何麗娜 張成

（河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京 211100）

GPS精密星歷軌道內(nèi)插與擬合方法研究

何麗娜 張成

（河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京 211100）

GPS精密星歷以15min為間隔發(fā)布衛(wèi)星精密軌道。在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要求解任意時(shí)刻衛(wèi)星精密軌道。常用的方法有拉格朗日插值法和切比雪夫多項(xiàng)式擬合法?；诖?，利用2007年7月8日的2號(hào)衛(wèi)星精密星歷數(shù)據(jù)，編程實(shí)現(xiàn)了不同階數(shù)條件下的軌道擬合，并比較2種方法的精度，分析各自的優(yōu)缺點(diǎn)。

精密星歷；拉格朗日插值法；切比雪夫多項(xiàng)式擬合法；衛(wèi)星坐標(biāo)

一般有2種方法可以得到GPS衛(wèi)星軌道，一是由廣播星歷計(jì)算獲取，參考?xì)v元下軌道精度在2m左右，難以達(dá)到高精度應(yīng)用要求；另一種是通過(guò)精密星歷內(nèi)插或擬合得到，精度較高［1］。由于IGS精密星歷及精密鐘差是采樣間隔為15min的離散數(shù)據(jù)，為了得到連續(xù)的星歷及鐘差參數(shù)，在應(yīng)用前對(duì)精密星歷進(jìn)行插值或擬合，以得到衛(wèi)星連續(xù)軌道。本文介紹求解衛(wèi)星連續(xù)軌道的2種常見(jiàn)方法，分別是拉格朗日多項(xiàng)式插值法和切比雪夫多項(xiàng)式擬合法，通過(guò)實(shí)例計(jì)算分析2種方法各自的特點(diǎn)。

12 種方法求解連續(xù)衛(wèi)星軌道的原理

1.1 拉格朗日多項(xiàng)式插值衛(wèi)星坐標(biāo)的原理

設(shè)在n+1個(gè)時(shí)間為t1，t2，……，tn+1插值節(jié)點(diǎn)上的衛(wèi)星坐標(biāo)分別為x1（t1），x2（t2），……，xn+1（tn+1），那么在任意時(shí)刻t衛(wèi)星的坐標(biāo)可表示為：

利用式（1）在X、Y、Z方向上分別進(jìn)行插值處理，即可得到任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)。插值的階數(shù)為節(jié)點(diǎn)數(shù)減1［2］。

1.2 切比雪夫多項(xiàng)式擬合衛(wèi)星坐標(biāo)的原理

在時(shí)間段［t0，t0+Δt］內(nèi)，將GPS星歷用n階切比雪夫多項(xiàng)式擬合，t0為初始?xì)v元，Δt為擬合時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度，由下面的轉(zhuǎn)換公式把t∈［t0，t0+Δt］轉(zhuǎn)換為τ∈［-1，1］。

則衛(wèi)星坐標(biāo)X、Y、Z分量用如下切比雪夫多項(xiàng)式表示：

式（3）中，n為切比雪夫多項(xiàng)式階數(shù)，Cxi、Cyi、Czi分別是X、Y、Z坐標(biāo)分量的切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。切比雪夫多項(xiàng)式Ti用以下遞推公式確定。

用最小二乘方法求解多項(xiàng)式系數(shù)原理如下：

式（5）中，

由最小二乘原理VTPV=min得誤差方程的解為：

式（6）中，C即為切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)，這時(shí)帶入式（2）和（4）中，即可利用式（3）計(jì)算得到衛(wèi)星求解時(shí)刻的軌道坐標(biāo)［3］。X、Y、Z分別平差計(jì)算出一套多項(xiàng)式系數(shù)，即經(jīng)過(guò)3次這樣的過(guò)程可以得到衛(wèi)星任意時(shí)刻的精密坐標(biāo)。

22 種方法求解連續(xù)衛(wèi)星坐標(biāo)的比較

IGS精密星歷給出的是間隔15min的衛(wèi)星軌道，如果要獲得任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)，需要經(jīng)過(guò)插值或擬合方法。如果插值或擬合的階數(shù)較低，則得到的坐標(biāo)精度較低，不能滿足實(shí)際需要，但是由于精密星歷本身的精度限制以及高階多項(xiàng)式本身的數(shù)學(xué)問(wèn)題，階數(shù)并不是越高越好，因此選擇合適的階數(shù)是獲得精確坐標(biāo)的前提。

本文分別用上述2種方法分別編程對(duì)2007年7月8日的2號(hào)衛(wèi)星0∶00-6∶00共25個(gè)時(shí)刻數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算并比較如下。

2.1 拉格朗日插值法

以2號(hào)衛(wèi)星10 800s時(shí)刻作為插值點(diǎn)，因此去除該時(shí)刻數(shù)據(jù)使其不作為插值節(jié)點(diǎn)，利用該時(shí)刻前后分別2個(gè)時(shí)刻的數(shù)據(jù)（即4階拉格朗日插值）至6個(gè)時(shí)刻數(shù)據(jù)（即12階拉格朗日插值），分別插值計(jì)算，得到的10 800s時(shí)刻的坐標(biāo)結(jié)果如表1所示。

表1 各階拉格朗日插值得到的10 800s的2號(hào)衛(wèi)星的坐標(biāo)值

由表1數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)拉格朗日插值階數(shù)達(dá)到8階時(shí)，精度可達(dá)到厘米級(jí)；階數(shù)小于8時(shí)，階數(shù)增加對(duì)精度提高有明顯作用；大于8時(shí)，階數(shù)越高，精度沒(méi)有顯著提高。所以，一般使用8階拉格朗日內(nèi)插衛(wèi)星坐標(biāo)。

2.2 切比雪夫多項(xiàng)式擬合法

將10 800s時(shí)刻作為擬合點(diǎn)，去除2號(hào)衛(wèi)星在該時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)，利用選取的6h共24個(gè)時(shí)刻的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行擬合計(jì)算，得到衛(wèi)星精密坐標(biāo)擬合結(jié)果如表2所示。

表2 各階切比雪夫多項(xiàng)式擬合10 800s的2號(hào)衛(wèi)星的坐標(biāo)值

由表2數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)切比雪夫多項(xiàng)式插值階數(shù)達(dá)到10階時(shí)，精度可達(dá)到厘米級(jí)；階數(shù)小于10時(shí)，階數(shù)增加對(duì)精度提高有明顯作用；大于16時(shí)，階數(shù)越高，精度沒(méi)有顯著提高。所以，一般使用12～15階切比雪夫多項(xiàng)式擬合衛(wèi)星坐標(biāo)。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)比較拉格朗日插值計(jì)算衛(wèi)星坐標(biāo)和切比雪夫多項(xiàng)式擬合衛(wèi)星坐標(biāo)，得出以下結(jié)論：①選擇合適階數(shù)的插值和擬合方法均可得到給定時(shí)刻下的衛(wèi)星坐標(biāo)值；②8～10階拉格朗日內(nèi)插的衛(wèi)星坐標(biāo)達(dá)到厘米級(jí)精度，超過(guò)10階精度提高不明顯，一般使用8～10階拉格朗日插值進(jìn)行衛(wèi)星坐標(biāo)的計(jì)算，該方法計(jì)算簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，但由于階數(shù)改變即選擇的節(jié)點(diǎn)不同，方程要重新建立，使計(jì)算量增大；③12～15階切比雪夫擬合衛(wèi)星坐標(biāo)可達(dá)到厘米級(jí)精度，超過(guò)15階精度提高不明顯，一般使用12～15階切比雪夫擬合衛(wèi)星坐標(biāo)，該方法精度較好，是工程中使用的經(jīng)典方法之一，但由于要平差求解切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)，程序較復(fù)雜，涉及求逆問(wèn)題，計(jì)算上不太方便。

［1］葉達(dá)忠.GPS精密單點(diǎn)定位（PPP）原理、測(cè)試及應(yīng)用［J］.廣西水利水電，2007（1）：24-26.

［2］魏二虎，柴華.GPS精密星歷插值方法的比較研究［J］.全球定位系統(tǒng)，2006（5）：13-15.

［3］陳正陽(yáng)，易重海.用切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行GPS衛(wèi)星軌道標(biāo)準(zhǔn)化［J］.礦山測(cè)量，2002（2）：5-7.

Study on Orbit Interpolation and Fitting Method of GPS Precise Ephemeris

He LinaZhang Cheng
（School of Earth Science and Engineering，Hohai University，Nanjing Jiangsu 211100）

GPSprecise ephemeris with 15min interval released satellite precise orbit.In practical applications,it is often required tosolvethesatellitepreciseorbit at any time.Thecommonly used method hasLagrangeinterpolation method and Chebyshev polynomial fitting.Based on this,by July 8,2007 2 satelliteephemerisdata,thetrack fitting of different order condition was realized by programming,and the accuracy of the two methods were compared,and the advantage sand disad vantages of each method were anal yzed.

precise ephemeris；lagrang interpolating method；chybishev polynomial fitting；satellite coordinate

P228.4

A

1003-5168（2016）11-0031-02

2016-10-19

何麗娜（1985-），女，博士，講師，研究方向：大地測(cè)量。