鮑天淵

摘要：本文以水中有限長(zhǎng)加肋圓柱殼為研究對(duì)象，利用模態(tài)疊加法導(dǎo)出了在點(diǎn)激勵(lì)作用下殼體的傳播功率流表達(dá)式，通過數(shù)值算例探索了振動(dòng)功率流在殼體中的傳播途徑和規(guī)律。

關(guān)鍵詞：圓柱殼；功率流；Flügge理論

中圖分類號(hào)：TB532 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1 引 言

水下彈性圓柱殼結(jié)構(gòu)與流體介質(zhì)的耦合振動(dòng)及其噪聲預(yù)報(bào)是一個(gè)復(fù)雜的綜合問題，涉及到彈性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)力學(xué)、聲學(xué)以及結(jié)構(gòu)與流體介質(zhì)的耦合振動(dòng)分析等多方面的理論。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與聲輻射進(jìn)行過大量的研究：Harari等[1] Harari A， Sandman B E. Radiation and vibrational properties of submerged stiffened cylindrical shells[J]. J. Acoust. Soc. Am.， 1990，88（4）：1817-1830.]]研究了具有任意邊界條件的水下有限長(zhǎng)加肋圓柱殼體的振動(dòng)與聲輻射；湯渭霖等[2] 湯渭霖，何兵蓉. 水中有限長(zhǎng)加肋圓柱殼體振動(dòng)與聲輻射近似解析解[J]. 聲學(xué)學(xué)報(bào). 2001，26（1）：1-5.]]得到了有限長(zhǎng)加肋圓柱殼的振動(dòng)與聲輻射的近似解析解，并研究了肋骨對(duì)聲輻射的影響。

自Goyder H G D和White R G[3-5]于1980年創(chuàng)建功率流理論以來，功率流方法作為一種能同時(shí)表征振動(dòng)水平和振動(dòng)傳遞的方法，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于聲振特性分析中。本文基于Flügge殼體理論，通過數(shù)值計(jì)算得到了振動(dòng)功率流在殼體中的傳播途徑和規(guī)律。

2 水下有限長(zhǎng)加肋圓柱殼的解析解

如下圖所示的浸入在水中長(zhǎng)為L(zhǎng)的彈性加肋圓柱薄殼，流體介質(zhì)為理想流體，半徑為R，殼體厚度為h，h/R<<1，材料密度ρp，楊氏模量E，損耗因子η，泊松比μ，周圍流體介質(zhì)密度ρ0，聲速c0，肋骨高度為hr，厚度為dr，間距為d，第j根肋骨位置為xj，共T根肋骨，假設(shè)激勵(lì)力為隨時(shí)間簡(jiǎn)諧變化的集中點(diǎn)力，作用于殼體上，方向沿半徑指向外部，薄殼振動(dòng)可以用中面在x、θ、r方向的位移u、v、w來表示，兩端邊界條件為簡(jiǎn)支，即：

殼體振動(dòng)采用Flügge方程[6]來描述：

（1）

其中[L]為Flügge微分算子（略），在這里，我們同時(shí)略去了方程兩端力與位移中的時(shí)間項(xiàng)e-iωt。其中Fr的表示外部激勵(lì)力，p表示流體介質(zhì)對(duì)殼體的作用力，g表示肋骨對(duì)殼體的作用力，其具體表達(dá)式分別由文獻(xiàn)[7][8]給出：

其中：

K為積分變量， 。

和 分別為第一類漢克爾函數(shù)和第一類漢克爾函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

T表示肋骨個(gè)數(shù)，Zrn為肋骨的n階模態(tài)機(jī)械阻抗，ρr為肋骨材料的密度，Ar為肋骨截面積，hr為肋骨的高度。

上述振動(dòng)方程的解取駐波形式，設(shè)解的形式為：

根據(jù)簡(jiǎn)支邊界條件有：

將形式解代入Flügge方程即可得到殼體的振動(dòng)位移響應(yīng)。

3圓柱殼體中的輸入與傳播振動(dòng)功率流

3.1圓柱殼體的傳播功率流

根據(jù)文獻(xiàn)[6]中給出的殼體微元應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，得到其任意位置的軸向應(yīng)力與力矩Nx、Nθx、Mx、Mθx，周向應(yīng)力和力矩Nθ、Nxθ、Mθ、Mxθ，以及徑向力Qx、Qθ，作靜力等效得到其在任意位置處的有效軸向力Nex、有效周向剪力Tex、有效徑向力Sex、有效軸向彎矩Mex分別為：

有效軸向剪力Teθ、有效周向力Neθ、有效徑向力Seθ、有效軸向彎矩Meθ分別為：

根據(jù)振動(dòng)功率流的定義，進(jìn)而得到對(duì)于圓柱殼中的任意一點(diǎn)，其軸向傳播的功率流為：

周向傳播的功率流為：

取圓柱殼體曲面上若干個(gè)點(diǎn)，只考慮功率流的大小忽略其傳播方向，即可得到功率流在圓柱殼體上的云圖，進(jìn)而更加直觀的看出不同位置處功率流大小的分布情況。

4數(shù)值計(jì)算

4.1模型參數(shù)

圓柱殼的基本參數(shù)：長(zhǎng)度L=1.2m，半徑R=0.4m，厚度h=0.003m，圓柱殼材料密度ρp=7800kg/m3，楊氏模量E=2.1×1011N/m2，損耗因子η=0.01，泊松比μ=0.3。水的密度ρ0=1000kg/m3，水中聲速c0=1500m/s。假設(shè)激勵(lì)力為點(diǎn)激勵(lì)，方向沿半徑指向外部，作用于殼體中間的內(nèi)表面處。肋骨個(gè)數(shù)為9個(gè)，軸向均勻分布，肋骨間距d=0.12m，肋骨截面為矩形，其寬度dr=0.012m，高度hr=0.05m，肋骨材料與殼體材料相同。

4.2功率流傳播云圖

利用式（12）與（13），分別可以求得殼體的軸向和周向功率流傳播分量，進(jìn)而可以得到其功率流云圖，選取頻率為100Hz，如下圖所示：

其中顏色較深的區(qū)域表示該處功率流傳遞強(qiáng)度更大，能量交換速度更快，且由于激勵(lì)力的兩側(cè)采用的符號(hào)不同導(dǎo)致對(duì)稱的位置顏色不同。由上圖可見，該頻率下，在激勵(lì)點(diǎn)附近的傳播強(qiáng)度相對(duì)較大，在遠(yuǎn)離激勵(lì)點(diǎn)的位置傳播的功率流相對(duì)較小，且變化不大，功率流最大值均位于激勵(lì)點(diǎn)附近的區(qū)域，且功率流沿軸向的衰減更慢，由于肋骨的存在，能量難以向兩端傳遞。而相對(duì)來講，沿周向傳播的功率流衰減更快，即周向傳播的功率流由于結(jié)構(gòu)周向封閉更容易產(chǎn)生疊加相消的現(xiàn)象。

類似的，為了更進(jìn)一步更加直觀的研究不同頻率下的功率流傳播規(guī)律，選取500Hz與1500Hz兩個(gè)頻率點(diǎn)分別得到其各自的功率流云圖如下：

由上圖可以看出，頻率越高，能量傳遞更加不規(guī)則，這是由于隨著頻率的提高，激發(fā)出更多的高頻模態(tài)，波長(zhǎng)更短。此外，激勵(lì)點(diǎn)附近同樣具有較為明顯的特征。

5結(jié) 論

本文基于Flügge理論，考慮了流固耦合作用得到了水下加肋圓柱殼的傳播功率流解析表達(dá)式，通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)殼體中的功率流最大值位于激勵(lì)點(diǎn)附近，而隨著頻率的提高，功率流在殼體中的傳遞途徑更加復(fù)雜和不規(guī)則。這些結(jié)論對(duì)于振源識(shí)別，圓柱殼體中的能量傳遞途徑和規(guī)律，以及進(jìn)行功率流試驗(yàn)測(cè)量時(shí)測(cè)點(diǎn)的布置都具有一定的指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] Harari A， Sandman B E. Radiation and vibrational properties of submerged stiffened cylindrical shells[J]. J. Acoust. Soc. Am.， 1990，88（4）：1817-1830.

[2] 湯渭霖，何兵蓉. 水中有限長(zhǎng)加肋圓柱殼體振動(dòng)與聲輻射近似解析解[J]. 聲學(xué)學(xué)報(bào). 2001，26（1）：1-5.

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[6] Wilhelm Flügge. Stresses in shells[M].Berlin：Springer-Verlag，1960.

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