侯闊林

黎明職業(yè)大學(xué)公共教學(xué)部，福建泉州，362000

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“月上柳梢頭，人約黃昏后”的數(shù)學(xué)解釋

侯闊林

黎明職業(yè)大學(xué)公共教學(xué)部，福建泉州，362000

對(duì)“月上柳梢頭，人約黃昏后”的天文含義進(jìn)行了研究，調(diào)查了大量的歷法和天文數(shù)據(jù)，比如月食、各地的日落時(shí)刻等。通過(guò)定義月亮的角度、黃昏后的時(shí)刻、日期序數(shù)和基準(zhǔn)分差，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一元線性回歸分析、多元回歸分析，建立月上柳梢頭、人約黃昏后的函數(shù)模型。函數(shù)揭示，月亮每天自西向東偏移12.191°，月上柳梢頭大約發(fā)生在某個(gè)陰歷十五左右，而日落時(shí)刻與日期呈多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系，與經(jīng)度呈線性關(guān)系，與緯度呈三角函數(shù)關(guān)系。計(jì)算結(jié)果表明，函數(shù)是有效的。通過(guò)聯(lián)立方程組，使用數(shù)學(xué)軟件預(yù)測(cè)了北京地區(qū)將在2016年2月21日18點(diǎn)23分前后出現(xiàn)黃昏后月上柳梢頭的特殊自然現(xiàn)象。

月相；歷法；數(shù)據(jù)處理；回歸分析；方程組

“月上柳梢頭，人約黃昏后”出自歐陽(yáng)修筆下的《生查子·元夕》，它描述一幅美好的畫(huà)面——在元宵佳節(jié)的花市，黃昏后，當(dāng)一輪明月升起在樹(shù)梢頭時(shí)，與佳人相約，兩情相悅?，F(xiàn)代人會(huì)從很多不同的角度來(lái)鑒賞這首詞，除文學(xué)、美學(xué)和歷史等角度之外，考慮到“月上柳梢頭，人約黃昏后”是一個(gè)特殊的現(xiàn)象，應(yīng)該只會(huì)發(fā)生在某些特定的日期和時(shí)刻，還可以根據(jù)天文學(xué)的基本知識(shí)，使用數(shù)學(xué)方法來(lái)研究此現(xiàn)象。

1 問(wèn)題的提出與假設(shè)

“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”是兩個(gè)不同的自然現(xiàn)象，為確定它們同時(shí)發(fā)生的時(shí)間，需要解決以下問(wèn)題。

問(wèn)題一：定義“月上柳梢頭”時(shí)月亮在空中的角度和“黃昏后”的具體時(shí)刻；

問(wèn)題二：根據(jù)天文學(xué)基本知識(shí)，在適當(dāng)簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型，分別確定“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”發(fā)生的日期和時(shí)間，并根據(jù)已有的天文資料驗(yàn)證所建模型的合理性；

問(wèn)題三：說(shuō)明如何使用所建立的模型作預(yù)測(cè)，舉例分析2016年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時(shí)刻。

為方便起見(jiàn)，作如下假設(shè)：

(1)假設(shè)以地球?yàn)閰⒄瘴?，由于地球自轉(zhuǎn)，看到太陽(yáng)和月亮東升西落；

(2)假設(shè)月球繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度是均勻的，繞地球一周需29.53天；

(3)若月亮升起時(shí)發(fā)生月食，假設(shè)觀測(cè)到月亮升起的角度是0°；

(4)假設(shè)地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度是勻速的，繞地球一周?chē)?65天；

(5)假設(shè)日期相同、經(jīng)度相同、緯度遞減的日落時(shí)刻越晚。

本文中將使用以下符號(hào)：w0表示月球繞地球公轉(zhuǎn)的相對(duì)角速度(rad/h)；θ表示月球上升的角度(rad/h)；Δt表示從日落到天黑所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；x表示日期序數(shù)，即一年的第x天；ω表示月亮升起時(shí)的角度；t表示日落時(shí)刻；y表示基準(zhǔn)分差，即實(shí)際日落時(shí)刻與18:00的分差；T表示天黑時(shí)間；i，j表示經(jīng)度和緯度。

2 問(wèn)題一的求解

2.1 月上柳梢頭

由詞意可知，“月上柳梢頭”是指在元宵節(jié)時(shí)，月亮升起時(shí)掛在柳梢頭。陰歷十五前后，月亮大約出現(xiàn)在東方地平線上方，問(wèn)題是“柳梢頭”這個(gè)角度是多少呢？簡(jiǎn)單地看，這個(gè)角度可以用眼睛、樹(shù)梢和月亮三點(diǎn)的連線與地平面的夾角來(lái)定義，但是“月上”是一個(gè)模糊詞，月亮何時(shí)開(kāi)始在空中出現(xiàn)，角度如何？有很強(qiáng)的主觀性。根據(jù)天文知識(shí)分析此問(wèn)題，將更為客觀。通過(guò)月球繞地球公轉(zhuǎn)的角速度w月公以及地球自轉(zhuǎn)的角速度w地自，可以求出月球繞地球公轉(zhuǎn)的相對(duì)角速度[1]，進(jìn)一步解出月球從地面升上去的角度。

因?yàn)樵虑虻墓D(zhuǎn)與地球的自轉(zhuǎn)方向相同，所以其相對(duì)角速度為：

w=w地自-w月公≈14.464rad/h

姜益欣指出，月亮出現(xiàn)的時(shí)刻，應(yīng)該介于剛剛天黑的時(shí)間t1與完全天黑t2的時(shí)間之內(nèi)[2]。據(jù)此，可以計(jì)算出這段時(shí)間月球轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：

θ∈(t1·w0,t2·w0)

考慮到陰歷十五前后，月球、地球和太陽(yáng)基本處于一條直線上(一般稍有偏差，若完全在一條直線上會(huì)發(fā)生月食)。而月亮從模糊到清晰的過(guò)程，它轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ∈(7.232°,12.053°)?！霸律稀笔窃铝脸霈F(xiàn)的意思，角度應(yīng)在7.23°～12.05°之間。月上柳梢頭取多少度有一定的主觀性，考慮到古人有日上三竿的說(shuō)法，大概是早上8點(diǎn)前后，過(guò)太陽(yáng)和眼睛的直線與地平面夾角約為30°。而柳樹(shù)較低，定義“柳梢頭”為θ=9°。

定義1 “月上柳梢頭”指眼睛、柳梢頭和月亮三點(diǎn)一線，和地平線的夾角為9°。

2.2 人約黃昏后

黃昏是指日落以后天黑以前的時(shí)候[3]， 由于天黑是漸變的，黃昏也是一模糊詞。 在天文學(xué)上，天黑的標(biāo)準(zhǔn)定義為太陽(yáng)位置低于地平線12°30′，即日落一段時(shí)間后[4]，才是天黑時(shí)間。這段時(shí)間也隨著緯度不同而長(zhǎng)短不同。因?yàn)樘?yáng)與地球的夾角每天都在變化，哪怕在同一地點(diǎn)，每天的日落時(shí)刻都稍有不同，但差別不大。以北京天安門(mén)為例，冬至日，天黑時(shí)刻在日落時(shí)刻之后28分鐘，夏至日，天黑時(shí)刻在日落時(shí)刻之后30分鐘，相差僅兩分鐘。百度百科中，“天黑”是指太陽(yáng)落入水平線下后過(guò)30分鐘為天黑，事實(shí)上，此時(shí)天還沒(méi)有完全黑，稱之為朦影?？梢则?yàn)證，完全天黑為日落后50分鐘。

考慮到地球的自轉(zhuǎn)速度：

則地球轉(zhuǎn)過(guò)12.5度所用的時(shí)間為：

=50 min

考慮到“月上柳梢頭”，朦影時(shí)即會(huì)月現(xiàn)，所以定義黃昏后為：

定義2 稱天剛黑的時(shí)候?yàn)辄S昏后，具體時(shí)刻取日落往后數(shù)第30分鐘。

3 問(wèn)題二的求解

3.1 月出時(shí)刻的角度函數(shù)

每天，月亮在星空中自西向東移動(dòng)一段距離的同時(shí)，它的形狀也在不斷地變化著，這就是月亮位相變化，叫作月相。從地球的某個(gè)固定地點(diǎn)觀測(cè)，月球每天在空中自西向東移動(dòng)多少距離不好衡量，但是，觀測(cè)者的眼睛和月亮的連線，與水平面的夾角變化是可以度量的。為方便起見(jiàn)，假設(shè)月球繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期為29.53天。考慮到月相周期與陰歷關(guān)系密切，下面對(duì)月相的研究均使用陰歷日期。自陰歷的初一起，月亮每天自西向東偏移12.191°(360°除以29.53°)，現(xiàn)在的問(wèn)題是，坐北向南看，哪一天這個(gè)夾角剛好為0°呢？

在陰歷十五或十六，月亮運(yùn)行到和太陽(yáng)相對(duì)的方向。這時(shí)，如果地球和月亮的中心大致在同一條直線上，月亮就會(huì)進(jìn)入地球的本影，而產(chǎn)生月食。假設(shè)在發(fā)生月食這天月亮在東方地平線上升起，和地平面的夾角為0°[5]。根據(jù)天文資料,2015年4月4日在月亮剛升起后，北京發(fā)生了月食。設(shè)2015年4月4日(陰歷乙未二月十六)觀測(cè)到的月亮升起時(shí)和地平面夾角為0°?；诖搜芯吭铝恋拿刻焐饡r(shí)的角度，傳統(tǒng)的日期格式，如2015年9月12日，作為變量不利于數(shù)學(xué)計(jì)算。設(shè)定一年為365天，1月1日為整數(shù)1，1月2日為整數(shù)2，如果沒(méi)有閏年，12月31日為365等。

定義3 日期序數(shù)：以某日期為第1天(一般取元旦)，隨后的第x天，稱為日期序數(shù)x。

月亮每天自西向東偏移12.191°，則可以使用數(shù)學(xué)軟件計(jì)算陰歷二月、三月時(shí)觀測(cè)到的角度，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 2015年陰歷二、三月份的月亮角度

根據(jù)表1可知，二月份時(shí)，月亮的角度ω與日期序數(shù)有如下函數(shù)關(guān)系：

ω=-12.191x+1146

而三月份時(shí)，有如下關(guān)系：

ω=-12.191x+1506

兩者斜率系數(shù)相同，而截距系數(shù)不同，可見(jiàn)截距系數(shù)與x相關(guān)。根據(jù)月球運(yùn)行周期為29.53天，得到2015年北京地區(qū)月亮升起時(shí)的角度ω與日期序數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系為：

(1)

3.2 有關(guān)日落時(shí)刻的函數(shù)模型

3.2.1 有關(guān)日落時(shí)刻的天文學(xué)知識(shí)

根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，日落時(shí)刻和地理位置、四季更替有關(guān)，即每一天的日落時(shí)刻都稍有不同，一個(gè)地方的經(jīng)緯度也影響日落時(shí)刻。取日期序數(shù)、經(jīng)度、緯度為自變量，分析它們之間與日落時(shí)刻存在的關(guān)系，可以建立函數(shù)模型。

首先，確定日期變量的度量方式。為了與陰歷統(tǒng)一，同樣將日期轉(zhuǎn)化日期序數(shù)。

其次，確定時(shí)刻變量。為分析方便，將日落時(shí)刻精確到分，比如18:54:15精確為18:54分。在格式上，取18:00為基準(zhǔn)，小于18:00的分鐘數(shù)記為負(fù)數(shù)，大于18:00的分鐘數(shù)記為正數(shù)。如15：43分記為-17，19:02分記為62等。

定義4 基準(zhǔn)分差：將日落時(shí)刻與18:00：00的分鐘差稱為基準(zhǔn)分差。

分析歷史數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，不同年份的同一地點(diǎn)、同一日期的日落時(shí)刻基本相同。天文學(xué)上，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)一周需要365.25天，表明日落時(shí)刻函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為365.25天。因此，假設(shè)日落時(shí)刻不以年份為自變量。

3.2.2 日落時(shí)刻與陽(yáng)歷日期的關(guān)系

考慮到問(wèn)題三要研究北京市的相關(guān)問(wèn)題，在此選擇北京市作為觀測(cè)地點(diǎn)。隨機(jī)抽取了2014年的部分?jǐn)?shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于網(wǎng)上的萬(wàn)年歷。將日期轉(zhuǎn)化為2014年的第x天，并計(jì)算基準(zhǔn)分差，得表2。

表2 2014年北京市日落時(shí)刻表

需要確定日落時(shí)刻與天數(shù)的函數(shù)關(guān)系。確定兩種或以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法通常采用回歸分析[6]。它基于觀測(cè)數(shù)據(jù)建立變量間適當(dāng)?shù)囊蕾囮P(guān)系，來(lái)分析數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律，可用于預(yù)報(bào)、控制等問(wèn)題。使用數(shù)學(xué)軟件，可以作出基準(zhǔn)分差隨天數(shù)變化的散點(diǎn)圖(圖1)。

圖1 日落時(shí)刻隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖

觀察散點(diǎn)圖，猜想基準(zhǔn)分差與日期的關(guān)系式是多項(xiàng)式函數(shù)?？紤]到趨勢(shì)線彎曲程度以及春分到秋分和秋分到春分的對(duì)稱性，可以設(shè)為4次或者6次多項(xiàng)式函數(shù)，使用數(shù)學(xué)軟件作回歸分析，4次多項(xiàng)式函數(shù)為：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4

(2)

其相關(guān)系數(shù)的平方R2=0.9926。六次多項(xiàng)式為：

y=-68.04455+1.930536x-0.027991x2

+0.000367x3-0.0000021x4

+4.97×10-7x5-4.11×10-12x6

(3)

其相關(guān)系數(shù)的平方R2=0.999165。

盡管函數(shù)(3)的擬合優(yōu)度更好，但是其5次和6次系數(shù)過(guò)于復(fù)雜。函數(shù)(2)擬合優(yōu)度也很好，并且較為簡(jiǎn)單，便于實(shí)際應(yīng)用，因此選用函數(shù)(2)。日落時(shí)刻可以通過(guò)基準(zhǔn)分差計(jì)算：

3.2.3 日落時(shí)刻和經(jīng)度的關(guān)系

日落時(shí)刻和經(jīng)度的關(guān)系是非常淺顯的[7]，即和時(shí)區(qū)有關(guān)?？紤]到我國(guó)在東半球，僅研究日落時(shí)刻與東經(jīng)度數(shù)的關(guān)系。選取相同日期，與北京緯度相同但經(jīng)度不同的地點(diǎn)，觀察其日落時(shí)刻，得到表3。

由表3可知，相同日期與北京相同緯度的情況下，日落時(shí)刻基準(zhǔn)分差與經(jīng)度大致呈線性關(guān)系。作一元回歸分析可得：

y=-4i+406.63

則經(jīng)度為i的地方日落時(shí)刻基準(zhǔn)分差與北京的關(guān)系為：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)

(4)

則t=18.00+[-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)/60]

表3 相同日期下與北京經(jīng)度不同、緯度相同的日落時(shí)刻表

3.2.4 日落時(shí)刻與緯度的關(guān)系

由地理學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)太陽(yáng)直射北半球時(shí)，位置越北晝長(zhǎng)越長(zhǎng)，日出時(shí)間早，日落時(shí)刻晚。當(dāng)?shù)厍蛑鄙淠习肭驎r(shí)，南半球緯度越高，日出越晚，日落越早?？紤]到我國(guó)的地理位置，本文只考慮北半球的情況。

選取與北京的日期相同、經(jīng)度相同、緯度不同的地點(diǎn)。觀察日落時(shí)刻，得到表4。

表4 與北京緯度不同的地方日落時(shí)刻表

表4顯示，不同緯度的日落時(shí)刻，呈現(xiàn)的規(guī)律性受日期序數(shù)的影響，大致呈三角函數(shù)關(guān)系[8]?；诖?，作一元線性回歸，得日落時(shí)刻基準(zhǔn)分差的計(jì)算公式：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)

(5)

則日落時(shí)刻與日期、經(jīng)度和緯度的關(guān)系為：

+0.0237x2-0.0001x3+1.94×10-7x4

-4(i-116.408)+(i-39.904)

(6)

為驗(yàn)證計(jì)算公式的正確性，分別計(jì)算北京、哈爾濱、上海、武漢、廣州、蘭州、烏魯木齊、昆明、拉薩等地2014年不同日期的日落時(shí)刻，將計(jì)算結(jié)果與往年天文數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較，如表5所示。

表5 計(jì)算結(jié)果與往年數(shù)據(jù)的比較

計(jì)算結(jié)果與天文年歷中日出日落時(shí)刻最多相差2分鐘，可見(jiàn)公式(6)是有效的。

4 問(wèn)題三的求解

綜上所述，可以得出“月上柳梢頭”發(fā)生的日期和“人約黃昏后”發(fā)生的時(shí)刻滿足如下方程組模型：

(7)

其中：

時(shí)間T的整數(shù)部分為時(shí)，小數(shù)部分可以轉(zhuǎn)化為分，比如19：20，表示19時(shí)12分。

根據(jù)(7)，可以計(jì)算2016年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的時(shí)間。

通過(guò)分段函數(shù)的計(jì)算[9]，得x=418.095，即2016年的第52天，對(duì)應(yīng)日期是2月21日，即陰歷的正月十四。

然后，使用公式(2)：y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2-0.0001x3+1.94×10-7x4，確定落日基準(zhǔn)差y=-7.07，則日落時(shí)刻約為t=17:53分，而天黑時(shí)間T=t+30=18:23分。

北京地區(qū)在2016年會(huì)出現(xiàn)“月上柳梢頭，人約黃昏后”，發(fā)生的日期和時(shí)間為陽(yáng)歷2016年2月21日18:23。

5 模型評(píng)價(jià)

為研究方便，應(yīng)抓住問(wèn)題的主要因素，忽略次要因素，再作規(guī)范假設(shè)。模型應(yīng)用于實(shí)際生活時(shí)，可能會(huì)有一些細(xì)小的誤差。模型巧妙的設(shè)定日期序數(shù)，統(tǒng)一了陽(yáng)歷日期和陰歷日期。使用回歸分析的方法，研究了月出時(shí)間與陰歷日期的關(guān)系、日落時(shí)刻基準(zhǔn)差與陽(yáng)歷日期、經(jīng)度和緯度的關(guān)系，利用這些函數(shù)關(guān)系可以確定一個(gè)地方“月上柳梢頭、人約黃昏后”發(fā)生的具體日期和時(shí)間。驗(yàn)證表明，模型與歷史數(shù)據(jù)是吻合的，由此推算的近期時(shí)間是可靠和準(zhǔn)確的。本文是數(shù)學(xué)模型在天文學(xué)和日常生活中的應(yīng)用，不僅有助于研究此自然現(xiàn)象，也拓寬了數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用領(lǐng)域。

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(責(zé)任編輯：汪材印)

2016-08-30

黎明職業(yè)大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金“福建省與東盟能源合作機(jī)制研究”。

侯闊林(1983-)，安徽蕭縣人，碩士，副教授，主要研究方向：最優(yōu)化理論及其應(yīng)用。

10.3969/j.issn.1673-2006.2016.11.024

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1673-2006(2016)11-0089-05