尹健

摘 要：本文將對(duì)彈性勢(shì)能的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)，以及對(duì)在不同零點(diǎn)位置的勢(shì)能問題做出解釋，并展開一系列有關(guān)彈性勢(shì)能的分析討論。

關(guān)鍵詞：彈性勢(shì)能；勢(shì)能表達(dá)式；零點(diǎn)問題；勢(shì)能相對(duì)性

一、彈性勢(shì)能表達(dá)式的推導(dǎo)

（一）坐標(biāo)原點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)且可在任意位置

如圖1所示，選取勢(shì)能零點(diǎn)為A點(diǎn)，則可以求出B點(diǎn)的彈性勢(shì)能為Epx=1/2K（X-X0）2；O點(diǎn)的彈性勢(shì)能為Epo=KX02/2；由B點(diǎn)和O點(diǎn)的彈性勢(shì)能表達(dá)式可以得出O、B兩點(diǎn)的勢(shì)能差為ΔEp=K（X-X0）2/2-KX02/2=KX2/2-KXX0。若又以O(shè)點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，根據(jù)彈性勢(shì)能具有的相對(duì)性可以得到：Ep=KX2/2-KXX0；該式可作為彈性勢(shì)能的一般表達(dá)式，即表示O為勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)，任意一點(diǎn)X的彈性勢(shì)能。其中當(dāng)X0=0時(shí)，Ep=KX2/2。

如圖2所示，為該情形下的勢(shì)能曲線圖。勢(shì)能曲線所反映的內(nèi)容有：當(dāng)X=0或X=2X時(shí)，存在兩個(gè)勢(shì)能零點(diǎn)，當(dāng)00或X<2X時(shí)，Ep>0。

（二）坐標(biāo)原點(diǎn)在自然端點(diǎn)，勢(shì)能零點(diǎn)為任意點(diǎn)

如圖3所示，我們將彈簧振子的自然端定為坐標(biāo)原點(diǎn)，零勢(shì)能點(diǎn)為A點(diǎn)，要求X點(diǎn)的彈性勢(shì)能。當(dāng)O點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)，可以求得X點(diǎn)處的彈性勢(shì)能為Epx=KX2/2；A點(diǎn)的彈性勢(shì)能同樣可求得為Epa=KX02/2；于是可得，A、X兩點(diǎn)之間的勢(shì)能差為ΔEp=KX2/2-KX02/2；當(dāng)X0點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)，由于勢(shì)能具有相對(duì)性，則可以求得任意點(diǎn)X處的彈性勢(shì)能為：Ep=KX2/2-KX02/2；在該式中，當(dāng)XO=0時(shí)，Epa=KX2/2。

如圖4所示，為該種情況下的勢(shì)能曲線圖。該勢(shì)能曲線圖反映的內(nèi)容有：當(dāng)X=-X0或X=X0時(shí)，Ep=0；當(dāng)-X0X0時(shí)，Ep>0。

綜上所述：當(dāng)自然端作為勢(shì)能零點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的彈性勢(shì)能的表達(dá)式為：Ep=KX2/2；當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，但不為自然端時(shí)的彈性勢(shì)能的表達(dá)式為：Ep=KX2/2-KXX0；當(dāng)自然端為坐標(biāo)原點(diǎn)，但勢(shì)能零點(diǎn)為任意點(diǎn)時(shí)的彈性勢(shì)能的表達(dá)式為：Ep=KX2/2-KX02/2；當(dāng)零勢(shì)能點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)其中一個(gè)不在自然端時(shí)，存在雙勢(shì)能零點(diǎn)，其值可正可負(fù)。

二、雙勢(shì)能零點(diǎn)問題的解釋

由上文對(duì)彈性勢(shì)能表達(dá)式的推導(dǎo)過程及結(jié)果可以得出結(jié)論：在彈性勢(shì)能的計(jì)算過程中，零勢(shì)能點(diǎn)的選擇決定了彈性勢(shì)能的表達(dá)式。我們以彈簧為例，首先，選擇彈簧自由長(zhǎng)度即不伸長(zhǎng)也不縮短的位置作為彈性勢(shì)能的零值點(diǎn)，通過推導(dǎo)計(jì)算可得這時(shí)的彈性勢(shì)能表達(dá)式為：Ep0=KX2/2；其次，再選擇彈簧伸長(zhǎng)量為x的A點(diǎn)處為彈性勢(shì)能零值點(diǎn)，其中x為一常量，通過推導(dǎo)計(jì)算同樣可得彈性勢(shì)能表達(dá)式為：EpA=KX2/2-KX02/2；比較以上得出的兩個(gè)表達(dá)式可知，彈性勢(shì)能零值在彈簧原長(zhǎng)處時(shí)與彈性勢(shì)能零值在伸長(zhǎng)量x處時(shí)相差KX02/2。因此，彈性勢(shì)能零值不在彈簧原長(zhǎng)時(shí)的表達(dá)式并不能直接等于Ep=（X-X0）2/2。

在零勢(shì)能點(diǎn)的選取問題中，通常認(rèn)為彈性勢(shì)能具有相對(duì)性。彈性勢(shì)能為標(biāo)量，由于相對(duì)性的存在，也存在勢(shì)能的正負(fù)之分，其含義為：彈性勢(shì)能為正時(shí)系統(tǒng)在該狀態(tài)的彈性勢(shì)能大于零勢(shì)能點(diǎn)的勢(shì)能；與之相反，彈性勢(shì)能為負(fù)時(shí)系統(tǒng)在該狀態(tài)的彈性勢(shì)能小于零勢(shì)能點(diǎn)的勢(shì)能。由于系統(tǒng)的彈性勢(shì)能產(chǎn)生與否由彈力的作用決定，在通常情況下，我們選擇彈力作用的臨界點(diǎn)即無(wú)形變狀態(tài)為零勢(shì)能點(diǎn)，因此，無(wú)論是伸長(zhǎng)還是壓縮，彈力總是做負(fù)功，系統(tǒng)的彈性勢(shì)能也總是為正，在后期解題過程中是需要注意的。

參考文獻(xiàn)：

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