楊 威

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009)

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一道數(shù)學(xué)競賽題的證明、應(yīng)用與推廣

楊 威

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009)

介紹了一道高等數(shù)學(xué)競賽題的五種證明方法并舉例說明其應(yīng)用,另外介紹了其推廣.

競賽題； 一題多解； Rolle定理； 應(yīng)用； 推廣

1 競賽題

東南大學(xué)2010年高等數(shù)學(xué)競賽的第五題[1]是

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo),證明：對(duì)每個(gè)c∈(a,b),存在ξ∈(a,b),使得

(1)

本文首先介紹這道試題的五種不同證法,然后舉例說明此試題的某些應(yīng)用,最后再介紹這道試題的推廣.

注 本題多次被選為研究生入學(xué)考試、各種競賽題,如2005年四川大學(xué)研究生入學(xué)試題,中央財(cái)經(jīng)大學(xué)2010年高等數(shù)學(xué)競賽試題：設(shè)函數(shù)f″(x)在[a,b]上存在,a

2 試題的五種證明

證法1[1]構(gòu)造輔助函數(shù)法.構(gòu)造輔助函數(shù)

則F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo),且有F(a)=F(b)=F(c)=0.由Rolle定理知,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得F′(ξ1)=F′(ξ2)=0,再由Rolle定理知,存在ξ∈(ξ1,ξ2)?(a,b),使F″(ξ)=0.即

(1)

證法2 構(gòu)造輔助函數(shù)法. 構(gòu)造輔助函數(shù)

則G(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo),且G(a)=G(b)=G(c)=0,仿證法1,兩次運(yùn)用Rolle定理知,存在ξ∈(a,b),使得G″(ξ)=0.而

將行列式按第四列展開,可得

將上面兩個(gè)三階行列式展開并整理即得(1)式.

證法3 利用Cauchy中值定理及Lagrange中值定理,令

F(x)=f(a)(c-x)+f(c)(x-a)+f(x)(a-c),

G(x)=(a-x)(x-c)(c-a),

則F(c)=G(c)=0,對(duì)F(x),G(x)在[c,b]上運(yùn)用Cauchy中值定理知,存在ξ1∈(c,b),使得

(2)

再令

H(x)=f(x)-f(a)+f′(ξ1)(a-x),

K(x)=[(a-ξ1)-(ξ1-x)](x-a),

則H(a)=K(a)=0, 對(duì)H(x),K(x)在[a,c]上運(yùn)用Cauchy中值定理知,存在ξ2∈(a,c),使得

(3)

再由Lagrange中值定理知,存在ξ∈(ξ2,ξ1)?(a,b),使

(4)

由(2),(3),(4),所以

即

整理后即得(1)式.

證法4 利用Taylor公式,將f(a),f(b)分別在x=c處展開,得

(5)

(6)

其中ξ1介于a與c之間,ξ2介于b與c之間,由(5),(6)知

(7)

(8)

(7)+(8)并整理得

由于

故由關(guān)于導(dǎo)函數(shù)介值性質(zhì)的Darboux(達(dá)布)定理知,存在ξ∈(ξ1,ξ2)?(a,b),使

因此,要證的(1)式成立.

證法5 待定k值法.若記

則有

f(a)(b-c)+f(b)(c-a)+f(c)(a-b)+K(a-b)(b-c)(c-a)=0,

令

φ(x)=f(x)(b-c)+f(b)(c-x)+f(c)(x-b)+K(x-b)(b-c)(c-x),

則φ(a)=φ(b)=φ(c)=0,兩次運(yùn)用Rolle定理知,存在ξ∈(a,b),使得φ″(ξ)=0而

φ″(x)=f″(x)(b-c)-2K(b-c).

3 應(yīng)用舉例

結(jié)論(1)可以用來解不少相關(guān)高等數(shù)學(xué)問題,下面僅舉三個(gè)例子予以說明.

例1[2](大連理工大學(xué)2005年研究生入學(xué)考試題；天津市2005年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題) 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo),證明：存在ξ∈(a,b),使得

(9)

證 只需要在(1)中取c=(a+b)/2并整理即可得到(9).

證 由題設(shè)易知f(x)的最小值在(0,1)內(nèi)取到,故可在(1)中取a=0,b=1,并設(shè)f(c)=-1,于是由(1)可知

由于

例3[4](華中師范大學(xué)2003年研究生入學(xué)考試題) 設(shè)f(x)在 [a,b]上二階可導(dǎo),過點(diǎn)A(a,f(a))與B(b,f(b))的直線與曲線y=f(x)相交于C(c,f(c)),其中a

證 由(1)可知

(10)

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以

即

(11)

由(10),(11)及a

4 推 廣

前面所討論的試題的一般形式為

設(shè)函數(shù)f(x)在 [a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)n階可導(dǎo),若xi∈[a,b],i=0,1,2,…,n,則存在ξ∈(a,b),使得

(12)

事實(shí)上,等式(12)表明了函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn) x0,x1,x2,…xn處的n階差商與f(x)的n階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,其證明可見數(shù)值分析教材,如[5],[6]等.

[1] 東南大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)試題分析[M]. 2版.南京：東南大學(xué)出版社, 2014.

[2] 葉國菊,趙大方.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)與考研指導(dǎo)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2009.

[3] 許康,陳強(qiáng),陳摯,陳娟編譯.前蘇聯(lián)大學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克(上篇)[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 2012.

[4] 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M]. 武漢：崇文書局, 2003.

[5] 關(guān)治,陸金甫. 數(shù)值分析基礎(chǔ)[M]. 北京：高等教育出版社, 1998.

[6] 王能超. 數(shù)值分析簡明教程[M]. 2版. 北京：高等教育出版社, 2003.

[7] 蘇化明,禹春福. 一類中值問題的行列式解法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2013,29(2):143-146.

The Proof, Application and Promotion of a Maths Contest

YANGWei

(School of Mathematics, HeFei University of Technology, Hefei 230009, China)

This paper introduces an advanced mathematics contest problem of the five methods and examples to illustrate its application, in addition to the introduction of its promotion.

competition problem; multiple solutions; Rolle theorem; application; promotion

2016-07-12； [修改日期] 2016-09-01

楊威(1979-)男,碩士,講師,主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究、數(shù)據(jù)加密、股票概率學(xué)研究. Email:shuxueyangwei@126.com

O172

C

1672-1454(2016)05-0112-04