四川省資陽市外國語實驗學(xué)校(641300)蔡勇全

品味“創(chuàng)新型”集合問題

四川省資陽市外國語實驗學(xué)校(641300)蔡勇全

“創(chuàng)新型”集合問題是近幾年高考命題的熱點,此類試題常常是以“新交匯”、“新定義”為背景,較好地考查了學(xué)生的創(chuàng)新能力和運用數(shù)學(xué)知識綜合解決問題的能力,因而倍受命題者的青睞.本文在總結(jié)近幾年全國各地高考試題或模擬試題的基礎(chǔ)上介紹幾種主要的“創(chuàng)新型”集合問題,旨在探索題型規(guī)律,揭示解題方法,供大家參考.

類型一、集合與合情推理

集合與合情推理“聯(lián)姻”能命制出精彩的考題,而且多以元素與集合的關(guān)系、合情推理為交匯點,意在考查學(xué)生處理交匯性問題的能力、邏輯推理能力,此類題目的難度一般為中等或中等偏上.

例1(2014年高考福建卷理科第15題)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4}且下列四個關(guān)系:①a=1;②b≠1;③ c=2;④d≠4有且只有一個是正確的,則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個數(shù)是___.

解析因為①正確,②也正確,所以只有①正確是不可能的;若只有②正確,①③④都不正確,則符合條件的有序數(shù)組為(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正確, ①②④都不正確,則符合條件的有序數(shù)組為(3,1,2,4);若只有④正確,①②③都不正確,則符合條件的有序數(shù)組為(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).綜上,符合條件的有序數(shù)組的個數(shù)是6.

評注此類題的易錯點為:一是分類不嚴謹;二是審題不認真.解答本題時,若對“有且只有”這四個字不敏感,那么就不容易找到解題的突破口,因此,解題時,一定要認真審題,分類時要做到不重不漏,才不會陷入命題人設(shè)計的陷阱.

變式已知元素為實數(shù)的集合S滿足下列條件:① 1,0?S;②若a∈S,則

(1)若集合{2,?2}是S的真子集,求使元素個數(shù)最少的集合S;

(2)若非空集合S為有限集,則你對集合的元素個數(shù)有何猜想?并證明你的猜想正確.

(2)非空有限集S的元素個數(shù)是3的倍數(shù).證明如下:

評注破解此類問題的突破口是:正確理解集合的有關(guān)概念,注意集合中元素的互異性,會用完全歸納推理方法判斷集合中元素的所有可能取值,并注意分類與整合思想的運用.

類型二、集合與新定義

集合與新定義“交融”的考題,具有濃厚的時代氣息,是一類難得一見的好題.此類試題常常以平面點集或數(shù)集、新定義(平面向量、函數(shù)、數(shù)列等)為交匯點,意在考查學(xué)生處理交匯性問題的能力、數(shù)形結(jié)合能力及運算求解能力,此類試題的難度一般為中等偏上,而且在客觀題或主觀題中均可能出現(xiàn).

例2(2013年高考福建卷理科第10題)設(shè)S,T是R的兩個非空子集,如果存在一個從S到T的函數(shù)y=f(x)滿足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)對任意x1,x2∈S,當(dāng)x1＜x2時,恒有f(x1)＜f(x2),那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”.以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是( )

A.A=N?,B=N

B.A={x|?1≤x≤3},B={x|x=?8或0＜x≤10}

C.A={x|0＜x＜1},B=R

D.A=Z,B=Q

評注求解此類新定義的存在性問題的關(guān)鍵是:首先理清新定義的內(nèi)涵;其次,針對選擇題的特點,會利用特取法來實現(xiàn)快速智取,如本題,通過取特殊函數(shù)(注意此特殊函數(shù)應(yīng)滿足題設(shè)中的兩個條件),就可較為容易地輕松破解此類難題.

變式設(shè)集合S={A0,A1,A2,A3,A4},在S上定義運算⊙:Ai⊙Aj=Ak,其中k=|i?j|,i=0,1,2,3,4,j=0,1,2,3,4,那么滿足條件(Ai⊙Aj)⊙A2=A1(Ai∈S,Aj∈S)的有序數(shù)對(i,j)共有( )

A.12個 B.8個 C.6個 D.4個

解析因為(Ai⊙Aj)⊙A2=A1(Ai∈S,Aj∈S),所以Ai⊙Aj=A1或Ai⊙Aj=A3,因此|i?j|=1或|i?j|=3,滿足i?j=1的有序數(shù)對(i,j)有4個,分別是(1,0),(2,1),(3,2),(4,3);滿足j?i=1的有序數(shù)對(i,j)有4個,分別是(0,1),(1,2),(2,3),(3,4);滿足i?j=3的有序數(shù)對(i,j)有2個,分別是(3,0),(4,1);滿足j?i=3的有序數(shù)對(i,j)有2個,分別是(0,3),(1,4).綜上,可得滿足條件(Ai⊙Aj)⊙A2=A1(Ai∈S,Aj∈S)的有序數(shù)對(i,j)共有12個,故應(yīng)選A.

評注定義新運算在集合考查中是一種新的命題背景,引進新的集合運算,可以考查學(xué)生接受新知識的能力和對集合語言的閱讀理解能力.解決這類信息遷移題的基本方法是以舊帶新,即把新定義的運算納入到已有的集合運算體系之中,并用已有的解題方法來分析、解決問題.

類型三、集合與簡易邏輯

集合與簡易邏輯“牽手”的考題,是不落俗套的好題,多以集合的運算、集合間的關(guān)系、簡易邏輯知識為交匯點,意在考查學(xué)生處理交匯性問題的能力以及邏輯推理能力,此類題目的難度一般為中等或中等偏下.

例3非空集合A,B,C滿足A∪B=C,且B不是A的子集,則( )

A.“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件

B.“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件

C.“x∈C”是“x∈A”的充要條件

D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是必要條件

解析A∪B=C,且B不是A的子集,說明集合C≠A,又A?(A∪B),所以集合A?C,這說明集合A的元素都在集合C中,但集合C中的元素至少有一個不在集合A中,故應(yīng)選B.

評注本題的難點主要是對集合之間關(guān)系的分析,兩個集合的運算產(chǎn)生的集合同這兩個集合之間存在著必然的包含關(guān)系,如A與B均為A∪B的子集,A∩B既是A的子集,也是B的子集等等,這些常識是分析判斷參與運算的兩個集合中的元素與運算所得的集合元素之間關(guān)系的依據(jù),也是解決這類問題的關(guān)鍵.

變式1(2013年高考四川卷理科第4題)設(shè)x∈Z,集合A是奇數(shù)集,集合B是偶數(shù)集,若命題p:?x∈A,2x∈B,則( )

A.?p:?x∈A,2x?B

B.?p:?x?A,2x?B

C.?p:?x?A,2x∈B

D.?p:?x∈A,2x?B

解析命題p的含義是對任意x∈A,一定有2x∈B,則其否定或否定形式?p的含義應(yīng)是并非對任意x∈A,都有2x∈B,即存在x∈A,使2x?B,故應(yīng)選D.

變式2(2011年高考天津卷文科第4題)設(shè)集合A={x∈R|x?2＞0},集合B={x∈R|x＜0},C={x∈R|x(x?2)＞0},則“x∈A∪B”是“x∈C”的( )

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解析因為A∪B={x∈R|x＜0或x＞2},C={x∈R|x＜0或x＞2},所以A∪B=C,x∈A∪B是x∈C的充分必要條件,故應(yīng)選C.

評注破解此類問題的突破口是:既能對集合之間的包含關(guān)系應(yīng)用明晰,又能用特殊值法來判斷特稱命題的真假,還能準確理解充分條件、必要條件及充要條件的含義,才能對其關(guān)系進行準確的判斷.

類型四、集合與其他知識

這里的其他知識是指向量、復(fù)數(shù)或三角函數(shù)等,集合與這些知識“相約”,往往能產(chǎn)生不可多得的佳題,此類試題常常以集合為背景,注重考查向量、復(fù)數(shù)或三角函數(shù)的應(yīng)用性功能,較好地體現(xiàn)了高考“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題、注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性”,這也是近年高考命題的新特點和大方向,此類題目的難度一般為中等.

例4已知集合M={→a|→a=(2λ+1,2+2λ),λ∈R},另有集合則M∩N中的元素的模為____.

解析由于兩個集合的交集中的元素是指這兩個集合中相同的元素,基于此,M∩N中的元素是指集合M與N中相等的向量,根據(jù)相等向量的定義,只需(2λ+1,2+2λ)=(3λ?2,3λ?1),即解得λ=3,所以M∩N={(7,8)},故M∩N中的元素的模為

評注解答本題的關(guān)鍵是對兩個集合的交集中的元素的理解.

變式1已知i為虛數(shù)單位,則集合M={a∈R|(1?ai)2為純虛數(shù)}中元素的個數(shù)是___.

解析集合M中的元素是指字母a的取值,而字母a的取值又受制于“(1?ai)2為純虛數(shù)”.因為(1?ai)2=(1?a2)?2ai,欲使(1?ai)2為純虛數(shù),則須1?a2=0且?2a≠0,解得a=±1,故M={?1,1},所以集合M中的元素個數(shù)為2.

評注解答本題的關(guān)鍵是對集合M中的元素是“誰”及純虛數(shù)這一概念的理解.

變式2集合A=(x,y)|x2+8xsin(xy)+16=0,x∈中元素的個數(shù)是____.

解析顯然x≠0,所以有

其中k∈Z.又y∈[0,2π],所以k分別只能取到4個值,方程組的解共8組,故集合A中的元素個數(shù)為8.

評注以集合的形式包裝本題,關(guān)鍵是解方程,觀察sin(xy),自然聯(lián)想到它的有界性,而且本題用到了一種極其重要的思想方法,也就是夾逼思想,即m≤x≤m?x=m.

[1]蔡勇全.突破抽象函數(shù)的十一招[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2012,2.

[2]蔡勇全.辨析“形似質(zhì)異”的含參成立性問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志, 2013,11.

[3]蔡勇全.一題七解激活思維[J].數(shù)理化解題研究,2014,9.

[4]蔡勇全.簡化數(shù)學(xué)運算的若干策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2015,1.

[5]蔡勇全.例說含參函數(shù)問題的幾種求解策略[J].數(shù)理化解題研究, 2015,2.

[6]蔡勇全.問渠那得清如許為有源頭活水來[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2015, 3.

[7]蔡勇全.多角度解析一道高考填空題[J].中學(xué)生理科應(yīng)試,2015,4.

[8]蔡勇全.一類?？甲钪祮栴}的七種解法賞析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志, 2015,5.