林盛，熊文康，王春，楊亮

(大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

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新型三維橢圓振動(dòng)切削裝置研究

林盛，熊文康，王春，楊亮

(大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

基于螺旋理論和自由與約束拓?fù)淅碚?，提出了一種新型空間三自由度柔順機(jī)構(gòu).結(jié)合螺旋理論與有限元理論，推導(dǎo)出了柔順機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣.對機(jī)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)分析，得出了前六階固有頻率和振型.根據(jù)橢圓軌跡的形成原理，將機(jī)構(gòu)運(yùn)用到切削加工上，設(shè)計(jì)出一種新型三維橢圓振動(dòng)切削裝置，分析各種參數(shù)，繪制出了切削運(yùn)動(dòng)軌跡圖像.

自由與約束拓?fù)洌蝗犴槞C(jī)構(gòu)；模態(tài)分析；橢圓振動(dòng)切削

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)水平的飛速發(fā)展，產(chǎn)品零件精度要求的不斷提高，機(jī)械制造領(lǐng)域面臨著嚴(yán)峻的挑戰(zhàn).作為一種具有發(fā)展?jié)摿Φ募庸し椒?，橢圓振動(dòng)切削不僅可以有效地改善切削加工性、而且能夠形成微加工運(yùn)動(dòng)高效地創(chuàng)成表面，受到了國內(nèi)外的各界學(xué)者的廣泛關(guān)注[1].

20世紀(jì)90年代，橢圓振動(dòng)切削被首次提出[2].隨后日本名古屋大學(xué)的社本英二教授等人研究出了一系列的橢圓振動(dòng)切削裝置[3]，并對難加工材料進(jìn)行了加工實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了其優(yōu)越的加工性能.國內(nèi)對橢圓振動(dòng)切削裝置的研究主要來源于各大高校發(fā)表的專利和論文[1, 4-5].其中很多切削裝置刀具的運(yùn)動(dòng)是通過柔順單元的彎曲變形來實(shí)現(xiàn)的.柔順單元的運(yùn)動(dòng)分析要經(jīng)過大量復(fù)雜的公式計(jì)算得出，設(shè)計(jì)過程十分繁瑣.由HOPKINS教授提出的自由與約束拓?fù)?FACT)理論[6]，將柔順機(jī)構(gòu)的自由度空間與約束空間結(jié)合進(jìn)行可視化處理，使得柔順機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析變得直觀明了，為柔順單元的設(shè)計(jì)提供了一條可行的便捷之道.

本文將在螺旋理論和自由與約束拓?fù)淅碚摰幕A(chǔ)上，設(shè)計(jì)出空間三自由度柔順機(jī)構(gòu)，進(jìn)行固有特性分析.利用橢圓振動(dòng)軌跡的形成原理，將其應(yīng)用到三維橢圓振動(dòng)切削方面.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 螺旋理論

螺旋理論中，運(yùn)動(dòng)螺旋和力螺旋可以從整體上描述剛體瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)及受力情況.運(yùn)動(dòng)螺旋T用來表示物體的自由度，力螺旋W用來表示物體所受到的約束.運(yùn)動(dòng)螺旋可以由3個(gè)角速度向量和3個(gè)線速度向量合成，可以表示

(1)式中，Δθ為角速度向量，δ為線速度向量，c表示坐標(biāo)原點(diǎn)指向運(yùn)動(dòng)螺旋線上的位置向量，螺距p表示線速度與角速度的比值.

類似地，力螺旋也可以由3個(gè)角速度向量和3個(gè)線速度向量合成，力螺旋W表示機(jī)構(gòu)所受到的約束，表達(dá)式為

(2)

(3)式中，f為力向量，τ為力偶向量，r表示坐標(biāo)系原點(diǎn)指向力螺旋線上的位置向量，螺距q表示剛體所受到力偶與力的比值.

當(dāng)運(yùn)動(dòng)螺旋與力螺旋的互易積等于零時(shí)，根據(jù)式(1)和式(2)得：

(4)式中，d為運(yùn)動(dòng)螺旋與力螺旋之間的最短距離，θ為扭轉(zhuǎn)角.

由式(4)可知當(dāng)d=0或θ=0時(shí)，機(jī)構(gòu)的在空間內(nèi)所有運(yùn)動(dòng)螺旋線與力螺旋線都相平行或相交.

1.2 自由度和約束空間

自由度空間是由無數(shù)多條運(yùn)動(dòng)螺旋線所組成，代表空間內(nèi)物體在可以進(jìn)行的所有運(yùn)動(dòng).物體作基本運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)螺旋變成線向量.根據(jù)自由與約束拓?fù)淅碚搶C(jī)構(gòu)進(jìn)行幾何表達(dá)可視化，如圖1(a)所示，機(jī)構(gòu)的可以繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，Z軸移動(dòng).

約束空間由無數(shù)多條力螺旋線所組成，表示空間內(nèi)物體被限制住的所有運(yùn)動(dòng).如圖 1(b)所示，機(jī)構(gòu)的X軸移動(dòng)，Y軸移動(dòng)，Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)被限制.

圖1 自由與約束拓?fù)銯ACT圖

根據(jù)螺旋理論和自由與約束拓?fù)淅碚摚瑘D2所示的柔順機(jī)構(gòu)為三自由度柔順機(jī)構(gòu)，中間剛體9通過八個(gè)柔順單元與基座10相連，可以實(shí)現(xiàn)空間三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng).材料選用彈性模量為73GPa，泊松比0.3，密度為2 700 kg/m3的鋁合金，對其進(jìn)行固有特性分析.

圖2 柔順機(jī)構(gòu)

2 固有特性分析

2.1 剛度矩陣

柔順機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣表示運(yùn)動(dòng)螺旋與力螺旋之間的關(guān)系為

(5)式中，θx、θy、θz表示機(jī)構(gòu)三個(gè)方向的扭轉(zhuǎn)角，δxi、δyi、δzi表示機(jī)構(gòu)三個(gè)方向的位移，[N(a)]為方向的轉(zhuǎn)換矩陣，[N(a)]可表示為

(6)式中，n1為垂直n2和n3的單位向量，n2為垂直柔順單元的單位向量，n3為沿著柔順單元的單位向量，0為零向量，L為坐標(biāo)系原點(diǎn)指向柔順單元與工作臺(tái)接觸點(diǎn)位置的向量.

柔順單元的力螺旋表達(dá)式為

(9)式中，Ix為截面對x軸的慣性矩，Iy為截面對y軸的慣性矩，J為極慣性矩，E為彈性模量，G為剪切模量，A為截面面積， l為柔順單元的長度.總力螺旋表達(dá)式為

(10) 將各個(gè)參數(shù)代入公式(10)得：

2.2 模態(tài)分析

結(jié)構(gòu)的固有特性與外部載荷無關(guān)，由機(jī)構(gòu)的自身性質(zhì)所決定，可以通過模態(tài)參數(shù)定量描述.模態(tài)分析就是計(jì)算結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的數(shù)值技術(shù)，對模態(tài)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，確定結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，從而有效的避免結(jié)構(gòu)共振現(xiàn)象的產(chǎn)生，幫助設(shè)計(jì)人員了解不同載荷下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況，為響應(yīng)分析提供必要的依據(jù).

利用 ANSYS Workbench軟件對所設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，得出機(jī)構(gòu)的前6階固有頻率如表1.

表1 前6階固有頻率 Hz

模態(tài)分析的第一階振型為中間剛體向Z軸移動(dòng)，第二階振型為中間剛體繞Y軸旋轉(zhuǎn)，三階振型為中間剛體繞Z軸旋轉(zhuǎn)，機(jī)構(gòu)前三階振型與利用自由與約束拓?fù)淅碚撍治龀龅慕Y(jié)果一致，驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性.第一階振型的頻率為2526Hz，固有頻率較高，符合設(shè)計(jì)要求.

3 運(yùn)動(dòng)軌跡分析

橢圓振動(dòng)切削的原理主要是通過壓電陶瓷等裝置施加振動(dòng)，使刀具的橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡垂直于加工工件所在平面. 隨著橢圓振動(dòng)切削的進(jìn)一步發(fā)展，刀具的橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡擴(kuò)展到了空間，即三維橢圓振動(dòng)切削.三維橢圓振動(dòng)切削的刀具運(yùn)動(dòng)軌跡在加工工件平面及其法平面的投影均為橢圓，對曲面的加工有著良好的切削效果.將設(shè)計(jì)出來的空間三自由度柔順機(jī)構(gòu)安裝在底座上，組成了三維橢圓振動(dòng)切削裝置，其整體結(jié)構(gòu)如圖3.

圖3 三維橢圓振動(dòng)切削裝置

對機(jī)構(gòu)振動(dòng)軌跡進(jìn)行分析，設(shè)向中間剛體三個(gè)自由度方向分別施加的驅(qū)動(dòng)信號為：

繞Y軸旋轉(zhuǎn)的扭矩Ty(t)=V1sin(2πft+α) 繞Z軸旋轉(zhuǎn)的扭矩Tz(t)=V2sin(2πft+β) 沿Z軸方向的載荷FZ(t)=V3sin(2πft+γ)式中，V1、V2、V3和α、β、γ分別為信號Ty(t)、Tz(t)、Fz(t)的振幅和初相位，t為時(shí)間，f為驅(qū)動(dòng)頻率.

在驅(qū)動(dòng)信號的作用下，切削點(diǎn)在笛卡爾直角坐標(biāo)中的位移方程可表示為[8]：

(11)

式中，a、b、c和φx、φy、φz分別為信號的振幅和初相位，vc為切削速度，θ為切削方向與三維橢圓平面夾角.

當(dāng)a=b=c=5 μm，φx=0，φy=π/6，φz=π/3，f=100Hz，vc=3μm/s，θ=π/4時(shí)，用MATLAB軟件進(jìn)行軌跡計(jì)算，得到的三維橢圓振動(dòng)軌跡如圖4.

圖4 三維橢圓振動(dòng)軌跡

4 結(jié)論

(1)根據(jù)螺旋理論和自由與約束拓?fù)淅碚?，設(shè)計(jì)出的柔順機(jī)構(gòu)，可以繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)、Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)、沿著Z軸移動(dòng)，符合空間三自由度的運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)則，滿足設(shè)計(jì)的要求;

(2)利用有限元知識，計(jì)算出機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣，進(jìn)而得出了柔順機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)螺旋與力螺旋之間的關(guān)系.進(jìn)行模態(tài)分析第一階固有頻率為2526Hz，有效地避免了共振現(xiàn)象;

(3)設(shè)計(jì)出了三維橢圓振動(dòng)切削裝置，用MATLAB軟件進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡分析，得出的軌跡圖像在三個(gè)平面內(nèi)的投影均為橢圓，效果良好.

[1]盧明明. 三維橢圓振動(dòng)輔助切削裝置及控制的研究[D]. 長春：吉林大學(xué),2014.

[2]SHAMOTO E, MORIWAKI T. Study on elliptical vibration cutting[J]. Annals of the CIRP,1994(43): 35-38.

[3]SHAMOTO E, SUZUKI N, TSUCHIYA E, et al. Development of 3 DOF ultrasonic vibration tool for elliptical vibration cutting of sculptured surfaces[J]. Cirp Annals,2005,54(1): 321-324.

[4]劉培會(huì). 一種三維橢圓振動(dòng)切削裝置的研制[D]. 長春：吉林大學(xué), 2013.

[5]周曉勤, 劉培會(huì), 林潔瓊, 等. 一種三維橢圓振動(dòng)切削裝置[D].長春：吉林大學(xué),2012.

[6]HOPKINS J B, CULPEPPER M L. Synthesis of multi-degree of Freedom, parallel flexure system concepts via freedom and constraint topology (FACT). Part I: Principles[J].Precision Engineering,2010,34(2): 259-70.

[7]BALL R S. A treatise on the theory of screws[M].Cambridge: Cambridge University Press, 1900.

[8]SHAMOTO E, SUZUKI N, HINO R. Analysis of 3D elliptical vibration cutting with thin shear plane model[J]. Cirp Annals-Manufacturing Technology，2008，57: 57-60.

A Novel Three-Dimensional Elliptical Vibration Cutting Device

LIN Sheng , XIONG Wenkang, WANG Chun, YANG Liang

( School of Mechanical Engineering, Dalian Jiaotong University, Dalian 116028, China)

A novel three-dimensional elliptical vibration cutting device was proposed based on the screw theory and the freedom and constraint topology (FACT) theory. Then the overall stiffness matrix was derived, the first six natural frequencies and vibration mode were obtained through the modal analysis. Analysis of various parameters and cutting trajectory plotting were done according to the forming principle of elliptical orbit.

FACT; compliant mechanism; modal analysis; elliptical vibration cutting

1673- 9590(2016)06- 0048- 04

2016-05-01

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51105050)；遼寧省科學(xué)技術(shù)基金資助項(xiàng)目(2015020131)

林盛(1979-)，男，副教授，博士，主要從事柔順機(jī)構(gòu)、微操作機(jī)器人的研究

A

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