周義清， 張善元

(1. 北京工業(yè)大學(xué) 機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院, 北京 100022； 2. 中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051；3. 太原理工大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)與生物醫(yī)學(xué)工程研究所, 山西 太原 030024)

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C.R.Johnston直接法求解受彈性地基約束充液粘彈性管中的非線性波

周義清1, 2， 張善元3

(1. 北京工業(yè)大學(xué) 機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院, 北京 100022； 2. 中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051；3. 太原理工大學(xué) 應(yīng)用力學(xué)與生物醫(yī)學(xué)工程研究所, 山西 太原 030024)

研究了管壁受彈性地基力的充液粘彈性壓力管道中的非線性波. 假設(shè)管壁是粘彈性的， 地基反力采用Winkler線性地基模型， 管中流體為不可壓縮理想流體. 假定系統(tǒng)初始處于內(nèi)壓為po的靜力平衡狀態(tài)， 此后的擾動是疊加在靜力平衡狀態(tài)上的. 由管壁法向平衡方程和流體質(zhì)量守恒、 動量定理建立了流固耦合的非線性運動方程組， 進而用“C.R.Johnston直接法”求解得到了系統(tǒng)的孤立波解. 結(jié)果表明， “C.R.Johnston直接法”是一種求解非線性波的簡潔、 高精度的方法.

C.R.Johnston直接法； 彈性地基； 充液粘彈性管； 非線性波； 孤立波

彈性管內(nèi)的流體波動是眾多學(xué)者研究的熱點[1-3]. 輸油軟管內(nèi)流體的流動、 人體動脈的血液流動等問題， 都涉及彈性管內(nèi)的流體波動， 研究其傳播特性具有重要的意義. 鑒于固液耦合問題有著重要的實際應(yīng)用價值， 眾多學(xué)者采用不同的方法研究了充液彈性管中非線性波的傳播特性， 所用的方法主要有： 特征值法、 逆散射法、 傅里葉漸近法， 以及隨之產(chǎn)生的各種近似方法. 在這些方法之中， 攝動法是應(yīng)用最為廣泛的一種方法. 隨著問題的深入研究， 人們發(fā)現(xiàn)這種方法會帶來較大的誤差， Malfliet和Wieers明確指出了利用任何攝動法都有內(nèi)在的局限性[4].

而“C.R.Johnston直接法”[5]能避免攝動法所存在的缺點.該方法直接求解原始支配方程，不依賴于擾動過程.對一個給定的波速，孤波的準(zhǔn)確波幅解僅要求解一個代數(shù)方程的根.對任意給定的數(shù)值，都可畫出相應(yīng)的波形.本文將利用“C.R.Johnston直接法”研究埋置于彈性地基內(nèi)充液壓力管道中的非線性波， 此項研究可以模擬地下輸運管線或包裹在肌肉內(nèi)的血管中的血液流動， 對管道損傷檢測和血管病變檢測有潛在的應(yīng)用價值.

1 “C.R.Johnston直接法”的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

“C.R.Johnston直接法”由C.R.Johnston提出， 與傳統(tǒng)的漸近法(近似法)相比， 是一種簡便、 高精度的解法.

“C.R.Johnston直接法”的優(yōu)勢在于： 對任意給定的波速， 孤波準(zhǔn)確的波幅值僅要求解一個代數(shù)方程的根； 對任意給定的波速， 都可畫出相應(yīng)的波形， 這種方法能被應(yīng)用于長波近似之外的求解范圍.

通常定義孤立波的概念為： 含有兩個獨立變量x和t的關(guān)于w的偏微分方程， 其孤立波解的形式為

其隱含條件為： (1)c是常量(波速)； (2)f是有界的； (3) 當(dāng)ξ→∞時，f的極限存在.

現(xiàn)在用更為嚴(yán)格的條件代替上述條件(3)， 即： (3′)f單邊指數(shù)級收斂.

最后一條限制條件使得函數(shù)f在ε的小區(qū)間之外不振蕩， 接近于常數(shù)(通常這個常數(shù)為0).

從式(1)和(2)可以得到

“'”表示對ξ求導(dǎo). 將式(3)和(4)代入原始偏微分方程， 得到關(guān)于f的常微分方程. 假設(shè)原始方程是一個擬線性二階偏微分方程， 其系數(shù)不顯含x和t， 則可化為如下常微分方程形式

其中函數(shù)Fc的形式取決于原始偏微分方程和系數(shù)c. 這里將特別關(guān)注兩種特例， 這兩種特例對應(yīng)于式(5)右邊的兩種特殊表達(dá)形式.

例 1：

f″=Fc(f).

為了尋求如圖 1 所示形式的孤立波解， Fc必須滿足以下條件：

(Ⅰ) 存在兩個根， 分別在f=0(無窮處)和f=f1(拐點處， 正的有限值)處， 即f=0時， f″=0； f=f1時， f″=0；

(Ⅱ) 在[0,f1]區(qū)間， f″>0； 在[f1,fmax]區(qū)間， f″<0；

圖 1 孤立波的一般形式Fig.1 General form of solition

圖2所示為Fc(f)的一般形式， 值得一提的是，F(xiàn)c(f)準(zhǔn)確的形狀取決于參數(shù)c， 以至于滿足條件(Ⅲ)的fmax值也取決于參數(shù)c. [0,fmax]之外的Fc(f)的性質(zhì)不是本文關(guān)注的.

圖 2 Fc的一般形式Fig.2 General form of Fc

得到fmax的另外一種方法是計算由式(5)積分得到的一階常微分方程

式中：C是式(5)的一階積分常數(shù).

分析表明： 式(7)的右邊必須有一個雙根在f=0 處(隱含C=0和Fc(0)=0)和一個單根在f=fmax處， 并且在(0,fmax)區(qū)間是正的. 然而， 需要注意， 盡管式(6)的每一個解都滿足式(7)， 但反過來并非如此. 例如： 對式(7)微分有

f′f″=Fc(f)f′.

為得到式(6)， 式(8)兩邊同除f′， 此時f′≠0. 說明式(7)的解包含f=const， 而這個解是(6)沒有的. 因而， 數(shù)值積分時最好直接分析式(6).

當(dāng)積分式(6)進行數(shù)值求解時， 如果初始條件滿足f′(0)=0和0fmax， 解的性質(zhì)將發(fā)生突變或可能變得無界. 因而， 對于給定的c， 對應(yīng)的孤立波能被識別， 相應(yīng)于初值f(0)的解被準(zhǔn)確定位在這兩種模式之間. 因而在式(6)的相圖中， 孤波對應(yīng)于開、 閉軌道的分界線.

例 2： 考慮另外一種特殊形式

Gc和Hc是光滑函數(shù)， 顯然這種形式也可化成特例1中的表達(dá)形式.

定義

可得

1) 表達(dá)式

d是方程(9)一次積分所得常數(shù).

2) 式(9)的每一個非常數(shù)解也是式(13)的解， 式(13)的所有解中， 相應(yīng)于式(7)中C=D/2時的解， 也是式(9)的一個解.

證明 ① 部分可通過微分式(12)并利用式(10) 和(11)得到； ② 部分可以通過將式(12)代入式(9)得到.

為了得到圖顯示的解的形式， 條件是在無窮遠(yuǎn)處D=0，Gc(0)=0.

2 支配方程

2.1 管壁法向運動方程[6-7]

設(shè)管初始構(gòu)形半徑和厚度分別為R0和H0， 當(dāng)內(nèi)壓為p0時， 管半徑和厚度分別變?yōu)閞0和h0， 此時法向撓度為w0， 以此為參考構(gòu)形， 此后現(xiàn)時構(gòu)形管半徑和厚度分別為R和H.

圖 3 現(xiàn)時構(gòu)形中管壁受力分析示意圖Fig.3 The force analysis in current configuration

參照圖 3， 現(xiàn)時構(gòu)形中， 由法向動力平衡可得

Hσθ-(r0+w)p+k(r0+w)(w+w0)+

式中：σθ為環(huán)向應(yīng)力；w是以參考構(gòu)形為基準(zhǔn)的法向撓度；p為管內(nèi)流體壓力；ρw是管壁的密度.

設(shè)管壁為粘彈性材料， 其本構(gòu)關(guān)系由Kelvin-Vogit模型描述， 即

其中，

管壁不可壓縮

R0H0=Rh=r0h0.

將式(15)～式(17)代入式(14)可得

2.2 管內(nèi)流體的連續(xù)性方程

考慮理想流體的一維流動， 由管中流體的質(zhì)量守恒方程， 得

式中：ρf為流體密度；A為管內(nèi)橫截面積；V為流體軸向流動速度；x和t分別為軸向坐標(biāo)和時間坐標(biāo). 若流體是不可壓縮的，ρf=cont， 式(19)變?yōu)?/p>

瞬時構(gòu)形時A=π(r0+w)2， 代入式(20)， 可得

2.3 流體的動量守恒方程

考慮沿軸向x的流體動量守恒， 對于理想流體， 有

3 “C.R.Johnston直接法”求解系統(tǒng)孤立波解

方程(18)， (21)和(22)是管壁為粘彈性材料的充液壓力管道中非線性波的動力學(xué)方程組.

上述3個支配方程是關(guān)于變量p,V和w的方程組. 流體的對流項引起非線性， 本構(gòu)關(guān)系使得管壁運動方程也是非線性的.

設(shè)p=p(ξ)，V=V(ξ)，w=w(ξ)， 其中ξ=x-ct， 則

其中“′”代表對ξ求導(dǎo).

把上述解的形式代入式(23)～式(25)得

積分式(27)可得

式中： lnB為積分常數(shù).

進一步簡化為

(r0+w)2(c-V)=B.

代入積分常數(shù)， 式(30)變?yōu)?/p>

同理積分式(26)可得

將式(31)代入式(32)有

將式(33)代入式(28)， 整理可得

將式(34)簡寫為

其中

式(35)滿足 “C.R.Johnston直接法”中式(5)的形式. 下面驗證式(35)滿足條件(Ⅰ)、 (Ⅱ)和(Ⅲ)， 并求解式(35)在給定參數(shù)下的孤立波解.

將式(35)關(guān)于ξ積分， 可得

可解得

w′=

將式(37)代入(35)可得到w″關(guān)于w的表達(dá)式. 由條件(Ⅰ)， 式(35)應(yīng)有w=0和w1>0兩根.

給定參數(shù)： k=100, r0=0.1, R0=0.08, H0=0.004, ρw=5 000, ρf=100, K=800, c=2, p0=20, w0=0.001 42, η=0.1.

通過Matlab求解w″=0的根. 圖4為給定參數(shù)式(35)右邊的數(shù)值算例.

圖 4 方程(35)右邊數(shù)值算例Fig.4 RHS of Eq.(35) in numerical example

由圖 4 可得w=0， w1=2.166 4.

顯然， 由圖 5 可知， 在區(qū)間[0,w1]之間， w″>0， 在區(qū)間[w1,wmax]之間， w″<0. 滿足“C.R.Johnston直接法”條件(Ⅱ).

式(34)所對應(yīng)不同初值w(0)=3.289 2， w(0)=3.292 6 的解， 如圖6(b)所示.

圖 5 方程(36)右邊數(shù)值算例Fig.5 RHS of Eq.(36) in numerical example

由圖 6(b) 可知， 當(dāng)初值w(0)=3.289 2時， 解是周期的， 當(dāng)初值w(0)=3.292 6時， 解是非周期的， 雖然初值僅改變約百分之一， 但解的性質(zhì)卻發(fā)生了突變.

圖 6 方程(35)不同初值的解Fig.6 Solution of Eq.(35) for different initial values

當(dāng)初值w(0)=3.289 2時的解顯然是方程(34)在給定參數(shù)下的孤波解. 孤波的形狀可由圖6中周期解所示的任一周期精確表示.

4 結(jié) 論

本文討論了受彈性地基充液粘彈性管中的非線性波問題， 利用“C.R.Johnston直接法”， 在給定參數(shù)的情況下， 用簡潔的數(shù)學(xué)運算給出了系統(tǒng)的孤立波解. 分析過程表明“C.R.Johnston直接法”無中間變化， 直接求解原始方程就可得到高精度解， 而且求解過程也很簡單， 該方法不受波幅大小的限制， 都能得到原始方程的精確解. 而且這種方法也能應(yīng)用于其它物理模型的求解.

之前作者曾討論過“用C.R.Johnston直接法研究充液彈性管中的非線性波”， 繼之前的研究， 本文進一步假設(shè)管壁是粘彈性材料， 這個假設(shè)將更進一步貼近現(xiàn)實中血液管道模型， 為模擬包裹在肌肉內(nèi)的血管中的血液流動奠定了一定基礎(chǔ). 由于孤立波有許多重要特性， 因此得到的結(jié)果在生物醫(yī)學(xué)工程或其它工業(yè)部門的相關(guān)問題研究中有一定參考價值， 深入研究其在各種條件下的傳播特征具有十分重要的應(yīng)用價值.

[1]Hashizume Y. Nonlinear pressure wave in a fluid-filled elastic tube[J]. J Phys Soc Japan,1985, 54(9): 3305-3312.

[2]Fung Y C. Biomechanics: circulation[M]. 2nd edition. New York: Springer, 1997.

[3]Lighthill J. Waves in fluids[M]. London: Combridge University Press, 1978.

[4]Malfliet W, Wie?rs E. The theory of nonlinear ion-acoustic waves revisited[J]. Journal of Plasma Physics, 1996, 56(3): 441-450.

[5]Johnston C R. Solitary wave in fluid-filled elastic tubes[D]. Calgary: University of Calgary, 2001.

[6]Zhang Shanyuan, Zhang Tao. Nonlinear waves in a fluid-filled thin viscoelastic tube[J]. Chinese Physics B, 2010, 19(11): 53-59.

[7]張濤， 張善元. 埋置于彈性地基內(nèi)充液壓力管道中的非線性波[J].力學(xué)與實踐, 2009, 31(6): 26-30. Zhang Tao, Zhang Shanyuan. Nonlinear waves in a fluid-filled thin tube buried inside elastic foundtion[J]. Mechanics in Engineering, 2009, 31(6): 26-30. (in Chinese)

Solving of Nonlinear Wave in a Fluid-Filled Viscoelastic Tube with Elastic Foundation Restriction by Using C.R.Johnston Direct Approach

ZHOU Yi-qing1,2, ZHANG Shan-yuan3

(1. College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100022, China； 2. School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China； 3. Institute of Applied Mechanics and Biomedical Engineering,Taiyuan University of Technology,Taiyuan 030024,China)

Propagation of nonlinear waves in a fluid-filled thin viscoelastic tube buried inside elastic foundation was studied. The material of the tube was assumed to be viscoelastic, the reaction of foundation was calculated based on Winkler model, and the fluid was incompressible and inviscid. Initially, the tube is in a state of static equilibrium with inner pressureP0. A disturbance was considered as superimposed on this static deformation. The nonlinear equations of motion consisted of the mass conservation, the balance of linear momentum and normal equilibrium equation. The solitary wave solution of the system was given by using C.R. Johnston direct approach which is simple and with high precision.

C.R. Johnston direct approach； elastic foundation； fluid-filled viscoelastic tube； nonlinear wave; solitary wave

1673-3193(2016)06-0561-05

2016-06-29

國家自然科學(xué)基金資助項目(11402005， 11202190)； 北京博士后科研經(jīng)費資助項目(Q6001015201401)

周義清(1977-)， 女， 副教授， 博士， 主要從事非線性動力學(xué)的研究.

O347.4

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2016.06.002