韓 偉， 祝倩倩， 呂淑佳

(中北大學 理學院， 山西 太原 030051)

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半線性波動方程在三維空間中解的破裂和生命跨度的上界估計

韓 偉， 祝倩倩， 呂淑佳

(中北大學 理學院， 山西 太原 030051)

運用試探函數(shù)法研究了三維空間中半線性波動方程在外區(qū)域上的初邊值問題， 得到結論： 不論初值多么小， 解總會在有限時間內破裂， 得到了解的生命跨度的上界估計， 并且找到了試探函數(shù)Φ0(x)的顯式表達式.

半線性波動方程； 初邊值問題； 破裂； 生命跨度

0 引 言

為了研究三維波動方程在外區(qū)域上的初邊值問題， 首先對下列常系數(shù)的半線性波動方程的初值問題進行分析

一般地， 當n=1時， p1(1)=+∞； 而當n≥2時， 令p1(n)是如下二次方程

(n-1)p2-(n+1)p-2=0

本文研究如下三維空間中半線性波動方程的初邊值問題

(2)

f(x)≥ 0,g(x)≥ 0,a.e.,f(x)=g(x)=0,

|x|>2, 且f(x)?0.

本文的主要結論如下：

T(ε)≤Aε-2.

1 幾個引理

為了陳述和證明本文的主要結果， 需要如下幾個引理.

引理 1[5,10]若a≥1， 且a>q-2， 對于F∈C2([0,T))， 滿足

1) F(t)≥δ(t+2)a.

F(t)在有限時間內破裂， T<∞， 進一步得出F(t) 的生命跨度

其中, c,δ,k均為正常數(shù)， 而c僅與k有關， 與δ無關.

證明 破裂結果的證明部分可參見文獻[9]. 這里， 為了讀者研讀方便， 給出求解F(t)的生命跨度估計的方法如下：

因此當δ≤1時， 計算得出

所以H(τ)將在有限時間內破裂， F(t)的生命跨度滿足式(5). 證畢.

其中，C為正常數(shù).

2 主要結果及其證明

定理1是引理1中關于非線性微分不等式的下界以及破裂結果的一個直接結果. 為此， 引出下列函數(shù)

(10)

這里φ0(x)和φ1(x)均在引理2和3中給出. 關于u的假定說明對于所有的t,F0(t)和F1(x)是良定義的C2函數(shù). 結合關于F0(t)的非線性微分不等式和關于F1(x)的線性微分不等式， 得出當t→∞時，F(xiàn)0(t)的下界估計.

supp(u,ut)?{(x,t)∶|x|≤t+2}∩

則對于所有t≥0時， 有

由表達式ψ1(x,t)=φ1(x)e-t和引理3， 有

關于ψ1(x,t)對t的求導， 得(ψ1)t=-ψ1， (ψ1)tt=ψ1， 因此

結合式(11)， 得

注意到

由于ψ1>0， 因此

將式(12)兩端同乘e2t， 得

φ1(x)dx,

對其在[0,t]上積分， 有

e2tF1(t)-F1(0)≥

φ1(x)·

這樣就得出F1(t)的下界估計.

[φ0·Δu-φ0utt+u2φ0]dx=0.

因為

φ0·udx=0,

所以， 可以得出

φ0(x)dx.

利用H?lder不等式對式(13)進行估計， 有

亦即

顯而易見

進而推出

|F0(t)|2, k>0.

同理

根據式(10)， 變形如下

φ0(x)dx≥

根據引理3對分母判定為

C為正常數(shù).

所以

對式(15)積分兩次后得到

).

因而， 當t充分大時， 成立

結合式(14)和式(16)以及引理1得出

a≡2,q≡3.

這樣， 方程(2)解的生命跨度的上界估計如下

其中， A為正常數(shù). 證畢.

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Blow-Up of Solutions and Estimate the Upper Bound of Life Span for Semilinear Wave Equation in Three-Dimensional Space

HAN Wei, ZHU Qian-qian, Lü Shu-jia

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

The initial boundary value problem for semilinear wave equation on exterior domain in 3-D was studied by using test function method. The results show that blow up of solutions and the upper bound of life span estimate are established, no matter how small the data are. And the explicit expression the test functionΦ0(x) is founded.

semilinear wave equation; initial boundary value problem; blow up; life span

1673-3193(2016)06-0557-04

2015-09-05

國家自然科學基金資助項目(11301489)

韓 偉(1981-)， 男， 副教授， 博士， 主要從事非線性微分方程的研究.

O175.29

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2016.06.001