李衛(wèi)強，汪金花，李廣，張云英

(華北理工大學 礦業(yè)工程學院，河北 唐山 063009)

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四參數(shù)坐標轉換中的穩(wěn)健估計與精度分析

李衛(wèi)強，汪金花，李廣，張云英

(華北理工大學 礦業(yè)工程學院，河北 唐山 063009)

四參數(shù)坐標轉換；最小二乘原理；粗差；穩(wěn)健估計

在進行GNSS坐標系統(tǒng)之間相互轉換的坐標擬合時，一般會采用最小二乘原理(LS)法對坐標轉換參數(shù)進行求解，這就要求已知的坐標數(shù)據(jù)中不存在粗差，一旦粗差引入求解模型，就會導致轉換結果失真，大大影響坐標轉換精度。利用穩(wěn)健估計的方法可以消除或者減弱在參數(shù)求解過程中粗差的影響，以提高坐標轉換精度。文中以唐山市灤縣某地區(qū)西安80和北京54三等控制點坐標數(shù)據(jù)轉換為例，利用四參數(shù)轉換原理與穩(wěn)健估計相結合，通過粗差測試和轉換后精度分析，驗證了穩(wěn)健估計方法能有效提高模型的抗差性，提高轉換精度。

工程測量中常會遇到多種坐標系統(tǒng)并行的情況，坐標系統(tǒng)之間的相互轉換是應用GNSS定位技術不可避免的問題。當GNSS測量定位的地區(qū)已建有國家控制網(wǎng)或地方控制網(wǎng)的地區(qū)時，往往要求將GNSS測定的點位成果納入到國家坐標系統(tǒng)(北京54坐標系統(tǒng)或西安80坐標系統(tǒng))或者地方坐標系統(tǒng)中，這就需要將GNSS的坐標系統(tǒng)轉換。坐標系統(tǒng)轉換的實質是求解坐標系統(tǒng)轉換參數(shù)，常見的坐標轉換方法主要有七參數(shù)轉換、四參數(shù)轉換方法。當測區(qū)面積較小時或工程區(qū)域不大情況下，已知點要求相對比較低，采用四參數(shù)坐標轉換能夠達到理想精度。

在參數(shù)解算過程中，為了得到轉換參數(shù)的最佳值，通常釆用最小二乘估計(LS)。隨著測量數(shù)據(jù)的自動化和現(xiàn)代化，測量數(shù)據(jù)中粗差不可避免的存在于數(shù)據(jù)中，并且造成觀測值有偏于正態(tài)分布假設，LS估計不具有抗差性，觀測值中的粗差可能導致參數(shù)解面目全非，穩(wěn)健估計方法能有效地消除或減弱粗差對于坐標系統(tǒng)轉換參數(shù)的影響。文中采用穩(wěn)健估計對四參數(shù)轉換模型參數(shù)求解進行了試驗，采用不同大小粗差對比分析，驗證了穩(wěn)健估計在坐標轉換抗差效果和影響精度。

1 穩(wěn)健估計下四參數(shù)坐標轉換

平面坐標轉換模型只考慮四個轉換參數(shù)。四參數(shù)是一種降維的計算方法，即把三維空間的坐標轉換成二維的平面坐標，根據(jù)坐標的相對位置關系進行計算。

圖1 2個坐標系下的參數(shù)

(1)

令:M=mcosα、θ=msinα,按照間接平差模型可以得到公式(2)：

(2)

其中ΔX、ΔY、M、θ即為四參數(shù)，將上式按照V=Bδx-l提取系數(shù)矩陣，如公式(3)所示：

(3)

將上述轉換模型按照穩(wěn)健估計方法解算：

(4)

式中Pi是穩(wěn)健估計的初始權陣，按照一般定權方法確定。當控制點坐標默認同精度觀測條件時，可以假設初始權為單位權陣，wi是穩(wěn)健權因子，k通常是個常數(shù)，可以假設為趨近零的數(shù)，如10-10。主要是避免穩(wěn)健權因子wi計算時出現(xiàn)溢出。

2 工程應用與試驗分析

為了驗證穩(wěn)健估計對含有粗差的觀測數(shù)據(jù)有明顯抗差性，從而提高轉換結果的精度。試驗選取了唐山市灤縣某地區(qū)坐標為研究數(shù)據(jù)，分層逐級檢驗穩(wěn)健估計在坐標轉換過程中有效性。

2.1 數(shù)據(jù)來源

研究區(qū)位于唐山市灤縣東部，北部是山區(qū)，南部是相對平坦的居民地，整個測區(qū)范圍內地勢北高南低。整個區(qū)域面積約為500 km2，其中南北最大跨度約42 km，東西跨度最大約為18 km。

圖2 控制點分布示意圖

測區(qū)內共布置了26個控制點(如圖2)，分布較均勻。野外實測了控制點的西安80的北京54同期觀測的控制點坐標，控制網(wǎng)聯(lián)測的點位中誤差數(shù)量級為毫米級，滿足三等控制點精度要求。選取其中的KZ5、KZ13、KZ19、KZ24 4個點作為轉換模型的假設檢驗。(由于數(shù)據(jù)保密原因，部分數(shù)據(jù)進行了處理，如表1所示。)

表1 部分控制點坐標表

2.2 四參數(shù)的解算

分別利用LS法和穩(wěn)健估計法對試驗區(qū)域控制點坐標進行西安80向北京54坐標系統(tǒng)的參數(shù)求解和坐標轉換。為了驗證穩(wěn)健估計的抗差性，選取均勻分布的KZ3、KZ15、KZ20、KZ26中加入了固定誤差△，分別為三等控制點精度要求α=10 mm的1倍、2倍、3倍，分別利用LS法和穩(wěn)健估計法對參數(shù)進行求解，并根據(jù)轉換坐標與原坐標之差求得內符合精度，所得結果如表2、表3所示。

表2 最小二乘原理法轉換參數(shù)與精度表

表3 穩(wěn)健估計法轉換參數(shù)與精度表

根據(jù)表2、表3中2種方法求得的四參數(shù)數(shù)據(jù)可以看出，利用LS法進行求解的轉換參數(shù)隨著誤差的增加，參數(shù)的變化不斷增大，而相對于穩(wěn)健估計方法隨著誤差的增加，參數(shù)趨于一個相對穩(wěn)定的結果。由表中內符合精度結果可以看出：利用LS在粗差為0時精度為4.14 mm，隨著加入粗差的不斷增大，坐標轉換的精度也隨著大幅降低，當誤差增加到△=3α時，誤差增加為7.66 mm，解算精度大大降低；而利用穩(wěn)健估計的方法在粗差為0時精度為4.28 mm，略高于LS法，當誤差增加到△=3α時，誤差為4.35 mm非常接近于無粗差轉換精度。

根據(jù)上述結果可以得出：當觀測值中不包含粗差時，穩(wěn)健估計的方法會造成一定的精度損失，但是這種損失會非常的小，對坐標轉換的精度影響不明顯；當觀測值中存在著粗差時，LS的抗差性比較弱，在坐標轉換過程中受到粗差影響較大，利用穩(wěn)健估計的方法可以發(fā)現(xiàn)粗差并對粗差進行減弱和剔除，從而大大提高了轉換精度，因此穩(wěn)健估計法的抗差性遠遠優(yōu)于LS法。

2.3 轉換結果驗證

根據(jù)表2、表3數(shù)據(jù)，利用加入粗差△=3α所求得到的參數(shù)，利用公式(2)對假設的4個未知點數(shù)據(jù)進行坐標轉換，所得結果與已知坐標數(shù)據(jù)對比所求得的殘差如表4所示：

表4 轉換后坐標殘差對比

由表4可以看到，已知數(shù)據(jù)中存在著粗差(△=3α)，在利用LS進行坐標轉換時所求解的轉換坐標與假設未知點的已知坐標在y方向最大相差9.1 mm，在x方向最大相差7 mm；而利用穩(wěn)健估計的方法所求得的轉換坐標與原坐標相差最大為2.6 mm，轉換精度為2.26 mm相較于LS法精度5.01 mm大大提高了。因此利用穩(wěn)健估計在進行已知數(shù)據(jù)含有粗差的坐標轉換中有明顯的優(yōu)勢。

3 結論

隨著數(shù)據(jù)采集的現(xiàn)代化，大量的測繪數(shù)據(jù)如何進行處理成為了研究的熱點。論文結合傳統(tǒng)的四參數(shù)模型理論，通過加入粗差的仿真實驗，利用LS法與穩(wěn)健估計對轉換數(shù)據(jù)進行對比，證明了穩(wěn)健估計的方法的抗差性遠遠優(yōu)于LS法；目前數(shù)據(jù)采集中往往存在著無法辨別的粗差，因此利用穩(wěn)健估計在坐標轉換方面有一定的應用前景和優(yōu)越性。

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Robust Estimation and Precision Analysis on Four-parameter Coordinate Transformation

LI Wei-qiang, WANG Jin-hua, LI Guang, ZHANG Yun-ying

(College of Mining Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan Hebei 063009, China)

four-parameter coordinate transformation; principle of least square; gross error; robust estimation

When making coordinate fitting for the interconversion among GNSS coordinate system, least squares (LS) method is usually adopted to calculate the coordinate transformation parameters, which requires no gross error existing among the known coordinate data. Once the gross error is introduced to the calculation model, distortion will appear and the precision of coordinate transformation will be greatly affected. By robust estimation, the influence of gross error can be eliminated or weakened in the process of parameters calculation, thus the precision of coordinate transformation can be improved. Taking third grade control point coordinate data transformation of Xi'an 80 and Beijing 54 in Luanxian county of Tangshan as an example, this paper combines four-parameter coordinate transformation with robust estimation, and verifies the fact that model robustness and transformation accuracy can be effectively improved by robust estimation after gross error test and transformation accuracy analysis.

2095-2716(2016)01-0024-05

2015-09-05

2015-12-07

國土環(huán)境與災害監(jiān)測國家重點實驗室基金項目:(LEDM2013B06)，河北省教育廳重點科技項目(ZD20131040)，唐山市科技支撐項目(13130218Z)，河北省礦業(yè)開發(fā)與安全技術實驗室的資助。

P207+.1

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