吳艷梅， 竇家維， 馬 麗

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710062)

?

環(huán)境污染下具有脈沖擴散的近遠海漁業(yè)系統(tǒng)連續(xù)優(yōu)化收獲問題

吳艷梅， 竇家維*， 馬 麗

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710062)

研究了一類在污染環(huán)境中具有周期脈沖擴散以及對近海魚群進行連續(xù)收獲的近遠海漁業(yè)系統(tǒng)的動力學(xué)行為和優(yōu)化控制問題.首先,利用脈沖微分方程理論獲得了系統(tǒng)正周期解存在性和穩(wěn)定性的充分條件.其次,在保證系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定發(fā)展的基礎(chǔ)上,考慮收獲成本因素,以收獲努力量函數(shù)E=E(t)為控制變量,以一個周期內(nèi)近海魚群的經(jīng)濟凈收益最大為管理目標,利用脈沖微分系統(tǒng)的極值原理研究控制問題的最優(yōu)收獲策略,獲得了最優(yōu)收獲策略的具體表達式及實現(xiàn)條件.

污染環(huán)境; 近遠海漁業(yè)系統(tǒng); 脈沖擴散; 連續(xù)收獲; 周期解; 最優(yōu)收獲策略

0 引言與模型描述

近年來, 對于如何有效利用有限的可再生資源的問題受到學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注.眾所周知,漁業(yè)資源是一種重要的可再生資源,尤其是海洋漁業(yè)資源.隨著人們生活水平的提高,人類對魚類的需求量不斷增加,這使得對海洋漁業(yè)資源的開發(fā)需要更加科學(xué)有效的管理,目的在于使其在可持續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ)上,創(chuàng)造出最優(yōu)經(jīng)濟效益.關(guān)于種群模型的優(yōu)化開發(fā)問題,無論是連續(xù)收獲,還是脈沖收獲都獲得了廣泛的研究[1-6].近年來,由于沿海工業(yè)污染物以及沿海生活污染物的排放導(dǎo)致近海水域生態(tài)惡化,漁業(yè)資源不斷減少,此前建立的關(guān)于海洋漁業(yè)種群生長的很多數(shù)學(xué)模型在污染環(huán)境中不再適用.文獻[7]考慮了環(huán)境污染對種群生長的影響,建立了污染環(huán)境中單種群連續(xù)收獲模型:

(1)

受到文獻[1]中所建立的海洋漁業(yè)擴散模型的啟發(fā), 并考慮到實際種群的擴散常常是在很短時間內(nèi)完成的, 可看成脈沖式的, 在文獻[8]中作者建立了連續(xù)污染情形下具有脈沖擴散的近遠海漁業(yè)資源的連續(xù)收獲模型:

(2)

文獻[8]主要研究了模型(2)的動力學(xué)行為,并在保證種群可持續(xù)發(fā)展的條件下,以捕獲努力量E為控制變量,以一個周期內(nèi)對近海魚群收獲量最大為目標,研究獲得了最優(yōu)收獲策略.

注意到,在模型(2)中,系統(tǒng)參量及其收獲努力量都被限定為常數(shù).但在實際中,由于受到季節(jié)性變化及種群的生物異質(zhì)性等因素的影響,系統(tǒng)參數(shù)經(jīng)常隨時間t周期性變化,因此考慮具有周期系數(shù)的模型更符合實際.進一步,在考慮優(yōu)化收獲問題時,如果允許收獲努力量依賴于時間t,這時由于控制變量E=E(t)的允許范圍擴大,可以獲得更優(yōu)的收獲策略.考慮這些因素在內(nèi),本文研究下面的環(huán)境污染條件下近遠海脈沖擴散模型：

(3)

在模型(3)中,N1(t)和N2(t)分別表示t時刻同一魚種群分布在近海和遠海的生物量,C0(t)和Ce(t)分別表示t時刻生物體內(nèi)污染物濃度和環(huán)境中污染物濃度.ri(t)(i=1,2)分別表示近海和遠海魚群t時刻的內(nèi)稟增長率,K(t)表示t時刻近海種群的環(huán)境容納量,E(t)N1(t)項表示對近海魚群以努力量E(t)進行比例收獲.kCe(t)(0

進一步,α、k0、β、θ均為正常數(shù),其中α表示由于種群體內(nèi)殘留毒素而導(dǎo)致內(nèi)稟增長率線性降低的比例常數(shù);k0βθ表示源自于生物體內(nèi)污染物的轉(zhuǎn)化率.這里k0=d1/k是每單位質(zhì)量食物中污染物的轉(zhuǎn)化率,θ是來自于生物資源中污染物的濃度,β是生物體對每單位質(zhì)量食物的平均攝取率.系統(tǒng)(3)的最后兩式表示近海和遠海魚群每隔時間τ進行一次擴散, 假設(shè)擴散時間很短,可看成是脈沖擴散,D1、D2為擴散系數(shù),由于近海水域生存環(huán)境較差且動物具有趨利避害的本能,本文假設(shè)0≤D1≤D2<1.

注意到在文獻[8]所研究的模型(2)中要求r2為常量且-r2<0,考慮到環(huán)境的周期變化因素,模型(3)中,我們以τ-周期函數(shù)r2(t)替代模型(2)中的-r2,并允許r2(t)可以變號.進一步,本文所涉及的系統(tǒng)參量r1(t)>0,K(t)>0為連續(xù)可微的τ-周期函數(shù),u(t)>,g(t),m(t),h(t)為τ-周期連續(xù)函數(shù),收獲努力量E(t)為分段連續(xù)的非負τ-周期函數(shù).

本文的主要目的是研究連續(xù)污染條件下具有收獲的近遠海漁業(yè)系統(tǒng)的變化規(guī)律,進一步確定最優(yōu)收獲策略.在第1節(jié)中應(yīng)用脈沖微分方程理論研究系統(tǒng)(3)正周期解的存在性與穩(wěn)定性.在第2節(jié),首先應(yīng)用脈沖微分方程極值原理研究控制問題的奇異收獲策略,進一步,結(jié)合周期條件及脈沖條件研究了周期脈沖控制問題的最優(yōu)收獲策略.第3節(jié)通過一個具體實例,驗證了文中主要結(jié)論所需的條件,并獲得了具體的優(yōu)化控制策略.第4節(jié)總結(jié)了全文.

1 系統(tǒng)正周期解的存在性及穩(wěn)定性

由于系統(tǒng)(3)的第三、四兩式獨立于N1、N2,因此可將系統(tǒng)(3)分解為下面兩個子系統(tǒng):

(4)

及

(5)

首先討論子系統(tǒng)(4)的解的性質(zhì), 并給出下面的引理.

引理1 如果

(6)

證明:直接對系統(tǒng)(4)的第二式在t∈[nτ,(n+1)τ](n∈N)上進行求解, 得到

令Ce((n+1)τ)=Ce(nτ),即可得到

(7)

m(σ)]dσ}ds>0.

(8)

(9)

下文主要研究系統(tǒng)(9)中種群的可持續(xù)發(fā)展問題, 首先討論系統(tǒng)(9)具有正初值的解的有界性.

證明:首先當0

顯然, 當00,N2(t)>0.由于0≤D1≤D2<1,則由脈沖條件可知N1(τ+)>0,N2(τ+)>0.歸納推理可知,對于任意的t≥0, 均有N1(t)>0,N2(t)>0.

進一步,令V(t)=D2N1(t)+D1N2(t),對于每一個n∈N,當t=nτ時,顯然有V(nτ+)≤V(nτ);當t∈(nτ,(n+1)τ]時,則有

其中

當B<1時,直接求解下面方程

(10)

可知(10)有唯一的τ-正周期解, 并且是全局漸近穩(wěn)定的, 因此(10)的所有正解具有上界.根據(jù)微分方程比較定理知,V(t)也具有上界,即存在一個常數(shù)Z>0, 使得V(t)≤Z(t∈[0,∞)).因此(9)的所有正解均有界.

下面討論系統(tǒng)(9)正周期解的存在性.當t∈(nτ,(n+1)τ]時, 直接求解系統(tǒng)(9)的前兩個方程得到

(11)

為了表述簡便,下文中記

顯然有A,F均為正值, 進而可得到

(12)

若記N1(nτ+)=N1n,N2(nτ+)=N2n,結(jié)合上式及(9)的脈沖條件即可得到系統(tǒng)(9)的頻閃映射為:T=(T1,T2)∶(N1n,N2n)→(N1(n+1),N2(n+1))

(13)

因此, 有關(guān)系統(tǒng)(9)的正周期解的存在性與穩(wěn)定性研究可轉(zhuǎn)化為對映射T的正不動點的相關(guān)問題來研究,下面主要研究T的非零不動點的相關(guān)性質(zhì).

(14)

定理2 映射T具有正不動點的充要條件是下面兩式成立:

1-(1-D2)B>0,

(15)

(1-D1)A+(1-D2)B-(1-D1-

D2)AB-1>0.

(16)

考慮下面函數(shù)

f(B)=1-D1-(1-D1-D2)B-

B|1-D1-D2|[1-(1-D2)B] =

(1-D2)|1-D1-D2|B2-

[1-D1-D2+|1-D1-D2|]B+1-D1,

顯然, 當1-D1-D2=0時,f(B)=1-D1>0;當1-D1-D2≠0時, 下面分兩種情形討論f(B)的取值情況:

(i)當1-D1-D2<0時,f(B)=1-D1-(1-D2)(1-D1-D2)B2,顯然,f(B)>1-D1>0;

由上述討論可知,f(B)>0,即

1-D1-(1-D1-D2)B>

B|1-D1-D2|[1-(1-D2)B]≥0,

(17)

情形1:1-(1-D2)B<0且(1-D1)A+(1-D2)B-(1-D1-D2)AB-1>0;

情形2:1-(1-D2)B>0且(1-D1)A+(1-D2)B-(1-D1-D2)AB-1≤0;

情形3:1-(1-D2)B<0且(1-D1)A+(1-D2)B-(1-D1-D2)AB-1≤0.

(1-D1)A+(1-D2)B-(1-D1-D2)AB-1=

[1-D1-(1-D1-D2)B]A-[1-(1-D2)B]≤0,

在(15)式成立的條件下,記

定理3 假設(shè)(15)及下面不等式成立:

(18)

1-trA0+detA0>0,

(19)

1+trA0+detA0>0,

(20)

1-|detA0|>0.

(21)

下面證明在定理條件下, (19)～(21)成立.首先有

由于trA0>0,如果(19)式成立,則(20)式一定成立,因此只需證明在定理條件下(19)和(21)式成立即可.

首先將trA0,detA0的表達式代入(19)式, 經(jīng)化簡可知(19)式與(18)式等價, 因而(19)式成立.

其次將detA0的表達式代入(21)式,當1-D1-D2=0時,(21)式顯然成立;當1-D1-D2≠0時, 在條件(15)下對(21)式進行化簡得到

上式等價于:

(22)

其中

為了比較R與R1,計算

(23)

由于條件(15)保證了(17)式是成立的, 而由(17)可知,R

(b)當x>0時,DT(x)>0;

(c)當0

(Ⅱ)如果λ>1, 則有下面(i)或(ii)成立:

首先驗證引理2的條件:

(a)T(0,0)=(0,0),由于

則

并且對于任意的(N1,N2)>(0,0),有

(b)當(N1,N2)>(0,0)時,DT(N1,N2)>(0,0);

令|μE-DT(0,0)|=0,得到

μ2-[(1-D1)A+(1-D2)B]μ+

(1-D1-D2)AB=0.

(24)

由于

Δ=((1-D1)A+(1-D2)B)2-

4(1-D1-D2)AB=

[(1-D1)A-(1-D2)B]2+

4D1D2AB>0,

求解(24)式, 得到DT(0,0)的兩個實特征根為:

(25)

顯然|μ2|≤μ1,因此λ=ρ(DT(0,0))=μ1.

由于條件(18)蘊含著

進一步,可得Δ>[2-(1-D1)A-(1-D2)B]2,其等價于

(26)

結(jié)合(25)和(26)得到

(27)

下面分三種情形討論λ的取值情況:

(i)當2-(1-D1)A-(1-D2)B<0時,整理(27)式得到λ>(1-D1)A+(1-D2)B-1>1;

(iii)當2-(1-D1)A-(1-D2)B>0時,整理(27)式得到λ>1.

因此,在定理條件下λ=ρ(DT(0,0))>1成立.

由于系統(tǒng)(9)的正周期解的存在性和穩(wěn)定性等價于算子T的正不動點的相應(yīng)性質(zhì), 綜上所述, 關(guān)于系統(tǒng)(9)可得到下面結(jié)論:

2 優(yōu)化控制策略

在近遠海魚群保持全局穩(wěn)定發(fā)展的基礎(chǔ)上,本部分考慮收獲成本因素,研究系統(tǒng)(9)的最優(yōu)收獲策略,目的是使得近海魚群在一個收獲周期內(nèi)的經(jīng)濟凈收益達到最大.

我們將以近海魚群在一個收獲周期內(nèi)的經(jīng)濟凈收益最大為控制目標, 因此定義目標函數(shù)為:

(28)

其中P,C均為正常數(shù),分別表示近海魚群的單價及單位收獲努力量成本,(N1(t),N2(t))為以E(t)為收獲函數(shù)時系統(tǒng)(9)所對應(yīng)的正周期解.

如果存在E*(t)∈E,使得

(29)

2.1 優(yōu)化系統(tǒng)的奇異控制策略

本小節(jié)首先應(yīng)用脈沖微分系統(tǒng)的極值原理[10,11]求解控制問題(9),(28),(29)的奇異控制策略.

根據(jù)[10]中的記號,令

f0=PE(t)N1(t)-CE(t),g0=0

g1=D1(N2(t)-N1(t)),

f2=r2(t)N2(t),g2=D2(N1(t)-N2(t)).

若用H表示“連續(xù)”Hamilton函數(shù),Hc表示“脈沖”Hamilton函數(shù),則有

H(λ1,λ2,N1,N2,E(t))=E(t)[PN1(t)-C-

Hc(λ1,λ2,N1,N2)=D1λ1(τ+)(N2(t)-

N1(t))+D2λ2(τ+)(N1(t)-N2(t)).

若記E(t)∈M是優(yōu)化控制問題的最優(yōu)收獲策略,(N1(t),N2(t))是在該收獲策略下系統(tǒng)(9)所對應(yīng)的最優(yōu)軌線, 則由文獻[10]所給的極值原理([10, 定理1.2])可知,存在協(xié)態(tài)變量λi=λi(t)(i=1,2)滿足下面的協(xié)態(tài)方程:

(30)

并且對每一個t∈[0,τ],最優(yōu)控制E=E(t)應(yīng)使得H取最大值.令?H/?E=0,即可得到

C-PN1(t)+λ1N1(t)=0.

由上式可得λ1=P-C/N1(t),將其代入(30)的第一式中, 得到

(31)

進一步,將(31)代入(9)的第一式中,解得

(32)

直接求解(9)的第二式, 又可得到

(33)

注意到當條件

(34)

2.2 最優(yōu)控制策略

下面主要考慮在系統(tǒng)保持全局穩(wěn)定條件下的優(yōu)化控制問題,下文中總假設(shè)B<1.進一步,由于這里的控制問題是一個周期線性優(yōu)化控制問題,其最優(yōu)控制應(yīng)該是奇異控制與砰砰控制的組合,因此只需確定一個收獲周期[0,τ]內(nèi)的控制策略, 再進行周期延拓即可.

(35)

為了滿足系統(tǒng)(9)的脈沖條件(36)和周期條件(37):

N1(τ+)-N1(τ)=D1(N2(τ)-N1(τ))

N2(τ+)-N2(τ)=D2(N1(τ)-N2(τ))，

(36)

與

N1(0+)=N1(τ+),N2(0+)=N2(τ+)，

(37)

周期結(jié)束之前,利用砰砰控制進行調(diào)整.

具體地,將(35)代入脈沖條件(36)中,得到

(38)

(39)

進一步,由于B<1,故N2(τ)

N1(τ+)-N1(τ)=N1(0+)-N1(τ)=

N2(τ+)-N2(τ)=N2(0+)-N2(τ)>0.

由上式可知,為了保證N2種群的周期性,在t=τ時刻,N2種群需要從N1種群中得到一定的補充量,與此同時N1種群則要減少同等生物量以補充N2種群.為了使得種群N1在輸出給N2種群部分量的條件下仍能保證其周期性,則需要利用砰砰控制,即對N1種群在t=τ之前停止收獲一段時間(應(yīng)用E=0進行收獲),假設(shè)停止收獲的時刻為t=t1,t1應(yīng)由下式確定:

(40)

其中

最后,收獲控制策略應(yīng)取為

(41)

我們注意到當(34)成立時,

又由于

從而

(42)

結(jié)合(34),(42)及系統(tǒng)(9)的周期性,可知

為了保證上面的最優(yōu)控制策略(41)能夠?qū)崿F(xiàn),則需要由(40)式確定的t1滿足0

定理6 假設(shè)B<1以及(34)式成立,如果有

(43)

成立,則優(yōu)化收獲策略(41)可以實現(xiàn).

(44)

(45)

3 應(yīng)用舉例

考慮下面的連續(xù)收獲系統(tǒng)τ=1:

(46)

取目標函數(shù)為

(47)

首先由于引理1的條件:

滿足,因此下面系統(tǒng)

0.01sin(2πt),

=1.170 8.

故定理6的條件滿足,則由定理6可知,存在t1=0.7∈(0,1),使得目標函數(shù)(47)在一個收獲周期[0,1]內(nèi)的最優(yōu)收獲策略為:

(48)

這里

下面驗證在策略(48)下, 種群N1,N2是全局漸近穩(wěn)定的.首先,B<1保證了(15)是成立的,又計算得到R=0.646 4,進一步

即(18)式成立.又由于(18)式與(16)等價,從而定理5條件滿足,因此在以E=E(t)為收獲策略時種群N1，N2是全局漸近穩(wěn)定的.

4 結(jié)論

[1] Clark C W.Mathematical bioeconomics:The optimal management of renewable resources[M].2nd edition. New York:John Wiley and Sons,1976.

[2] Xiao Yanni,Chen Lansun.Optimal impulsive control in periodic ecosystem[J].Systems Control Lett.,2006,55(7):558-565.

[3] Kang Baolin,Liu Bing,Xu Ling.Dynamics of an inshore-offshore fishery model with impulsive pollutant input in inshore area[J].Nonlinear Dyn.,2012,67(4):2 253-2 362.

[4] 黃燦云,李雨佳.局部區(qū)域保護下生物資源的最優(yōu)脈沖收獲策略[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報,2014,40(5):140-144.

[5] Dong Lingzhen,Chen Lansun,Sun Lihua.Optimal harvesting policy for inshore-offshore fishery model with impulsive diffusion[J].Acta Mathematica Scientia,2007,27B(2):405-412.

[6] Zhao Zhong,Zhang Xuiquan,Chen Lansun.The effect of pulsed harvesting policy on the inshore-offshore fishery model with impulsive diffusion[J].Nonlinear Dyn.,2011,63(4):537-545.

[7] Liu Bing,Chen Lansun,Zhang Yujuan.The effects of toxicant input on a polluted environment[J].Journal of Biological Systems,2003,11(3):265-274.

[8] Kang Baolin,Liu Bing,Ma Yi.Dynamics of inshore-offshore fishery concerning optimal harvesting policy in a polluted environment[J].Journal of Biomathematics,2010,25(4):583-592.

[9] Smith H L.Cooperative systems of differential equations with concave nonlinearities[J].Nonlinear Analysis,1986,10(10):1 037-1 052.

[10] Blaquiere A.Differential games with piece-wise continuous trajectories[J].Lecture Notes in Control and Information Science,1977,3:34-69.

[11] Rempala R,Zabczyk J.On the maximum principle for deterministic impulse control problems[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1988,59(2):281-288.

【責任編輯：陳 佳】

Optimal harvesting problem for a class of inshore-offshore fishery system with impulsive diffusion in a polluted environment

WU Yan-mei， DOU Jia-wei*， MA Li

(School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi′an 710062, China)

In this paper,the dynamic behavior and optimal control problem for a class of inshore-offshore fishery system with periodic impulsive diffusion and continuous harvesting in a polluted environment is studied.Firstly,the sufficient conditions for existence and stability of the positive periodic solution are investigated by using impulsive differential equation theory.Moreover,under the condition ensuring that the system is globally asymptotically stable,a related optimal control problem is investigated by applying the maximum principle of impulsive differential systems,the purpose is to control the harvesting effort to maximize the inshore subpopulation′s harvesting profit which is the difference between economic revenue and cost.The exact expression and realization condition of the optimal harvesting policy are given explicitly.

polluted environment; inshore-offshore fishery system; impulsive diffusion; continuous harvesting; periodic solution; optimal harvesting policy

2016-08-22

國家自然科學(xué)基金項目(61272435)

吳艷梅(1991-)，女，山西呂梁人，在讀碩士研究生，研究方向：脈沖微分方程理論及應(yīng)用通訊作者:竇家維(1963-)，女，陜西西安人，副教授，博士，研究方向：脈沖微分方程理論及應(yīng)用，jiawei@snnu.edu.cn

1000-5811(2016)06-0187-10

O175.1

A