黃 弘

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖北 孝感 432000)

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幾個含有Kantorvich常數(shù)的不等式的推廣

黃 弘

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 湖北 孝感 432000)

運用不等式理論，得到了關(guān)于Kantorvich常數(shù)的不等式，該結(jié)果推廣了文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論。此外，利用Kantorvich率，也推廣了文獻(xiàn)中含有Kantorvich常數(shù)的不等式。

Kantorvich 常數(shù);Kantorvich率;不等式

近年來，含有Kantorvich常數(shù)的不等式成為人們研究的熱點[1-4]。設(shè)x1，x2，...，xn為非負(fù)實數(shù)，s>r>0，那么下列冪形式的單調(diào)不等式[1]成立：

(1)

文獻(xiàn)[2]給出了式(1)的下列結(jié)果:

定理1[2]設(shè)x1，x2，...，xn∈[t，T]，其中0

(2)

這里s>1時，K(t，T，s)為Kantorvich 常數(shù)，定義為

(3)

顯然，不等式(2)可以看作不等式(1)的反向不等式。

在文獻(xiàn)[3]中，給出了下列結(jié)果:

定理2[3]設(shè)A是正定矩陣，x為單位向量， TI≥A≥tI>0，其中0

K(t，T，p)(Ax，x)p≥(Apx，x)

(4)

這里p>1，K(t，T，p)為Kantorvich 常數(shù)， I為n階單位陣(下同)。

在文獻(xiàn)[4]中，給出了下列結(jié)果:

定理3[4]設(shè)A是正定矩陣，x為單位向量， TI≥A≥tI>0，其中0

≥(Apx，x)-(Ax，x)p

值得說明的是，上式可以寫成

(5)

這里p>1，K(t，T，p)為Kantorvich 常數(shù)。

本文推廣了不等式(2)、(4)、(5)。

1 引理與主要結(jié)果

我們需要的引理:

引理1[1]設(shè)x1，x2，...，xn為非負(fù)實數(shù)，s>r>0，那么下列不等式成立：

注記 在定理A中令m=r=1，ui=vj=1，對所有的i=1，2，…，n;j=1，2，…，m，我們得到定理1，因此定理4可以看作定理1的推廣。

證明：令

我們只需證明

由公式(1)，有

(j=1，2，…，n)

注意到

從而

下面我們改進(jìn)定理4:

引理2[4]設(shè)a，b>0，λ∈[0，1]，那么下列不等式成立：

這里σ=min{λ，1-λ}，K(h)為Kantorvich率，定義為：

(6)

引理3[2]設(shè)A是正定矩陣，x為單位向量， TI≥A≥tI>0，其中0

這里p>1。

定理5 設(shè)A是正定矩陣，x為單位向量， TI≥A≥tI>0，其中0

(7)

證明:由引理3，我們有

于是，得到

≥(Apx，x)1/p，

該式就是

定理4 設(shè)A是正定矩陣，x為單位向量， TI≥A≥tI>0，其中0

(8)

證明:由引理2.3，我們有

[1] Bullen P S, Mitrinovic D S,Vasic P M. Means and their inequalities[M].Springer,1988：143.

[2] Yamazaki T. An extension of Specht's theorem via Kantorovich inequality and related results[J]. Mathematical Inequalities and Applications, 2000, 3(1):89-96.

[3] Furuta T. Operator inequalities associated with H lder-McCarthy and Kantorovich inequalities[J].Journal of Inequalities and Applications, 1998, 2(2):137-148.

[4] Zuo H, Shi G, Fujii M, et al. Refined Young inequality with Kantorovich constant[J]. Journal of Mathematical Inequalities, 2011, 5(4):551-556.

(責(zé)任編輯：熊文濤)

Extension of Several Inequalities Containing Kantorvich Constant

Huang Hong

(SchoolofMathematicsandStatistics,HubeiEngineeringUniversity,Xiaogan,Hubei432000,China)

In this paper, several extensions of some inequalities, including Kantorvich constant, have been established, using new results of inequality theory. At the same time, other inequalities of the same type have been generalized by Kantorvich ratio.

Kantorvich constant； Kantorvich ratio; inequality

2016-03-01

黃 弘(1969- )，男，湖北孝昌人，湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師，碩士。

O15

A

2095-4824(2016)03-0125-03