武文艷，趙華杰，許貴橋

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津 300387）

基于第二類Chebyshev節(jié)點組的多元求積公式在布朗片測度下的平均誤差

武文艷，趙華杰，許貴橋

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津 300387）

在布朗片測度下研究基于擴展的第二類Chebyshev節(jié)點組的多元張量積數(shù)值求積公式的平均誤差問題，得到了相應量的強漸近階.本研究算法是構(gòu)造性的，更加簡單實用，平均誤差的收斂速度為n-1，優(yōu)于蒙持卡洛算法，且一元情形在階的意義下是最優(yōu)的.

第二類Chebyshev節(jié)點組；數(shù)值求積公式；布朗片測度；平均誤差

1 引言和預備知識

在實際問題中，解往往是目標函數(shù)的某些算子，如函數(shù)的積分和逼近等.在很多情況下，目標函數(shù)是未知的，但可以得到目標函數(shù)的某些信息，如函數(shù)在某些點的值（稱為標準信息）.利用目標函數(shù)的信息可以構(gòu)造出問題的近似解，但在誤差估計中，由于目標函數(shù)不能確切得知，所以只能對目標函數(shù)作某些假設，然后在此假設下探討算法的誤差.在平均框架下，假設目標函數(shù)為一個隨機元素，算法的誤差為這個集上個體函數(shù)逼近誤差的期望值.

假設F是一個集合，G是一個范數(shù)為‖·‖的線性賦范空間；μ是定義在F的Borel子集上的概率測度，S是F到G的可測映照，稱為解算子；N是F到Rn的一個可測映射，稱為信息算子；φ是Rn到G的一個可測映射，稱為算法.信息基逼近φN相應于測度μ的平均誤差為[1]

在上述定義中，F(xiàn)通常為函數(shù)空間，S通常為恒等算子（此時稱為逼近）或積分，信息算子通常為標準信息，而φ通常為線性算子[2].

積分問題在平均情形下的誤差分析起始于Suldin[3-4]，之后許多學者進行了大量研究，有關一元函數(shù)的主要研究結(jié)果可見專著[2]，而多元函數(shù)的結(jié)果可見專著[5].注意到有關多元函數(shù)積分的構(gòu)造公式主要集中在周期函數(shù)類（Korobov函數(shù)類）上[6-7]，而對一般Sobolev空間上的算法都是非構(gòu)造性的[5，8]，本研究將利用基于擴展的第二類Chebyshev多項式零點的Lagrange求積公

式構(gòu)造一種多元求積公式，并在布朗片測度下計算其平均誤差.

下面引入多維布朗片測度的定義.記F1={f∈C[-1，1]:f（-1）=0}，對于任意f∈F1，定義

則（F1，‖·‖C）成為一個可分的Banach空間，將（F1，‖·‖C）上的Borel集記為B（F1），B（F1）上的Wiener測度記為ω.由文獻[10]可知ω的協(xié)方差核為

記Fd為F1的d重張量積空間，由文獻[11]知Fd上的d維布朗片測度ρd為F1上的Wiener測度ω的d階張量積測度，其協(xié)方差核為：對任意x=（x1，…，xd）及y=（y1，…，yd），

本研究將考慮數(shù)值求積公式（5）在d維布朗片測度下的平均誤差.

2 主要結(jié)論

定理 設S（f）和Td，n（f）如上定義，則有

這里，對于兩個正數(shù)數(shù)列{an}和{bn}，an=o{bn}表示

證明 由式（1）、式（5）和式（6）可得

對于I2，由Fubini定理及式（7）可得

由sinx=Im（eix），cosx=Re（eix）及等比數(shù)列求和公式得

由式（8）、式（9）、式（14）和式（16）可得

由式（17）可得定理結(jié)果.

注 目前常見計算多元積分的方法是蒙特卡洛算法[12]和平移格算法[5].蒙特卡洛算法是隨機的，其計算結(jié)果也是隨機的，只是在概率的意義下有一定的可靠性，并且每次計算都需要使用不同的信息.而平移格算法需要的計算量非常大.本研究構(gòu)造的算法公式簡單，并且計算都使用同樣的信息.在計算的精確性方面，該算法平均誤差的收斂速度為n-1，優(yōu)于蒙特卡洛算法平均誤差的收斂速度n-1/2.特別地，同文獻[2]的結(jié)果比較可知，當d=1時，此算法達到了使用標準信息的最優(yōu)逼近速度n-1.

[1]TRAUB J F，WASILKOWSKI G W，WOZNIAKOWSKI H.Information-Based Complexity[M].New York：Academic Press，1988.

[2]KLAUSR.Average-case Analysis of Numerical Problems[M].New York：Spring-Verlag，2000.

[3]SULDIN A V.Wiener measure and its applications to approximation methods I[J].Izv Vyssh Ucheb Zaved Mat，1959，13：145-158.

[4]SULDIN A V.Wiener measure and its applications to approximation methods II[J].Izv Vyss Ucheb Zaved Mat，1960，18：165-179.

[5]NOVAK E，WOZNIAKOWSKI H.Tractability of Multivarite Problems，Volume II：Standard Information for Functions[M].Zurich：European Mathematical Society Publish House，2010.

[6]DICK J，LARCHER G，PILLICHSHAMMER F，et al.Exponential convergence and tractability of multivariate integration for Korobov spaces[J].Math Comp，2011，80：905-930.

[7]DICK J，KRITZER P，PILLICHSHAMMER F，et al.Approximation of analytic functions in Korobov spaces[J].J Complexity，2014，30（2）：2-28.

[8]C AISTLEITNER，HOFER M.Probabilistic discrepancy bounds for Monte Carlo point sets[J].Math Comp，2014，83：1373-1381.

[9]VARMA A K，VERTESI P.Some Erd?s-Feldheim type theorems on mean convergence of Lagrange interpolation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1983，91：68-79.

[10]XU G Q，DU Y F.The average errors for Hermite-Fejer interpolation on the Wiener space[J].Science in China：Series A，2010，53（6）：1841-1852.

[11]LIFSHITS M A.Lectures on Gaussian Processes[M].New York：Springer，2012.

[12]ECUYER P L，OWEN A B.Monte Carlo and Quasi Monte Carlo Methods[M].Berlin：Spring-Verlag，2009.

（責任編校 馬新光）

Average errors of multivariate quadrature formula based on the second Chebyshev nodes on the Brownian sheet measure

WU Wenyan，ZHAO Huajie，XU Guiqiao
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The average errors of multivariate tensor product quadrature formula based on the extended second Chebyshev nodes on the Brownian sheet measure are studied，and the corresponding stronger asymptotic order is obtained.The algorithm is constructive，which is simpler and more applicable.At the same time，this algorithm is optimal in the order sense for the univariate case setting.

the second Chebyshev nodes；quadrature formula；Brownian sheet measure；average error

O174.41

A

1671-1114（2016）05-0001-04

2016-04-20

國家自然科學基金資助項目(11471043).

武文艷（1990—），女，碩士研究生.

許貴橋（1963—），男，教授，主要從事函數(shù)逼近論方面的研究.