伍強(qiáng)華
二項式定理是高中數(shù)學(xué)中的一個重要的內(nèi)容,是高考中的??贾R點. 近幾年的高考題(尤其是全國卷Ⅰ),對這個知識點的考查有難度加大之勢. 本文對二項式定理中的幾類??嫉念}型展開研究.
求通項
[(a+b)n]展開式中的第[k+1]([k∈N*])項[Cknan-kbk]叫作展開式的通項,用[Tk+1]表示,即[Tk+1=Cknan-kbk]. 二項式展開式的通項很重要,利用它可以解決很多問題.
例1 求[(x+12x4)8]的展開式中的有理項.
分析 寫出這個二項式展開式的通項,當(dāng)通項中[x]的次數(shù)為整數(shù)時,該項即為有理項.
解 ∵[(x+12x4)8=(x12+12x-14)8],
∴[Tk+1=Ck8(x12)8-k(12x-14)k=12kCk8x4-3k4].
由題意知,[4-3k4]([k∈N*])必為整數(shù),故[k=0],或[k=4],或[k=8].
當(dāng)[k=0]時,[T1=x4];當(dāng)[k=4]時,[T5=358x];當(dāng)[k=8]時,[T9=1256x2].
所以展開式中的有理項為[x4,358x,1256x2].
點撥 當(dāng)二項式中含有根式時,要先將根式化為指數(shù)式,然后求解.
求展開式中某項的系數(shù)或二項式系數(shù)
例2 設(shè)[m]為正整數(shù),[(x+y)2m]展開式的二項式系數(shù)的最大值為[a],[(x+y)2m+1]展開式的二項式系數(shù)的最大值為[b],若[13a=7b],則[m=]( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
分析 [(a+b)n]的展開式中各項的系數(shù)[Ckn][(k∈N*)]叫二項式系數(shù). 當(dāng)[n]為偶數(shù)時,展開式的項數(shù)為奇數(shù)項,中間一項的二項式系數(shù)最大. 當(dāng)[n]為奇數(shù)時,展開式的項數(shù)為偶數(shù)項,中間兩項的二項式系數(shù)最大.
解 ∵[(x+y)2m]的展開式共有[2m+1]項,
∴第[m+1]項的二項式系數(shù)最大,[∴a=Cm2m].
又[(x+y)2m+1]的二項展開式共有[2m+2]項,∴第[m+1]項或[m+2]項的二項式系數(shù)最大,[∴b=Cm+12m+1].
由[13a=7b]得,[13Cm2m=7Cm+12m+1],解得[m=6].
答案 A
點撥 本題中二項式系數(shù)的最大值和解含有組合數(shù)的方程是難點. 解題過程中要注意“某項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別.
例3 已知[(x+ax)(2x-1x)5]的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項為( )
A. 40 B. -20 C. 20 D. 40
分析 將[(x+ax)(2x-1x)5]展開,其展開式的形式為[a0xm0+a1xm1+a2xm2+…+anxmn]. 利用賦值法,令[x=1],則展開式中各項系數(shù)和為[a0+a1+a2+…an][=(1+a)(2-1)5],由此求出[a],則問題可解.
解 由題意知,令[x=1],則其展開式中各項系數(shù)和為[(1+a)(2-1)5=2],∴[a=1].
∴[(x+ax)(2x-1x)5=(x+1x)(2x-1x)5].
對于[(2x-1x)5],其展開式的通項為[Tk+1=][Ck5(2x)5-k(-1x)k][=Ck525-k(-1)kx5-2k]. 故展開式中含[x]的一次項和含[x]的-1次項分別為[80x,-40x-1],將它們分別與[(x+1x)]中的[1x,x]相乘得,[80x?x-1+(-40x-1)?x=40],故所求展開式中的常數(shù)項為40.
點撥 求某個式子的展開式中各項系數(shù)的和通常使用賦值法,即賦予字母(或式子)特定的值,則可求出各項系數(shù)之和.
求三項展開式中的特定項
有關(guān)三項式展開式的問題,可以通過轉(zhuǎn)化,用二項式定理的知識或組合的知識來解決.
例4 求[(x2-4x+4)5]的展開式中[x2]的系數(shù).
分析 利用式子[x2-4x+4]的特殊性,將其轉(zhuǎn)化為二項式問題解決.
解 [∵(x2-4x+4)5=(x-2)10],其展開式的通項為[Tk+1=Ck10x10-k(-2)k],
[∴]其展開式中含[x2]的項為第9項.
又[∵T9=C810x10-8(-2)8=11520x2],
[∴x2]的系數(shù)為11520.
點撥 將三項式轉(zhuǎn)化為二項式是解答本題的關(guān)鍵. 將陌生的情境轉(zhuǎn)化為熟悉的情境、陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題、陌生的知識轉(zhuǎn)化為熟悉的知識,既是化歸轉(zhuǎn)化思想的“主旨”,又是問題解決的“通法”,要加深理解,熟練掌握,靈活運用.
例5 求[(x2+3x+2)5]展開式中的[x]的系數(shù).
分析 此例中的式子[x2+3x+2]具有一般性,可轉(zhuǎn)化為二項式問題求解,也可以回歸教材,利用排列組合知識求解.
解 方法一:由[(x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5]
[=C05(x2)5+C15(x2)4(3x+2)+…+C55(3x+2)5],
…(略)
方法二:[(x2+3x+2)5]表示5個[(x2+3x+2)]相乘,從5個[(x2+3x+2)]中各取一項相乘,即可得展開式中的一項. 欲得到一次項,則應(yīng)從5個式子[(x2+3x+2)]中的一個里取[3x],另外4個中取2相乘得到含[x]的項,即[C15(3x)?24],化簡得240[x]. 所以展開式中[x]的系數(shù)為240.
點撥 將[(x2+3x+2)5]轉(zhuǎn)化為二項式問題求解有三種途徑:一是轉(zhuǎn)化為[[x2+(3x+2)]5],二是轉(zhuǎn)化為[[(x2+2)+3x]5],三是轉(zhuǎn)化為[[(x2+3x)+2]5]. 如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化,應(yīng)視題意而定. 比較上述兩種解法,顯然用計數(shù)原理來解答較為簡單.
求兩個二項式的積的展開式中的某一項
例6 在[(1-x)3(1+x)8]的展開式中,[x2]的系數(shù)是[n].若[(8-nx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn],則[a0+a1+a2+…][+an=] .
解析 請閱讀以下的解題過程并填空,完成這道題的解答過程.
[(1-x)3]的展開式中的常數(shù)項[1]與[(1+x)8]的展開式中的二次項[28x2]相乘得[28x2].
[(1-x)3]的展開式中的一次項[-3x]與[(1+x)8]的展開式中的一次項[8x]相乘得[-24x2].
[(1-x)3]的展開式中的二次項[3x2]與[(1+x)8]的展開式中的常數(shù)項1相乘得[3x2].
[∴x2]的系數(shù)為7,[n]=7. 然后用賦值法求得[a0+a1+a2+…+an=]1.
答案 [1]
點撥 這種類型的問題常出現(xiàn)在課后習(xí)題中,是高考命題的“源頭之水”,要特別重視. 例5也可以將[(x2+3x+2)5]變形為[(x+1)5(x+2)5],再用上述方法求解.
用二項式定理求解整除問題
例7 設(shè)[a∈Z],且[0≤a<13],若[512016+a]能被13整除,則[a=] .
分析 把[51]看作[52-1],然后利用二項式定理將[512016]展開,再觀察展開式求解.
解 [512016+a=(52-1)2016+a]
[=C02016522016-C12016522015+…-C2015201652+C20162016+a],
上式中除[C20162016+a]外,其余每項均能被13整除.
若[512016+a]能被13整除,則[1+a]也能被13整除,所以[a=12].
點撥 用二項式定理求解整除問題往往技巧性較強(qiáng),如何轉(zhuǎn)化,應(yīng)視問題的情形而定. 通常是先展開,再考慮展開式中各項的整除性問題,主要是最后一項(或幾項)的整除問題. 此類問題有較為固定的轉(zhuǎn)化法則,應(yīng)多加練習(xí),熟練掌握.