張俊峰，高健利

(鄭州大學 土木工程學院， 河南 鄭州 450001)

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基于OpenSees的高階非線性桁架單元開發(fā)及應用

張俊峰，高健利

(鄭州大學 土木工程學院， 河南 鄭州 450001)

對于大跨度的空間桁架結構，準確模擬非線性狀態(tài)后的力學行為非常重要.基于UL法的增量微分方程，詳細推導了空間桁架單元考慮幾何非線性的高階剛度矩陣，通過OpenSees開放平臺，開發(fā)了高階非線性桁架單元，給出了單元的實現方式、靜力和動力計算的TCL命令流程和迭代過程的非線性算法，通過幾種桁架結構的非線性靜力和地震作用下的非線性動力對比分析，表明采用本文方法實現的單元能夠準確模擬桁架結構的強非線性性能.

空間桁架；幾何非線性；高階剛度矩陣；OpenSees；二次開發(fā)

0 引言

大跨度桁架結構的施工過程以及使用壽命期內的變形與內力都具有明顯的幾何非線性，需要精確的幾何非線性理論，為此許多學者進行了大量研究，Bathe[1]、Crisfield[2]提出了幾種解決幾何非線性的單元微分方程；Greco等[3]提出了用節(jié)點坐標描述應變并用最小勢能原理建立空間桁架的非線性有限元方程，但是這些方法的局限性在于僅適用于大位移、小應變問題，且列式復雜，Greco等[4]又在其基礎上引入了Logarithmic應變修正了這一問題；Thai等[5]對同時考慮幾何和材料非線性的空間桁架結構的后屈曲行為做了研究； Shi等[6]對同時考慮幾何材料非線性的空間桁架結構的動力行為做了研究；喻瑩等[7]提出了有限質點法分析空間桁架結構動靜非線性問題的思路.這些研究分別從坐標系統(tǒng)、非線性有限元方程列法、結構的動力與靜力等方面研究了幾何非線性對空間桁架的影響，對研究桁架的非線性行為有十分重要的意義.但這些理論還不完善，并且在實現途徑上是基于自編的程序，不便于推廣應用，筆者用更新的拉格朗日方法、更新格林應變張量、第二Piola-Kirchhoff應力張量，詳細推導了空間桁架高階剛度矩陣，并在開源軟件OpenSees平臺上編制了相應的桁架單元，給出了實現過程和相應的非線性算法以及TCL命令流程，為大跨度桁架結構的非線性靜力和動力分析提供了很好的實現方式和途徑.

1 空間非線性桁架單元剛度矩陣

1.1 空間桁架非線性方程

在更新的拉格朗日增量分析中，用3種基本的構形來表示物體的運動狀態(tài)：C0表示初始未變形的構形，C1是已知的參考構形，C2是變形后的構形.對于桁架來說，只考慮軸向變形，則更新的拉格朗日增量方程為[8]

空間桁架單元的位移分量如圖1所示，單元內任一點的位移(u，v，w)可以用形函數[N]來表示[8]：

(2)

圖1 桁架單元的位移分量

格林應變增量可寫成線性部分和非線性部分，εxx=exx+ηxx，將式(2)代入,得

(3)

syggg00T[Nw′]T[Nw]syggg00).

(4)

假想單元節(jié)點只有集中荷載，而對于分布荷載可以用靜力平衡節(jié)點荷載來代替.這樣，將方程(3)和(4)代入(1)中,得

[Nv′]T[Nv′]+[Nw′]T[Nw′])syggg00dV+

[Nv′]T[Nv′]+[Nw′]T[Nw′])syggg00[Nu′]syggg00dV+

[Nv′]T[Nv′]+[Nw′]T[Nw′])syggg00syggg00T+

([Nu′]T[Nu′]+[Nv′]T[Nv′]+[Nw′]T[Nw′])·

[Nv′]T[Nv′]+[Nw′]T[Nw′])syggg00dV=

{δd}T({2f-1f}).

(5)

1.2 高階非線性桁架單元剛度矩陣

利用虛位移原理，由(5)可以推出桁架單元的有限元方程為([ke]+[kg]+[s1]+[s2]+[s3])syggg00+{1f}={2f}.

(6)

式中:{1f}為C1構形對應的初始力;{2f}為C2構形對應的總力.

由式(5)可得方程(6)中各剛度矩陣為

(7)

式中：[ke]是線性剛度矩陣；[kg]是幾何剛度矩陣，由每個增量步的軸力P決定；[s1]和[s2]是與單元增量位移線性相關的矩陣；[s3]是與單元增量位移二階相關的矩陣[9].

1.3 高階剛度矩陣的對稱形式

剛度矩陣的對稱與否直接會影響到計算程序實現的效率.由式(7)得到的剛度矩陣[s1]和[s2]是非對稱的，而矩陣[s1]和[s2]的和可以看作是[k1]/2，該矩陣是對稱的[10].由式(7)和其組成部分對應的剛度矩陣可以看出：剛度矩陣[s2]和[s3]之和等效于[kg]矩陣，因此可以寫出[s2]和[s3]的等效剛度矩陣[s2]eq和[s3]eq.由矩陣[s1]和[s2]的和減去[s2]eq就得到了[s1]的等效矩陣[s1]eq，從而剛度矩陣由原來的非對稱形式轉換成了對稱形式.

2 高階非線性桁架單元的開發(fā)與應用

2.1 高階非線性桁架單元的開發(fā)

OpenSees(Open System for Earthquake Engineering Simulation)是應用于地震工程研究的開源有限元程序，由美國國家自然科學基金資助、太平洋地震工程研究中心研發(fā)，它是用面向對象的語言進行開發(fā)的，而且代碼公開，因此可以協同開發(fā)新單元、新材料等[11].

為了校核并更加方便地使用推導的高階桁架單元，基于OpenSees軟件平臺，在element基類上派生了nonlineatTruss3D類，并和uniaxialMaterial類關聯，以方便調用uniaxialMaterial類的材料信息，該單元類參與模型的建立，并將模型添加到Domain類中，Domain類和Analysis類關聯，從而完成整個分析過程.

2.2 TCL調用nonlinearTruss3D單元流程

OpenSees調用nonlinearTruss3D單元進行靜力和動力分析的流程如圖2所示，分析時采用Tool Command Language (TCL)語言進行建模、分析、輸出.

圖2 OpenSees計算流程圖

2.3 非線性分析算法

調用高階非線性桁架單元nonlinearTruss3D進行非線性分析的增量迭代算法流程如圖3所示.分析中，首先調用uniaxialMaterial類獲得材料的切線剛度E，計算單元剛度矩陣Ke，組裝形成結構的總體剛度矩陣Kg，某一荷載增量下，結構的完整非線性分析工作需要多次迭代，迭代結束的判斷條件為總體結構不平衡力Pu足夠小.

3 算例分析

為了驗證開發(fā)的高階非線性桁架單元nonlinearTruss3D在OpenSees平臺上進行靜力和動力分析的準確性，筆者對4個經典算例進行了數值模擬，包括平面和空間桁架的靜力和動力分析.為了準確追蹤其非線性行為，靜力分析采用弧長法，動力分析采用Newmark直接積分和Newton-Raphson迭代結合算法.

3.1 六角星桁架靜力分析

Thai等[12]對一個六角星桁架進行了分析，該桁架有24根桿件，所有桿件的截面面積A和彈性模量E都相同，A=0.1 cm2，E=2.034×107N/cm2，邊緣假定為鉸接.

圖3 增量迭代流程圖

采用nonlinearTruss3D單元計算得到結構頂部節(jié)點的荷載-位移曲線，與文獻[12]的對比如圖4所示，兩者相差不超過1%.

圖4 頂部節(jié)點1豎向位移

3.2 測地圓頂桁架靜力分析

采用nonlinearTruss3D單元計算得到頂部節(jié)點的荷載-位移曲線，與文獻[12]的對比如圖5所示，二者相差不超過1%.

圖5 頂部節(jié)點豎向位移

3.3 懸掛桁架動力分析

Thai等[13]對某懸掛桁架進行了分析，該桁架由兩根相同的桿件組成，面積為A= 314.16 cm2，材料彈性模量E= 2.0×105MPa，自由節(jié)點的集中質量m= 5.0×104N·s2/mm，地震波采用EL-Centro波.

采用nonlinearTruss3D單元對該結構進行彈性時程分析得到自由節(jié)點的時程位移曲線與文獻[13]的對比如圖6所示.可以算出，二者最大相差不超過1%.

圖6 自由節(jié)點的時程位移曲線

3.4 空間桁架動力分析

Thai等[13]對一單跨三層空間桁架進行了分析，豎向平面構件采用L5×5×5/16截面，水平面構件采用L4×4×1/4截面，彈性模量E= 200 GPa，每層的集中質量為m= 50 N·s2/mm，基底承受水平地震作用，地震波采用EL-Centro波.

用nonlinearTruss3D單元對該空間桁架進行彈性時程分析得到頂層節(jié)點的時程位移曲線，與文獻[13]的對比如圖7所示.

從圖7可以得出，采用nonlinearTruss3D單元得到的空間桁架各層峰值位移和文獻[13]的對比，相差最大不超過3%.

圖7 頂層節(jié)點時程位移曲線

4 結論

(1)基于更新拉格朗日構形的增量虛位移原理推導出空間桁架單元的高階非線性剛度矩陣.

(2)基于OpenSees軟件平臺，在element單元基類上派生了nonlinearTruss3D類，開發(fā)了高階非線性空間桁架單元.

(3)基于OpenSees軟件平臺，給出了采用nonlinearTruss3D單元進行非線性靜力和動力分析的模塊化分析流程和增量迭代流程.

(4)通過4個平面和空間桁架結構算例的非線性靜力和動力分析，驗證了開發(fā)的nonlinearTruss3D單元具有很高的精度，可以很好模擬結構的非線性靜力和動力反應.

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[7] 喻瑩, 許賢, 羅堯治. 基于有限質點法的結構動力非線性行為分析[J]. 工程力學, 2012, 29(6):63-69.

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Development and Application of Higher Order Nonlinear Truss Element in OpenSees Platform

ZHANG Junfeng, GAO Jianli

(School of Civil Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001,China)

For long-span space truss structures, it was very important to accurately simulate the nonlinear performance. Based on the increment of UL method of differential equation, the stiffness matrix of the space truss considering geometric nonlinear was deduced. The high order nonlinear truss element was developed in the OpenSees platform. The realization of the element, the static and dynamic calculation of TCL command flow and the nonlinear algorithm of iterative process were put forward. Several kinds of truss structure under the action of nonlinear static and seismic nonlinear dynamic analysis were carried out. And the results showed that the element could reflect the strong nonlinear behavior of trusses.

space truss; geometric nonlinear; higher order stiffness matrix; OpenSees; secondary development

2015-10-28；

2015-12-26

河南省科技攻關計劃項目(142102310345)

張俊峰(1981—)，男，河南洛陽人，鄭州大學講師，博士，主要從事空間鋼結構非線性研究，E-mail：zhangjunfeng@zzu.edu.cn.

1671-6833(2016)06-0063-05

TU375

A

10.13705/j.issn.1671-6833.2016.03.025