王德鳳

“命題”是用語言、符號或式子表達的，可以判斷其真假的陳述語句. “命題”是高中數(shù)學課程“常用邏輯用語”中的基本概念，是數(shù)學中的定義、定理、公理以及重要結論等得以呈現(xiàn)的主要形式之一，也是所有數(shù)學試題的有機組成部分，可以說“數(shù)學無處不命題”. 因此，理解命題的概念、結構，掌握四種命題間的轉(zhuǎn)化、聯(lián)系與應用，掌握命題的常見題型，是學好命題、學好邏輯乃至學好數(shù)學的基礎. 本文以列舉范例的形式，談談“命題”的常見題型與求解方法，見木見林，以期對大家有所幫助.

命題真假的判斷

例1 設[f（x），g（x），h（x）]是定義域為[R]的三個函數(shù)，對于命題：①若[f（x）+g（x）]，[f（x）+h（x）]，[g（x）+h（x）]均為增函數(shù)，則[f（x），g（x），h（x）]中至少有一個增函數(shù)；②若[f（x）+g（x）]，[f（x）+h（x）]，[g（x）+h（x）]均是以[T]為周期的周期函數(shù)，則[f（x），g（x），h（x）]均是以[T]為周期的周期函數(shù). 下列判斷正確的是（ ）

A. ①和②均為真命題

B. ①和②均為假命題

C. ①為真命題，②為假命題

D. ①為假命題，②為真命題

分析 本題所給的是抽象函數(shù). 將需要判斷其單調(diào)性（周期性）的函數(shù)[f（x），g（x），h（x）]用已知其單調(diào)性（周期性）的函數(shù)[f（x）+g（x）]，[f（x）+h（x）]，[g（x）+h（x）]表示出來（即化未知為已知），是解決問題的切入點和關鍵.

解 由題意得，

[f（x）=[f（x）+g（x）]+[f（x）+h（x）]-[g（x）+h（x）]2]，

同理得，

[g（x）=[f（x）+g（x）]+[g（x）+h（x）]-[f（x）+h（x）]2]，

[h（x）=[f（x）+h（x）]+[g（x）+h（x）]-[f（x）+g（x）]2].

由于周期函數(shù)通過四則運算后還是周期函數(shù)（可用定義證明），所以②為真命題. 但兩個增函數(shù)的和與差不一定仍為增函數(shù)（單調(diào)性不確定），故①是假命題.

答案 D

點撥 判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結構，即它的條件和結論分別是什么，然后聯(lián)系其他知識，經(jīng)過邏輯推理來判定. 值得注意的是，確定一個命題為真時必須嚴格論證，而確定一個命題為假時，只需要舉一個反例即可.

四種命題之間的轉(zhuǎn)換

例2 命題“若[x，y]都是奇數(shù)，則[x+y]是偶數(shù)”的逆否命題是（ ）

A. 若[x，y]都是偶數(shù)，則[x+y]是奇數(shù)

B. 若[x，y]都不是奇數(shù)，則[x+y]不是偶數(shù)

C. 若[x+y]不是偶數(shù)，則[x，y]都不是奇數(shù)

D. 若[x+y]不是偶數(shù)，則[x，y]不都是奇數(shù)

分析 命題“若[p]，則[q]”的逆否命題是“若[?q]，則[?p]”. 值得注意的是“[x，y]都是奇數(shù)”的否定中包含三種情況：“[x]是奇數(shù)，[y]不是奇數(shù)”“[x]不是奇數(shù)，[y]是奇數(shù)”和“[x，y]都不是奇數(shù)”，概括為“[x，y]不都是奇數(shù)”；不能把“[x，y]都不是奇數(shù)”作為“[x，y]都是奇數(shù)”的否定而錯選C.

解 因為“都是”的否定是“不都是”，故正確選項為D.

答案 D

點撥 寫否命題、逆否命題時，要對條件、結論進行否定. 而對條件（或結論）進行否定時，務必要搞清條件（或結論）包含的各種情況，全面考慮.

四種命題的相互關系

例3 原命題為“若[z1，z2]互為共軛復數(shù)”，則“[z1=z2]”. 關于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）

A. 真，假，真 B. 假，假，真

C. 真，真，假 D. 假，假，假

分析 互為逆否的兩個命題同真（或同假），即原命題與其逆否命題，逆命題與否命題同真（或同假）.

解 不妨設[z1=a+bi（a，b∈R）]，則[z2=a-bi]. 顯然，[z1=z2=a2+b2]，所以原命題為真. 另一方面，取[z1=-2，z2=2i]，雖然[z1=z2=2]，但[z1，z2]不是共軛復數(shù)，所以逆命題為假.

答案 B

點撥 判斷四種命題的真假，只需判斷原命題與逆命題的真假即可. 四種命題中，真命題（假命題）的個數(shù)一定是偶數(shù)個.

命題（含全稱命題、特稱命題）的否定

例4 命題“[?x∈R，?n∈N+]，使得[n≥x2]”的否定形式是（ ）

A. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

B. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

C. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

D. [?x∈R，?n∈N*]，使得[n

分析 命題[p]的否定，又叫[?p]形式，一般只考慮否定其結論，即命題“若[p]，則[q]”的否定是“若[p]，則[?q]”. 值得注意的是，“全稱命題”的否定是“特稱命題”，“特稱命題”的否定是“全稱命題”；同時還要注意命題中“量詞”與“聯(lián)結詞”的改變.

解 由全稱命題與特稱命題之間的關系與構造特點知，正確選項為D.

答案 D

點撥 區(qū)分“命題的否定”與“否命題”的關鍵是理解它們的定義與構成方式. “命題的否定”是只否定結論，不否定條件. 而“否命題”是既否定條件，又否定結論.

例5 已知命題[p]：[x2+4mx-4m+3=0]或[x2+（m-1）x][+m2][=0]或[x2+2mx-2m=0]有實根，求實數(shù)[m]的取值范圍.

分析 如果從正面考慮（命題[p]成立：至少一個方程有實根），分類討論的情況較為復雜；而考慮其反面（即[?p]），則非常簡單.

解 命題[p]的否定[?p]：[x2+4mx-4m+3=0]且[x2+（m-1）x+m2=0]且[x2+2mx-2m=0]都沒有實根，

則[Δ1=16m2-4（-4m+3）<0，Δ2=（m-1）2-4m2<0，Δ3=4m2+8m<0，]即[-32

從而命題[p]成立時，[m≤-32]，或[m≥-1]，

即[m∈（-∞，-32]?[-1，+∞）].

點撥 命題[p]成立較為復雜時，可利用補集思想，考慮[?p]成立的情況而后取補集.

等價命題的應用

例6 已知函數(shù)[f（x）]在[R]上為增函數(shù)，[a，b∈R]，求證：若[f（a）+f（b）

分析 本題已知函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)值間的關系，要證明自變量間的關系，直接證明幾乎不可能，因而可以考慮證明其逆否命題.

證明 原命題的逆否命題是：已知[f（x）]在[R]上為增函數(shù)，[a，b∈R]，若[a+b≥0]，則[f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）].

由條件[a+b≥0]可得，[a≥-b]，[b≥-a].

又因為[f（x）]在[R]上為增函數(shù)，

所以[f（a）≥f（-b）]，[f（b）≥f（-a）].

由不等式的性質(zhì)得，[f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）].

即原命題的逆否命題成立，故原命題成立.

點撥 當直接證明一個命題難以入手時，可以嘗試證明其逆否命題為真，這就是數(shù)學中“正難則反”的思想.

“命題”是邏輯學中最基本的概念，也是學習“充要條件”“推理與證明”及“反證法”等內(nèi)容的基礎. 因此，以題型為載體，以典型范例為參照，是掌握其基礎知識、基本方法與基本應用的不二法寶.