丁 杰

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

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涉及差分算子的兩個問題

丁 杰

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

考慮整函數(shù)與其差分算子分擔(dān)集合的唯一性問題。假設(shè)，f為非常數(shù)整函數(shù)，且滿足λ(f)<ρ(f)<∞;a(z),b(z)是兩個不同的非常數(shù)整函數(shù)，使得ρ(a)<ρ(f)和成立。若f與ΔcfCM分擔(dān)a(z),b(z),則Δcf(z)≡f(z).

整函數(shù);差分;特征函數(shù)

假設(shè),f是定義在復(fù)平面C上的亞純函數(shù)。運用Nevanlinna理論中的經(jīng)典記號,如:T(r,f)表示函數(shù)f的特征函數(shù);m(r,f)表示近似函數(shù);N(r,f)表示數(shù)目函數(shù)[1-2]。 另,記S(r,f)表示特征函數(shù)的無窮小量,即: 當(dāng)r→∞且除去r的一個有限線測度外S(r,f)=oT(r,f)成立;當(dāng)亞純函數(shù)α(z)滿足T(r,α(z))=S(r,f)時,稱α(z)為f的小函數(shù)。 為了定理的敘述方便,筆者給出以下定義。

定義1 如果Q(z,f)為關(guān)于f,f′以及f的差分f(z+c)的多項式,且多形式的系數(shù)為f的小函數(shù)。 則稱Q(z,f)為一個差分微分多項式。

Nevanlinna值分布理論在唯一性、復(fù)微分方程、正規(guī)族等領(lǐng)域有很多應(yīng)用,這些應(yīng)用不僅簡化了許多原定理的證明,更豐富了原來的理論,得到更多的定理。

1982年GROSSetal[3]證實了下述定理。

隨后,有許多數(shù)學(xué)工作者關(guān)注涉及分擔(dān)集合的唯一性問題[4-8]。

Nevanlinna理論中對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理是證明第二基本定理的基礎(chǔ)。 正如對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理在Nevanlinna理論中的作用一樣,有窮級條件下對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理對應(yīng)的差分形式的證明奠定了差分Nevanlinna理論的研究,這個證明的證明是由HALBURDetal[9]與CHIANGetal[10]分別獨立完成。 近幾年涉及差分形式的值分布理論成為研究的熱點問題之一,同時許多數(shù)學(xué)工作者開始研究涉及差分的唯一性問題和復(fù)差分方程[11-14]。

在文獻(xiàn)[15]中,LIetal證實了下述定理。

定理B假設(shè)f為非常數(shù)整函數(shù)且滿足λ(f)<ρ(f)<∞,ρ(f)≠1;a(z),b(z)是兩個不同的非常數(shù)整函數(shù)使得ρ(a)<ρ(f)和成立。 若f與ΔcfCM分擔(dān)a(z),b(z),則Δcf(z)≡f(z).

在本文中,減弱了定理B的假設(shè)條件,從而改進(jìn)了上述結(jié)果,得到了如下定理。

定理1 假設(shè)f為非常數(shù)整函數(shù)且滿足λ(f)<ρ(f)<∞;a(z),b(z)是兩個不同的非常數(shù)整函數(shù)使得ρ(a)<ρ(f)和成立。若f與ΔcfCM分擔(dān)a(z),b(z),則Δcf(z)≡f(z).

YANGetal[7]證明了一個關(guān)于差分方程的結(jié)果。

定理C假設(shè)q(z)為非常數(shù)多項式且b,c∈C為非零常數(shù),則非線性差分方程f3(z)+q(z)f(z+1)=csinbz,

不存在有窮級的整函數(shù)解。

在文中,筆者解決了上述問題并得到了以下定理。

定理2 考慮非線性差分方程

(1)

式中：b≠0,p1,p2∈C為常數(shù)且p1·p2≠0,n≥3為正整數(shù)。

當(dāng)q(z)為非常數(shù)多項式時,式(1) 不存在有窮級整函數(shù)解。

當(dāng)q(z)=q為非零常數(shù)且n≥4,式(1) 不存在有窮級整函數(shù)解。

1 引理

為了證明定理,需要下面的引理。

引理1 假設(shè)fj(j=1,…,n) (n≥2)為亞純函數(shù),gj(z) (j=1,…,n)為整函數(shù)且滿足:

2) 當(dāng)1≤j

3) 當(dāng)1≤j≤n,1≤h

其中，E?(1,∞)為有限的線測度或?qū)?shù)測度。則對所有的j=1,…,n有fj≡0.

引理2 設(shè)f為有窮級的超越亞純函數(shù),考慮差分方程H(z, f)P(z, f)=Q(z, f),其中H(z, f),P(z, f)和Q(z, f)為關(guān)于f的差分多項式且H(z, f)關(guān)于f和f的差分的總次數(shù)為n,Q(z, f)的總次數(shù)不大于n. 若H(z, f)中最大次數(shù)僅有一項,則對任意的ε>0,至多除去一個有窮的對數(shù)測度外有:m(r,P(z,f))=O(rρ-1+ε)+S(r,f).

引理3 假設(shè)c為一個非零常數(shù)且α為一個非常數(shù)的亞純函數(shù)，則微分方程f2+(cf(n))2=α無超越亞純解，滿足T(r,α)=S(r,f).

2 定理1的證明

假設(shè)f是一個整函數(shù)且滿足λ(f)<ρ(f)<∞,則根據(jù)Hadamard因子分解定理f可以表示為:

(2)

式中，Q(z)=aqzq+…+a1z+a0為多形式且滿足λ(f)=λ(P)=ρ(P)

根據(jù)Δcf的定義以及式 (2),可以得到:

(3)

式中，ρ(H)

(4)

式中，α(z)為多項式。

結(jié)合式(2),式(3) 和式 (4),有:

(5)

如果α(z)不是一個常數(shù),則應(yīng)用定理的假設(shè)條件ρ(a)<ρ(f),ρ(b)<ρ(f) 以及

引理1,得到矛盾。

因此,α(z)為一個常數(shù)。 而引理 1 暗含α(z)≡0,所以式(4) 可以寫為:

因此f(z+c)=a(z)+b(z)或者Δcf(z)-f(z)=0成立,而根據(jù)假設(shè)條件ρ(a)<ρ(f),ρ(b)<ρ(f)可得:f(z+c)≠a(z)+b(z).

所以有Δcf(z)≡f(z).

這就完成了定理1的證明。

3 定理2的證明

假設(shè)f為原方程的一個整函數(shù)解,則f一定是超越的。 對方程左右兩邊分別求微分運算,然后得到:

其中，Tn(z,f)為關(guān)于函數(shù)f的一個微分差分多項式,次數(shù)不超過n.

(6)

否則,將引理2應(yīng)用到上述微分差分方程有:

(7)

因此,α:=b2f2+n2(f′)2是函數(shù)f的一個小函數(shù)且不恒等于零。 根據(jù)引理3,α一定為一個常數(shù)。 對b2f2+n2(f′)2=α左右兩邊分別進(jìn)行微分運算可以得式(6)成立。 進(jìn)一步對式(6)求解,可以看出f是下述形式:

(8)

(9)

對上式進(jìn)行簡化有:

(10)

下面根據(jù)n的奇偶性分兩種情況討論:

情況1 如果n是偶數(shù),且w(z)為一個超越函數(shù),則有:

?

?

(11)

上式一共n+3個式子,分別標(biāo)號(1),(2),…,(n+3). 由式(1)和式(n+3)可得c1≠0,c2≠0. 但是式(n+1)和式(n+2)暗含q(z)為一個常數(shù)且q(z)≠0,由式(2),(3),…,(n)中任何一個式子都可以推出c1=0,c2=0. 這明顯是個矛盾,因此式(11)不存在有窮級的整函數(shù)解。

情況2 如果n是奇數(shù),且w(z)為一個超越函數(shù),不得不再分兩種情況。

1)

(12)

既然w(z)是超越的,則一定有:

(13)

上式一共(n+3)個式子,分別標(biāo)號(1),(2),…,(n+1).由式(1)和式(n+1)易得c1≠0,c2≠0. 但是式(3)和式(4)暗含q(z)為一個常數(shù),q(z)≠0且(2),(3),…,(n)中任何一個式子都可以推出c1=0,c2=0. 這樣得到一個矛盾,因此原方程不存在有窮級整函數(shù)解。

2) 若n=3,則簡化式(9),可得到:

(14)

既然w(z)是超越的,則有:

(15)

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(編輯：朱 倩)

Two Problems about Difference Operator

DING Jie

(Collage of Mathematics,Taiyuan University of Technology,Taiyuan 030024,China)

In this paper, we investigate the uniqueness theorem of entire functions sharing sets with its difference operators. Suppose thatfbe a non-constant entire function satisfyingλ(f)<ρ(f)<∞,a(z),b(z) be different non-constant entire functions such thatρ(a)<ρ(f).Letfand Δcfsharea(z),b(z) CM, thenΔcf(z)≡f(z).

entire functions;difference;characteristic function

1007-9432(2016)04-0541-04

2014-09-16

山西省自然科學(xué)基金資助項目：Hayman 定理的差分對應(yīng)定理的研究(2014021009-3)；山西省歸國留學(xué)人員科研基金資助項目:一類復(fù)差多分項式值分布及正規(guī)族問題的研究(2013-045)

丁杰(1984-)，男，太原人，博士，講師，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究，(E-mail)dingjie@tyut.edu.cn

O174.52

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.04.021