角在0°～60°，透射SH波攜帶了絕大部分能量，反射SH波攜帶的能量較少；入射角超過60°以后，透射SH波攜帶的能量急劇減小，反射SH波攜帶的能量急劇增大。PMN-0.29PT晶體0°切割時，入射角為83°時，透射SH波攜帶的能量與反射SH波攜帶的能量相等，但是，隨著晶體切割角度的增大，透射SH波攜帶與反射SH波相同能量對應(yīng)的入射角也隨之增大。入射角從0°～60°變化時，透射SH波攜帶的能量隨晶體切割角度的增大而減小，反射SH波攜帶的能量隨晶體切割角度的增大而增大；入射角從60°～90°變化時，透射SH波攜帶的能量隨晶體切割角度的增大而增大，反射SH波攜帶的能量隨晶體切割角度的增大而減小。同時注意到，掠入射(入射角為90°)時，透射SH波攜帶的能量為0，反射SH波攜帶了全部的能量。由以上分析可以看出，晶體切割角度對SH波透射和反射的能量分配起到非常關(guān)鍵的作用，而且，透射SH波和反射SH波的能量系數(shù)之和為1，充分證明前面公式推導(dǎo)是正確的。

圖5 SH波從金剛石入射切割角度不同時能量隨入射角的變化Fig.5 Energy coefficients varying with the incident angle for different cut angles of the SH wave incident from diamond medium

3.2 SH波從PMN-0.29PT介質(zhì)入射時在交界面處的反射和透射

由慢度曲線圖2可以看出，SH波從PMN-0.29PT入射時存在一個臨界角，臨界角為15.112°，由圖6～圖10可以看出，反射和透射曲線不連續(xù)，有一個尖點，此處的入射角為SH波發(fā)生全反射時對應(yīng)的臨界角，并且臨界角的大小與PMN-0.29PT壓電晶體的切割角度密切相關(guān)。圖6描述的是SH波的反射系數(shù)隨著入射角的變化曲線，可以看出，當(dāng)入射角較小(小于臨界角)時，SH波的反射系數(shù)隨入射角的增大而增大；當(dāng)入射角大于臨界角以后，SH波的反射系數(shù)隨入射角的增大而減小。臨界角的大小與PMN-0.29PT壓電晶體的切割角度有關(guān)，切割角度越大，臨界角越小，同時SH波的反射系數(shù)也越小，但是，隨著入射角的增大，晶體的切割角度對SH波反射系數(shù)的影響越來越小，當(dāng)入射角大于60°時，可以忽略晶體切割角度對SH波反射系數(shù)的影響，反射系數(shù)接近-1。圖7是EA波的反射系數(shù)隨入射角的變化，可以看出，當(dāng)入射角小于臨界角時，EA波的反射系數(shù)幾乎為零，晶體切割角度對EA波反射系數(shù)的影響可以略去不計，當(dāng)入射角較大時，晶體的切割角度對EA波反射系數(shù)產(chǎn)生了較大的影響，切割角度θ=0°和θ=90°時EA波的反射系數(shù)較小。

圖6 SH波從PMN-0.29PT入射切割角度 不同時SH波的反射系數(shù)隨入射角的變化Fig.6 Reflection coefficients of SH waves varying with the incident angle for different cutting angles for the SH wave incident from PMN-0.29PT

圖7 SH波從PMN-0.29PT入射切割角度 不同時EA波的反射系數(shù)隨入射角的變化Fig.7 Reflection coefficients of EA waves varying with the incident angle for different cutting angles for the SH wave incident from PMN-0.29PT

圖8和圖9描述的是金剛石透射波場中SH波和EA波的透射系數(shù)隨入射角的變化，可以看出，SH波的反射和透射系數(shù)變化規(guī)律相似，但是透射的SH波系數(shù)都大于零，當(dāng)入射角大于60°時，可以忽略晶體切割角度對SH波反射系數(shù)的影響，透射系數(shù)接近零。圖9是EA波的透射系數(shù)隨入射角的變化，可以看出，當(dāng)入射角小于臨界角時，透射EA波系數(shù)幾乎為零，當(dāng)入射角較大時，晶體的切割角度不同，對EA波透射系數(shù)也不同，隨著入射角的增大，PMN-0.29PT壓電晶體切割角度為θ=0°和θ=90°時EA波透射系數(shù)趨于零。

圖8 SH波從PMN-0.29PT入射切割角度 不同時SH波的透射系數(shù)隨入射角的變化Fig.8 Transmission coefficients of SH waves varying with the incident angle for different cutting angles for the SH wave incident from PMN-0.29PT

圖9 SH波從PMN-0.29PT入射切割角度 不同時EA波的透射系數(shù)隨入射角的變化Fig.9 Transmission coefficients of EA waves varying with the incident angle for different cutting angles for the SH wave incident from PMN-0.29PT

圖10給出了SH波從PMN-0.29PT單晶材料入射時反射和透射波所攜帶的能量隨入射角的變化。在到達臨界角之前，透射SH波攜帶了絕大部分能量，其能量隨著入射角的增大而增大；反射SH波僅攜帶一小部分能量，其能量隨著入射角的增大而減小。由圖10還可以看出，反射波和透射波所攜帶的能量與PMN-0.29PT單晶的切割角度有關(guān)，反射SH波的強度隨著晶體切割角度的增大而增大，而透射SH波的強度隨著晶體切割角度的增大而減小,當(dāng)入射角超過臨界角以后，SH波在界面處發(fā)生全反射現(xiàn)象，反射的SH波的能量為1，透射的SH波的能量為零。

圖10 SH波從PMN-0.29PT入射切割角度 不同時能量隨入射角的變化Fig.10 Energy coefficients varying with the incident angle for different cutting angles of the SH wave incident from PMN-0.29PT medium

4 結(jié) 論

本文通過研究SH波在PMN-0.29PT晶體和彈性材料(金剛石)界面上反射和透射性質(zhì)，詳細討論了PMN-0.29PT的切割角度對反射、透射系數(shù)以及能量分配規(guī)律的影響。研究結(jié)果表明：

(1) SH波從金剛石入射時，透射的SH波攜帶了絕大部分能量，反射的SH波攜帶的能量較小，隨著晶體切割角度的增大，透射SH波與反射SH波攜帶相同能量對應(yīng)的入射角也增大。晶體切割角度對SH波透射和反射的能量分配起到非常關(guān)鍵的作用。

(2) SH波從PMN-0.29PT入射時，當(dāng)入射角小于臨界角時，SH波的反射系數(shù)隨入射角的增大而增大，當(dāng)入射角大于臨界角時，SH波的反射系數(shù)隨入射角的增大而減小，并且PMN-0.29PT晶體的切割角度越大，臨界角越小，同時SH波的反射系數(shù)也越小，但是，隨著入射角的增大，晶體切割角度對SH波反射系數(shù)的影響越來越小。

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Reflection and transmission of SH waves at interface between 0.71Pb(Mg1/3Nb2/3)O3-0.29PbTiO3and diamond

KONG Yanping, LIU Jinxi, NIE Guoquan

(Department of Engineering Mechanics, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)

The reflection and transmission of SH waves at the interface between 0.71Pb(Mg1/3Nb2/3)O3-0.29PbTiO3(PMN-0.29PT) and diamond were discussed. The PMN-0.29PT single crystal under consideration was polarized along the [011]cdirection to get a macroscopic symmetry of orthonormal 2 mm and the cut orientation on the material was made to have an angle with the XZ-plane. The reflection and transmission coefficients and energy distribution coefficients varying with the incident angle were analyzed under the oblique incidence of SH waves. The results show that the cut orientation is critical for the reflection and transmission coefficients and energy distribution coefficients when SH waves are incident from diamond media. When SH waves are incident from piezoelectric media, the larger the cut angle, the smaller the corresponding critical angle, and the cut angle has little influence on the reflection and transmission coefficients for a given large incident angle. The results are valid for the signal processing, transduction, and frequency control of PMN-PT single crystal composite devices.

SH wave; PMN-PT single crystal; diamond; reflection coefficients; transmission coefficients

國家自然科學(xué)基金(11272221);河北省自然科學(xué)基金 (A2015210092)資助項目

2015-06-17 修改稿收到日期：2015-11-11

孔艷平 女，副教授，博士，1977年生 E-mail:lkongyanping1977@163.com

O346

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.028