馮有寬

(內(nèi)蒙古人力資源和社會(huì)保障廳，呼和浩特010055)

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一個(gè)二項(xiàng)式擴(kuò)展模型及其在橢圓周長(zhǎng)逼近中的應(yīng)用

馮有寬

(內(nèi)蒙古人力資源和社會(huì)保障廳，呼和浩特010055)

針對(duì)無(wú)法用初等函數(shù)精確表示的橢圓周長(zhǎng)級(jí)數(shù)展開(kāi)式，首次提出了一個(gè)含有3參數(shù)的二項(xiàng)式逼近模型；討論了這一模型用于逼近橢圓周長(zhǎng)的基本方法，進(jìn)而得到了5個(gè)結(jié)構(gòu)緊湊的近似計(jì)算公式；通過(guò)實(shí)例分析論證了公式的精確度及其實(shí)用性.

二項(xiàng)式； 擴(kuò)展模型； 函數(shù)逼近； 橢圓周長(zhǎng)

1 引 言

眾所周知，橢圓周長(zhǎng)不能表示為精確的初等公式，通常表示為橢圓積分形式及其級(jí)數(shù)展開(kāi)式[1].一個(gè)常用的級(jí)數(shù)展開(kāi)式是

(1)

為了方便計(jì)算，許多學(xué)者以上述級(jí)數(shù)展開(kāi)式為基礎(chǔ)，對(duì)橢圓周長(zhǎng)近似計(jì)算問(wèn)題作了進(jìn)一步探索，提出了不少近似公式[2].其中，1914年印度數(shù)學(xué)家拉馬努金(S. Ramanujan ，1887-1920)給出了一個(gè)簡(jiǎn)潔而實(shí)用的近似公式，即

(2)

這個(gè)公式形式簡(jiǎn)潔，精度較高，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)的美感，因而得到了廣大數(shù)學(xué)愛(ài)好者的普遍認(rèn)可.但公式的推導(dǎo)過(guò)程卻不得而知，未查閱到相關(guān)資料.

在研究橢圓周長(zhǎng)近似計(jì)算問(wèn)題中，我們用二項(xiàng)式的一個(gè)擴(kuò)展模型逼近橢圓周長(zhǎng)，不僅得到了拉馬努金給出的近似公式，還可以得到更多、更精確的近似公式.本文介紹了這一模型及其在橢圓周長(zhǎng)逼近中的應(yīng)用.

2 一個(gè)二項(xiàng)式擴(kuò)展模型

牛頓二項(xiàng)式定理一般可表示為

(3)

式(3)中x為變量，m為參數(shù).

隨著變量x和參數(shù)m的取值不同，右端的級(jí)數(shù)展開(kāi)式可分別呈現(xiàn)出幾何級(jí)數(shù)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)等不同類(lèi)型的級(jí)數(shù)，具有逼近函數(shù)的基本特性.但由于參數(shù)少，在應(yīng)用范圍上受到了限制.為此，在式(3)基礎(chǔ)上加入了k和g兩個(gè)參數(shù)，變?yōu)橐韵滦问?/p>

(4)

式(4)與式(3)相比，由一個(gè)參數(shù)增加到三個(gè)參數(shù)，增強(qiáng)了實(shí)用性；等式左端包含二項(xiàng)式、右端是按照二項(xiàng)式定理展開(kāi)的多項(xiàng)式，我們稱其為二項(xiàng)式的一個(gè)擴(kuò)展模型.

3 二項(xiàng)式擴(kuò)展模型在橢圓周長(zhǎng)逼近中的應(yīng)用

3.1 基本逼近方法

用函數(shù)p(x)近似表示已知函數(shù)f(x)，并求出兩者間的誤差，這是函數(shù)逼近的基本問(wèn)題[3].用二項(xiàng)式擴(kuò)展模型逼近橢圓周長(zhǎng)，只需將橢圓周長(zhǎng)公式中的級(jí)數(shù)部分(或級(jí)數(shù)部分運(yùn)算后生成的新級(jí)數(shù))作為被逼近函數(shù)，即

(5)

將二項(xiàng)式擴(kuò)展模型作為逼近函數(shù)，即

(6)

按照式(4)與式(5)級(jí)數(shù)展開(kāi)式同次冪系數(shù)相等的規(guī)則，可得到以下方程組及其g,k,m三個(gè)參數(shù)的求解結(jié)果，即

(7)

將三個(gè)參數(shù)代入式(6)可得到逼近函數(shù)p(x)，用p(x)近似表示f(x)便可獲得不同形式的橢圓周長(zhǎng)近似公式.

3.2 具體逼近方法與實(shí)例

3.2.1 直接逼近

將式(1)括號(hào)內(nèi)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式設(shè)定為被逼近函數(shù)，即

(8)

替換式(8)并回代到式(1)可得到橢圓周長(zhǎng)的第一個(gè)近似公式，即

(9)

3.2.2 分母中逼近

式(8)運(yùn)算后可變?yōu)?/p>

(10)

按照級(jí)數(shù)運(yùn)算規(guī)則，式(10)可變?yōu)榉帜钢邪?jí)數(shù)的形式，即

(11)

替換被逼近函數(shù)并代入式(11)可得到橢圓周長(zhǎng)的第二個(gè)近似公式，即

(12)

這個(gè)公式與拉馬努金給出的公式完全相同.拉馬努金曾經(jīng)給出了幾千個(gè)數(shù)學(xué)公式，很多公式都沒(méi)有推導(dǎo)過(guò)程，我們不敢妄加猜測(cè)他的思想過(guò)程，但相同的結(jié)果卻值得我們深思.

如果按照分母中逼近的上述思路，將式(11)進(jìn)一步運(yùn)算還可變化為以下形式

(13)

將式(13)小括號(hào)內(nèi)的冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式作為被逼近函數(shù)f(x)，用相同的方法可得到第三個(gè)近似公式，即

(14)

3.2.3 分子分母分別逼近

根據(jù)二項(xiàng)式擴(kuò)展模型逼近函數(shù)的特性，可將式(10)運(yùn)算后變?yōu)?/p>

(15)

進(jìn)一步運(yùn)算可得到以下有理分式(不同于Padé逼近中的有理分式)

(16)

采用前述方法對(duì)式(16)的分子、分母分別逼近可得到第四個(gè)近似公式，即

(17)

3.2.4 不同方法組合逼近

不同的逼近方法可以組合應(yīng)用.比如，將式(16)進(jìn)一步運(yùn)算可變?yōu)?/p>

(18)

用相同的方法可得到第五個(gè)近似計(jì)算公式

(19)

注 式(19)中的指數(shù)3/5為化簡(jiǎn)近似值.

上述例舉了應(yīng)用二項(xiàng)式擴(kuò)展模型獲取橢圓周長(zhǎng)公式的幾個(gè)具體方法和實(shí)例，通過(guò)各種逼近方法的組合應(yīng)用還可得到更多的近似公式，這里不再贅述.

3.3 誤差分析

上述式(9)，(12)，(14)，(17)和(19)五個(gè)橢圓周長(zhǎng)近似公式，精度如何？不妨通過(guò)實(shí)例加以說(shuō)明.

假設(shè)有4個(gè)橢圓，長(zhǎng)半軸a值均為500，離心率e分別為0.28，0.6，0.8，0.96，則短半軸b值分別為480，400，300，140.據(jù)此，可分別計(jì)算不同的x值，并按照公式(1)取足夠精度要求的級(jí)數(shù)項(xiàng)來(lái)計(jì)算橢圓周長(zhǎng).假設(shè)按公式(1)計(jì)算的結(jié)果為橢圓周長(zhǎng)的真值，將對(duì)應(yīng)的x代入上述5個(gè)近似公式，便可計(jì)算不同橢圓周長(zhǎng)的近似值；真值減去近似值的差與真值相比，便可得到相對(duì)誤差，據(jù)此即可判斷近似公式的精確度.

為便于分析，將上述設(shè)定的數(shù)據(jù)和計(jì)算值列于表1.

表1 橢圓周長(zhǎng)近似計(jì)算公式誤差對(duì)比表

表1應(yīng)用5個(gè)近似公式，分別計(jì)算了4個(gè)不同參數(shù)的橢圓周長(zhǎng)的近似值和相對(duì)誤差.從誤差情況看，同一公式計(jì)算不同離心率的橢圓周長(zhǎng)，離心率越小，精度越高；而5個(gè)不同的近似公式用于計(jì)算相同離心率的橢圓周長(zhǎng)，公式精度依次有所提高.精度最高的是式(19)，離心率小于0.8時(shí)，精度至少達(dá)到了15位以上有效數(shù)值，這一精度在天文計(jì)算中也是可以應(yīng)用的.

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一個(gè)二項(xiàng)式擴(kuò)展模型，用于逼近橢圓周長(zhǎng)，得到了五個(gè)近似計(jì)算公式.逼近過(guò)程運(yùn)算簡(jiǎn)單，實(shí)證分析精度較高，說(shuō)明應(yīng)用這一模型逼近橢圓周長(zhǎng)是非常實(shí)用的.二項(xiàng)式擴(kuò)展模型是否能夠用于逼近其他函數(shù)？如果答案肯定，則必將能夠豐富函數(shù)逼近理論和擴(kuò)展函數(shù)逼近方法，期待廣大學(xué)者研究論證.

[1] 周祖逵.橢圓周長(zhǎng)近似公式[J] .數(shù)學(xué)通報(bào),1995，34(6)，45-47.

[2] Roger W, Barnard, Kent Pearce, Kendall C, Richards. A Monotonicity Property Involving 3F2 and Comparisons of the Classical Approximations of Elliptical Arc Length[J]. SIAM J. Math. Anal., 2000 , 32, (2):403-419.

[3] 王仁宏.數(shù)值逼近[M].北京：高等教育出版社,1999： 17-26.

One Binomial Expansion Model and its Application in Approximation for Perimeter of an Ellipse

FENGYou-kuan

(Inner Mongolia Human Resources and Social Security Department, Hohhot 010055, China)

We first propose the 3 parameters binomial approximating model for the series expansion of ellipse perimeter which can’t be refined calculated by elementary function; Using this model, we discusses the basic method for approximating the ellipse perimeter, and obtain 5 compacted approximate formula; We take instance analysis to prove the accuracy and practicability of this model.

binomial; expansion model; function approximation; the perimeter of an ellipse

2015-12-18； [修改日期] 2016-08-22

馮有寬(1960-),男，學(xué)士，從事養(yǎng)老保險(xiǎn)研究.Email:fengyoukuan@126.com

O174.41

C

1672-1454(2016)05-0116-05