毛滔 劉濤

(1.海軍參謀部電子對抗雷達(dá)聲納局,北京 100841;2.海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院,武漢 430033)

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基于Fisher分布的極化合成孔徑雷達(dá)統(tǒng)計建模及其參數(shù)估計方法

毛滔1劉濤2

(1.海軍參謀部電子對抗雷達(dá)聲納局,北京 100841;2.海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院,武漢 430033)

為更準(zhǔn)確地描述高分辨極化合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar,SAR)圖像的尖峰和長拖尾等統(tǒng)計分布特性,提出了基于Fisher分布的極化圖像多變量乘積模型,并研究了其參數(shù)估計方法.首先給出了柯西分布相干斑噪聲等效紋理分量的概率密度函數(shù)及其低階矩特征；然后利用散射因子服從F分布的等效紋理變量與高斯散斑變量相乘形成的多變量乘積統(tǒng)計模型,得到了Fisher分布模型的概率密度函數(shù),并推導(dǎo)了其多視協(xié)方差矩陣的概率密度函數(shù)和矩陣行列式值的低階矩特征；最后提出了基于矩陣行列式值的矩估計和基于Mellin變換的對數(shù)累積量估計等兩種參數(shù)估計方法,并進(jìn)行了對比,同時通過仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了理論模型和新參數(shù)估計方法的有效性.這為高分辨極化SAR圖像建模、目標(biāo)檢測和識別等領(lǐng)域的理論研究和工程實(shí)現(xiàn)提供了新途徑.

Fisher分布;Kummer-U函數(shù);極化SAR;Mellin變換;多視;建模估計

DOI 10.13443/j.cjors.2016030102

引 言

在極化合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar,SAR)圖像解譯中雜波模型的準(zhǔn)確性起著重要的作用,是雷達(dá)目標(biāo)檢測、分類識別以及相干斑抑制的基礎(chǔ).雷達(dá)回波的統(tǒng)計分布一般服從滿足有限方差中心極限定理的高斯分布(幅度瑞利分布)[1-2],但是隨著現(xiàn)代雷達(dá)頻率和分辨率的不斷提高,需要借助非高斯分布函數(shù)來刻畫地雜波和海雜波的統(tǒng)計特性.這種分辨單元內(nèi)散射點(diǎn)數(shù)目較少或者有顯著散射點(diǎn)的雷達(dá)回波往往具有長拖尾的分布特性,對數(shù)正態(tài)分布、Weibull分布、K分布常常用來描述這種海雜波和地雜波的起伏特性[3-4].在高分辨以及低掠角條件下Weibull雜波模型對回波的描述更加準(zhǔn)確[5-6],同時在低分辨條件下平方根伽瑪分布能較準(zhǔn)確地描述雜波的幅度統(tǒng)計特性[7].對數(shù)正態(tài)乘積模型常常比觀測數(shù)據(jù)有更強(qiáng)的拖尾,伽瑪和Weibull分布的拖尾要比實(shí)際觀測數(shù)據(jù)弱[8].K分布等基于紋理分量和散斑分量的多變量乘積模型在描述雜波模型上也備受關(guān)注,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在長拖尾雜波的建模、信號處理以及數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域.乘積模型表明,在散射中心數(shù)目足夠的條件下[9-10],雷達(dá)回波等價于滿足有限方差中心極限定理的散斑高斯噪聲與地面后向散射系數(shù)的乘積,目前存在的問題是相干斑噪聲分量服從滿足中心極限定理的高斯分布的這個假設(shè)未必總是成立.一般情況下如果被觀測區(qū)域是均勻的,平方根伽瑪乘積模型(也就是K分布模型)能較好地描述這一區(qū)域的隨機(jī)分布[11].K分布等多變量模型是包含形狀參數(shù)和尺度參數(shù)的兩參數(shù)模型(強(qiáng)度歸一化后為單參數(shù)模型),為了使多變量模型能夠適用的場景更加廣泛,更具一般性的G分布和Fisher分布等三參數(shù)模型(強(qiáng)度歸一化后為雙參數(shù)模型)備受關(guān)注[12-17],這實(shí)際上是以增加自由度和運(yùn)算量來提高模型的適用度,但是存在的問題是某些統(tǒng)計模型的物理意義并不明確,參數(shù)估計復(fù)雜且不準(zhǔn)確.同時,在高分辨雷達(dá)照射下由于陸海特別是海面散射回波隨時間和空間的起伏變化較快,回波一般具有尖峰和長拖尾特性,尖峰特性的出現(xiàn)使得常規(guī)的K分布等多變量模型在信號處理中的可靠性下降[18-19].具有尖峰和長拖尾特性的穩(wěn)定分布是滿足廣義中心極限定理的唯一的一類分布,并且能夠保持自然噪聲過程的產(chǎn)生機(jī)制和傳播條件,從而在統(tǒng)計模型領(lǐng)域備受關(guān)注[19].R.D.Pierce已經(jīng)將對稱穩(wěn)定分布模型用于描述海面艦船和雜波的散射截面積,并給出了微弱艦船目標(biāo)的檢測算法,取得了較好的效果[17].Kuruoglu等的研究結(jié)果表明基于穩(wěn)定分布的重尾瑞利分布(heavy-tailed Rayleigh distribution)非常適合從物理原理上描述雷達(dá)波散射特性、回波長拖尾及其尖峰特性[20-21],但是穩(wěn)定分布不具有封閉的概率密度函數(shù)解析形式,造成數(shù)值計算量大,也不利于進(jìn)行深入的性能分析,造成了其實(shí)際應(yīng)用的困難.柯西分布是具有封閉表達(dá)式的僅有的兩種對稱穩(wěn)定分布之一(另一種是高斯分布),同時柯西分布的信號處理算法對對稱穩(wěn)定模型誤差具有很好的魯棒性和優(yōu)于高斯算法的性能,使得柯西分布模型能夠較好地近似其他對稱穩(wěn)定分布[19].借鑒不同雜波分布的各種統(tǒng)計模型,在文獻(xiàn)[17, 22]的理論基礎(chǔ)上,結(jié)合乘積相干斑模型各分量的實(shí)際物理意義,本文推導(dǎo)了服從伽瑪分布和柯西分布的雙變量乘積統(tǒng)計模型的概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式.然后根據(jù)等效紋理分量服從Fisher分布的一般情況,將極化SAR雜波的柯西乘積模型拓展為Fisher分布的多變量乘積統(tǒng)計模型,并分析了其協(xié)方差矩陣行列式值的矩特征.

與此同時,快速準(zhǔn)確的參數(shù)估計是保證統(tǒng)計模型有效的關(guān)鍵技術(shù).統(tǒng)計模型參數(shù)的估計問題是SAR圖像分割、分類等統(tǒng)計分析和信號處理的關(guān)鍵步驟和經(jīng)典問題.參數(shù)估計常用的方法是矩估計和最大似然估計.最大似然估計在求解復(fù)雜的統(tǒng)計函數(shù)時計算可能非常復(fù)雜,而不得不采用數(shù)值計算的方法,運(yùn)算量很大不利于快速求解;矩估計方法局限于高階矩或者分?jǐn)?shù)階矩存在的情況下,同時矩估計方法受噪聲的影響較大,較小的噪聲擾動也會引起參數(shù)估計較大的偏差,并且和最大似然估計一樣,矩估計也有可能產(chǎn)生較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式而造成計算復(fù)雜度的增加.最近的研究表明基于Mellin變換的對數(shù)累積量參數(shù)估計方法與矩估計和最大似然估計相比具有計算簡單、精度高的優(yōu)點(diǎn),它在SAR圖像參數(shù)估計領(lǐng)域的突出表現(xiàn)也引起了研究人員的興趣[22-23].S N Anfinsen將研究方法成功應(yīng)用到極化SAR圖像等效視圖數(shù)估計、模型擬合度分析和目標(biāo)檢測等領(lǐng)域,取得了相當(dāng)理想的結(jié)果[22-24].因此本文提出了基于Mellin變換的對數(shù)累積量估計方法.新的處理方法有效提高了極化Fisher分布參數(shù)估計的準(zhǔn)確性和高效性.

1 后向散射的幅度特性

復(fù)高斯矢量Y的幅度服從平方根伽馬分布,其概率密度函數(shù)為

y≥0, v>0, a>0.

(1)

(2)

(3)

a>0, t>0, v>0.

(4)

經(jīng)計算等效后向散射幅度的r階矩為

(5)

(6)

此分布函數(shù)是F分布函數(shù)的線性變形,由式(5)可知其具有(0,1/2)階矩.可見基于柯西分布的乘積模型可以用F分布函數(shù)來表征.實(shí)際上,F分布也包含了高斯分布和柯西分布的強(qiáng)度分布形式,可以看作是對稱穩(wěn)定分布的一個簡單替代.在噪聲分量服從F分布時,采用上述方法可以推導(dǎo)得到等效后向散射強(qiáng)度的概率密度函數(shù)為

(7)

式中,u=n/2,n為逆伽瑪分布的自由度, 直接將此分布作為乘積模型的紋理分量在單極化SAR圖像里面已經(jīng)有學(xué)者提出[15],L Bombrun將其應(yīng)用到全極化圖像并進(jìn)行圖像分割,取得了較好的效果,盡管他們并沒有說明模型的物理意義.如何快速準(zhǔn)確地獲得模型參數(shù)仍然是目前極化Fisher分布實(shí)際應(yīng)用的難點(diǎn)問題,也是本文后面需要解決的問題.

基于Mellin變換的對數(shù)累積量參數(shù)估計方法是目前廣泛關(guān)注的有效參數(shù)估計方法,特別適用于乘積模型,具體方法描述詳見文獻(xiàn)[22,26].可以得到F分布的矩特征為[15]

(8)

基于Mellin變換的F分布的對數(shù)累積量為[15]

(9)

(10)

式中：ψ為普西函數(shù);r=2,3,….

2 極化SAR多視數(shù)據(jù)的協(xié)方差統(tǒng)計分布

極化SAR中,復(fù)散射矩陣用S表示,記為

(11)

在互易條件下,SHV=SVH,這樣散射矩陣S就可以用目標(biāo)矢量來代替:

(12)

(13)

復(fù)高斯矢量服從以下分布:

(14)

d是復(fù)高斯矢量的維數(shù).

為了抑制相干斑的影響,極化數(shù)據(jù)往往通過平均方差矩陣的方法來進(jìn)行多視處理.從式(13)對方差矩陣求均值得到

(15)

式中：L為視圖數(shù);Z(k),Y(k),T(k)分別是第k個Z,Y,T的單視采樣點(diǎn);上標(biāo)“H”表示共軛轉(zhuǎn)置.如果視圖數(shù)不是很多的話,在多視處理中T(k)獨(dú)立于k[12], 在此假設(shè)下,式(15)轉(zhuǎn)化為

(16)

(17)

式中：C=E(yyH);d是復(fù)矢量ZC的維數(shù);tr(·)為行列式的跡;函數(shù)Γ(L,d)為

(18)

(19)

(20)

將式(7)和式(20)代入到式(19),交換積分次序,利用拉普拉斯變換[29]以及Kummer-U合流超幾何函數(shù)定義[30]

exp(-pz)dz,

(21)

式(19)可化簡為

U(Ld+u,Ld-v+1,Ltr(C-1z)),

(22)

則Fisher分布乘積模型方差矩陣概率密度函數(shù)為

U(Ld+u,Ld-v+1,Ltr(C-1z)).

(23)

高斯分布行列式值的高階矩特征為[28]

(24)

那么易得Fisher分布極化協(xié)方差矩陣行列式值的高階矩為

(25)

在只考慮同極化參數(shù)的強(qiáng)度分布情況下,即在式(25)中令d=1,通過交換積分次序易得其一維多視強(qiáng)度的分?jǐn)?shù)階矩為

r

(26)

式(26)利用貝塔函數(shù)可重新表示為

r

(27)

k1{Z}=ψd(0,L)+ln|C|+d(ψ(v)-

ψ(u)-ln L) ,

(28)

kr{Z}=ψd(r-1,L)+dr(ψ(r-1,v)+

(-1)rψ(r-1,u))

(29)

所示,這是后續(xù)利用對數(shù)累積量進(jìn)行參數(shù)估計的核心公式之一.

3 極化Fisher分布乘積模型的參數(shù)估計方法

(30)

多通道矩估計平均值的方法本質(zhì)上只利用了共極化通道數(shù)據(jù),并沒有充分利用極化協(xié)方差矩陣的相關(guān)信息,必定會導(dǎo)致估計誤差的增大,同時上述估計方法受階數(shù)的選取影響較大(階數(shù)選取對估計精度的影響依據(jù)見圖1).因此我們提出了基于協(xié)方差矩陣行列式值的矩估計方法.

由式(25)可得L視強(qiáng)度的r/2階矩特征為

(31)

那么易得

(32)

上述估計方法受階數(shù)的選取影響也較大.為了充分利用極化協(xié)方差矩陣信息并避免階數(shù)對結(jié)果的影響,可以利用式(28)～(29)中的二三階累積量進(jìn)行參數(shù)估計,即

(33)

(34)

對數(shù)累積量的計算形式如下(四階以下對數(shù)累積量等于其對應(yīng)對數(shù)中心矩):

(35)

(36)

(37)

4 極化SAR圖像數(shù)據(jù)分析

Goodman,Kuruoglu發(fā)現(xiàn)柯西分布非常適合描述雷達(dá)高分辨散射和相干斑特性,及其拖尾和尖峰特性[10,22],本節(jié)將從仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)兩個方面分析驗(yàn)證極化F分布理論推導(dǎo)的正確性和有效性.

4.1 仿真數(shù)據(jù)分析

為了仿真簡單易行,假設(shè)極化SAR圖像HH通道數(shù)據(jù)服從變形t分布模型,仿真算法借鑒文獻(xiàn)[14]所述方法.設(shè)形狀參數(shù)u=v=0.5,極化SAR的HH通道尺度參數(shù)|CHH|=0.1.通過仿真數(shù)據(jù),可以驗(yàn)證概率密度和矩特征理論推導(dǎo)的正確性,如圖1所示.

從圖1可以看出,理論推導(dǎo)結(jié)果完全符合仿真數(shù)據(jù)的統(tǒng)計,但是由于其長拖尾無限均值方差的特性,導(dǎo)致其幅度矩特征在1附近產(chǎn)生振蕩,與理論值相差較大,但是隨著樣本數(shù)的增加,仿真結(jié)果與理論值逐漸接近,這與仿真數(shù)據(jù)的無限均值、無限方差的特性是相符合的.另外仿真直方圖尾部的高直特點(diǎn)恰恰反映了該分布具有的重尾特性.其低階矩特征也說明,在樣本數(shù)目一定和計算精度許可的條件下,低階矩階數(shù)的減小有助于參數(shù)矩估計精度的提高.對本文提出的三種估計方法,即單通道平均矩估計方法、基于矩陣行列式值的矩估計方法和基于矩陣行列式值的對數(shù)累積量估計方法,在L=4,u=2.5,v=3.5參數(shù)假定下,進(jìn)行了性能的仿真比較,結(jié)果如表1所示.可以看出對數(shù)累積量的估計方法要比矩估計方法準(zhǔn)確快速.矩估計隨著矩階數(shù)的減小,估計精度總體有所提高.

圖1 仿真數(shù)據(jù)與理論結(jié)果的比較

表1 三種估計方法性能比較(樣本數(shù)1 024,仿真次數(shù)1 000)

4.2 實(shí)測數(shù)據(jù)分析

這里采用的極化SAR圖像(圖2)是Pol-SARPro軟件中常用的由ESAR/OP-AIRFIELD-提供的Oberpfaffenhofen全極化雷達(dá)圖像(3m×3m),其中名義視圖數(shù)為L=12,以及Pol-SARPro軟件中AIRSAR的SanFrancisco全極化雷達(dá)圖像分辨率(10m×10m)4視數(shù)據(jù).為了驗(yàn)證極化F分布理論與實(shí)測數(shù)據(jù)的擬合程度,采取K-S非參數(shù)檢驗(yàn)方法[5]和最小方差(MinimumSquareError,MSE)準(zhǔn)則[15]計算二者的差異, 結(jié)果如表2所示.表3為顯著性水平為α?xí)r的K-S檢驗(yàn)門限允許值.

區(qū)域uv極化通道MSEK-S檢驗(yàn)HH0.54071.3113A(城區(qū))2.960010.3900HV0.05160.7052VV0.05010.5474HH0.22581.2133B(植被)+∞+∞HV0.62021.3527VV0.11830.7724HH0.05680.6762C(森林)+∞8.6200HV0.78581.3236VV0.06200.6853HH0.19571.0004D(城區(qū))6.80003.7000HV0.57611.3038VV0.20641.1625

表3 顯著性水平為α?xí)r的K-S檢驗(yàn)門限值

從表2和表3可以看出:A和D城區(qū)可以方便地用極化Fisher分布模型進(jìn)行擬合;B區(qū)植被的兩個參數(shù)都為無窮大,說明B區(qū)植被協(xié)方差矩陣服從Wishart分布,也就是相干斑服從復(fù)高斯分布,這也是符合以前的理論結(jié)果的;C區(qū)森林服從K分布,這也與其典型分布相吻合.從表中也可以看出不管在森林、農(nóng)作物,還是城區(qū),極化Fisher分布都具有很小的K-S值和MSE值,表明極化Fisher分布模型能夠很好地擬合大部分區(qū)域,包括高斯分布和K分布以及描述不均勻區(qū)域的G0分布(v→∞).

從表4可以看出:在San Francisco的海洋區(qū)域和森林區(qū)域,尺度參數(shù)數(shù)值都非常大,符合高斯分布或者K分布模型假設(shè),這與實(shí)際情況比較相符;而在城區(qū),形狀參數(shù)數(shù)值非常大,這與非均勻區(qū)域G0的分布假設(shè)非常吻合,因此本文提出的Fisher分布模型具有一定的普適性,可以較好地對均勻和非均勻區(qū)域進(jìn)行合理的建模與參數(shù)估計,為后續(xù)的目標(biāo)檢測與識別奠定了基礎(chǔ).

表4 San Francisco四個區(qū)域的參數(shù)估計與檢驗(yàn)分析

5 結(jié) 論

本文提出了適用范圍廣泛的基于多變量乘積的極化Fisher分布數(shù)學(xué)模型,它具有閉合的解析表達(dá)式.通過研究極化F分布的矩特征和對數(shù)累積量特征,提出了模型參數(shù)基于矩陣行列式值的矩估計方法及基于Mellin變換的對數(shù)累積量估計方法.在多參數(shù)估計的情況下給出了基于對數(shù)累積量的極化Fisher統(tǒng)計分布數(shù)據(jù)估計步驟,部分避免了多元方程遍歷的低效解法.研究成果為高分辨極化SAR圖像建模、目標(biāo)檢測和識別等領(lǐng)域的理論研究和工程實(shí)現(xiàn)提供了新思路.由于基于高階對數(shù)累積量方法的參數(shù)估計的準(zhǔn)確性與樣本數(shù)目相關(guān)性較大,容易引起小樣本時參數(shù)估計誤差較大甚至無解,如何解決小樣本條件下的參數(shù)準(zhǔn)確有效估計是下一步的研究重點(diǎn).

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毛滔 (1979-),男,江西人,海軍聯(lián)合海情中心高級工程師,博士,研究方向?yàn)榈夭ɡ走_(dá)、雷達(dá)信號處理和數(shù)據(jù)處理.

劉濤 (1978-),男,山東人,海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院教授,博士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)槔走_(dá)極化信息處理、雷達(dá)電子戰(zhàn)建模與仿真.

Modeling polarimetric SAR image based on Fisher distribution and its parameter estimation

MAO Tao1LIU Tao2

(1.TheFourthDepartmentofHeadquartersofNavy,Beijing100841,China;2.NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,China)

Based on the Fisher multiple variable product model, the Fisher statistical model of polarimetric synthetic aperture radar(SAR) images is put forward to describe the properties of heavy tail and peak, and the statistics and the estimation methods are obtained.Firstly, the probability density function (PDF) of developed t distribution is given based on Cauchy distribution, so are the fractal moments.Secondly, the Fisher distribution model is obtained through the multiple variable product model mixed with the Fisher variable, and the PDF and the fractal moments of the covariance matrix moments are derived.At last, two estimation methods via Mellin transform and Matrix moments are presented.The performances of the novel data model and novel parameter estimation methods are verified by the simulated data and real data.The research provides a simple analytical method to describe different distributed clutter, which is useful to target detection and recognition.

Fisher distribution;Kummer-U function;polarimetric SAR;Mellin transform;multi-look;modeling;estimation

毛滔, 劉濤.基于Fisher分布的極化合成孔徑雷達(dá)統(tǒng)計建模及其參數(shù)估計方法[J].電波科學(xué)學(xué)報,2016,31(5):948-956.

10.13443/j.cjors.2016030102

MAO T, LIU T.Modeling polarimetric SAR image based on Fisher distribution and its parameter estimation[J].Chinese journal of radio science,2016,31(5):948-956.(in Chinese).DOI：10.13443/j.cjors.2016030102

2016-03-01

國家自然科學(xué)基金(61372165)

TN957.52

A

1005-0388(2016)05-0948-09

聯(lián)系人：劉濤 E-mail：liutao1018@sina