李 雪，薛 薇

(天津科技大學電子信息與自動化學院，天津 300222)

一個新分數(shù)階混沌系統(tǒng)的分析與同步

李 雪，薛 薇

(天津科技大學電子信息與自動化學院，天津 300222)

提出一個新的同量階2.7階分數(shù)階混沌系統(tǒng)，基于預(yù)估-校正時域法，采用Matlab繪制了該分數(shù)階混沌系統(tǒng)的相軌跡圖、Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖，并用數(shù)值仿真驗證了該系統(tǒng)在一定參數(shù)變化范圍內(nèi)存在混沌吸引子．研究該分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題，基于極點配置方法以及擴展的非線性狀態(tài)觀測器理論，設(shè)計了一種投影同步方案．數(shù)值仿真與理論分析的結(jié)果一致，充分驗證了該同步方案的可行性和有效性．

分數(shù)階；混沌系統(tǒng)；狀態(tài)觀測器；投影同步；數(shù)值仿真

近年來，對于混沌理論及其應(yīng)用的研究已經(jīng)成為了科學界的熱點問題．各種新的混沌系統(tǒng)[1-3]不斷被發(fā)現(xiàn)和提出，促進了學者們對混沌理論的認識，豐富和完善了混沌學的研究內(nèi)容，并且提高了混沌學在圖像加密、視頻加密、保密通信、故障診斷等領(lǐng)域的實際應(yīng)用能力．自1983年Mandelbort[4]提出分數(shù)維以來，分數(shù)階微積分理論已取得了極其重大的進步．不同于整數(shù)階微積分，分數(shù)階微積分更注重函數(shù)的整體信息，因此在將混沌系統(tǒng)應(yīng)用到實際工程領(lǐng)域時，分數(shù)階模型比整數(shù)階模型的應(yīng)用范圍更廣泛，效果更明顯．這一現(xiàn)象促使越來越多的學者開始投身于研究和認識分數(shù)階混沌系統(tǒng)，例如已發(fā)現(xiàn)的有分數(shù)階R?ssler系統(tǒng)[5]、分數(shù)階Chen系統(tǒng)[6]、分數(shù)階Liu系統(tǒng)[7]、分數(shù)階Lü系統(tǒng)[8]、分數(shù)階廣義增廣Lü系統(tǒng)[9]等．

混沌同步是實現(xiàn)保密通信等混沌應(yīng)用的基礎(chǔ)．隨著人們對分數(shù)階混沌系統(tǒng)的認識不斷深入，分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題得到了越來越多的關(guān)注．目前，已提出了很多分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步方法，諸如：線性反饋同步[10]、滑膜控制[11]、投影同步[12]、自適應(yīng)同步[13]、廣義同步[14]等各種同步控制方法，這些同步方法的提出對混沌在實際工程領(lǐng)域的應(yīng)用具有重要的意義．

本文提出一個新的同量階分數(shù)階混沌系統(tǒng)，給出了該分數(shù)階混沌系統(tǒng)的相軌跡圖、Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖等特性．在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用狀態(tài)觀測器的投影同步方法對所給的新分數(shù)階混沌系統(tǒng)進行了同步研究．

1 新分數(shù)階混沌系統(tǒng)分析

1.1 數(shù)學模型

系統(tǒng)含有3個非線性項，其數(shù)學模型為

式(1)系統(tǒng)中各狀態(tài)變量的分數(shù)階微積分階次為q，且q∈(0,1)，系統(tǒng)階次為3q，系統(tǒng)參數(shù)為a, b, c, d．

1.2 分數(shù)階次q對系統(tǒng)的影響

取a=34.4，b=50，c=3，d=15時，繪制式(1)系統(tǒng)隨階次q∈[0.7,1]變化的分岔圖，如圖1所示．由圖1可以看出：當q∈[0.7,0.874]時，系統(tǒng)處于周期或者穩(wěn)定狀態(tài)；當q∈[0.874,1]時，系統(tǒng)狀態(tài)解開始出現(xiàn)混亂現(xiàn)象，說明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)．

圖1 q∈[0.7,1]時式(1)系統(tǒng)在x軸上的分岔圖Fig. 1 Bifurcation diagram of system(1) on x axis when q∈[0.7,1]

1.3 相軌跡分析

為了方便觀察式(1)系統(tǒng)的混沌特性，本文選取分數(shù)階次q=0.9時的情況進行分析．當a=34.4，b=50，c=3，d=15，q=0.9時，繪制出2.7階系統(tǒng)的相軌跡圖如圖2所示．從圖2中可以觀察到式(1)系統(tǒng)的混沌吸引子具有豐富的幾何形狀和復(fù)雜的拉伸軌線．

1.4 Lyapunov指數(shù)及分岔圖

這里分析2.7階系統(tǒng)隨參數(shù)a變化時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)變化和分岔情況．固定參數(shù)b=50，c=3，d=15，當a∈[20,60]時，繪制式(1)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖，分別見圖3和圖4．

圖2 式(1)系統(tǒng)的相軌跡圖Fig. 2 Phase trajectory diagrams of system(1)

圖3 a∈[20,60]時式(1)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜圖Fig. 3Lyapunov exponent diagram of system (1) when a∈[20,60]

圖4 a∈[20,60]時式(1)系統(tǒng)在x方向上的分岔圖Fig. 4Bifurcation diagram of system(1)on x axis when a∈[20,60]

由圖3和圖4可以看出，系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的分岔圖與其對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜圖保持一致．當參數(shù)a=34.4時，該系統(tǒng)的3個Lyapunov指數(shù)分別為λ1=6.4295，λ2=?0.215 2，λ3=?54.6645．其最大LE指數(shù)比目前很多分數(shù)階混沌系統(tǒng)的最大LE指數(shù)都大，如2.7階Chen系統(tǒng)[6](λ1=2.397 5)、2.7階Liu系統(tǒng)[7](λ1=0.0158)等．一般情況下，混沌系統(tǒng)的LE指數(shù)越大，其混沌特性越明顯，混沌程度越高．因此，本文提出的2.7階系統(tǒng)在圖像加密、保密通信等方面應(yīng)該會有較好的應(yīng)用前景．

2 同步控制器的設(shè)計

考慮如下兩個分數(shù)階混沌系統(tǒng)：

式中：狀態(tài)變量為x=(x12, x2,…,x)T∈Rn和y=(y1, y2,…,yn)T∈Rn；連續(xù)向量函數(shù)為f:Rn→Rn和g∶Rn→Rn；控制器為u( x, y)．令式(2)和式(3)系統(tǒng)分別為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)．

定義1[15]假設(shè)?α，且α≠0，使得式(2)系統(tǒng)和式(3)系統(tǒng)滿足則稱以上兩個系統(tǒng)獲得了投影同步，其中α為狀態(tài)比例因子，為范數(shù)運算．

假設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)為

式中：A∈Rn×n為Jacobian矩陣；B∈Rn×m為系數(shù)矩陣；F( x)為非線性項．響應(yīng)系統(tǒng)(分數(shù)階狀態(tài)觀測器)滿足

定義同步誤差為e=αy?x，則誤差系統(tǒng)為

其中K∈Rn×n為誤差反饋增益矩陣．若矩陣(A?K)的特征值為負數(shù)，由分數(shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論可知，當時，有，則驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)獲得了投影同步．

依據(jù)控制理論中的極點配置方法[16]適當?shù)剡x取反饋增益矩陣K，使得矩陣(A?K)的特征值為負數(shù)，即可實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的投影同步．

以本文所提出的新分數(shù)階混沌系統(tǒng)為例，令驅(qū)動系統(tǒng)為

將驅(qū)動系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為式(4)的形式，得到

響應(yīng)系統(tǒng)可以構(gòu)造成

將響應(yīng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為式(5)的形式，得到

將式(8)和式(10)代入式(6)，可得

其中a＝34.4，b＝50，c＝3，d＝15，則系數(shù)矩陣A為

可見矩陣(A, I)可控，并且(I, AI,…,An?1I )是滿秩的．依據(jù)極點配置法選取反饋增益矩陣K為

將式(12)和式(13)代入式(11)，可得到誤差系統(tǒng)為

由于矩陣(A?K)的特征值為λ1=?1.5，λ2=?2，λ3=?3，也就是所有的特征值λi(i =1,2,3)全為負數(shù)．根據(jù)分數(shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，可以得到即式(7)驅(qū)動系統(tǒng)和式(9)響應(yīng)系統(tǒng)實現(xiàn)了投影同步．

3 同步仿真

運用預(yù)估-校正法進行數(shù)值仿真，選取的參數(shù)a=34.4，b=50，c=3，d=15，比例因子α=1，時間步長h=0.01，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別為x1(0)=?1，x2(0)=?2，x3(0)=?2，y1(0)=?1，y2(0)=?2，y3(0)=3，得到的數(shù)值仿真結(jié)果如圖5和圖6所示．由圖5可知，隨著時間的增加，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量的運動軌跡完全一致．由圖6可以看出，誤差e1( t)、e2( t)、e3( t)可以在較短時間內(nèi)漸近穩(wěn)定于零，進一步說明該同步方法是可行的．

圖5 同步曲線圖Fig. 5 The synchronization curve

圖6 同步誤差隨時間的變化Fig. 6 Synchronization errors versus time

4 結(jié) 語

本文提出了一個新的分數(shù)階混沌系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)的混沌特性進行了分析，運用Matlab軟件繪制了該2.7階新混沌系統(tǒng)的相軌跡圖、Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖．數(shù)值仿真結(jié)果表明，該系統(tǒng)在較大參數(shù)變化范圍內(nèi)存在混沌吸引子．在此基礎(chǔ)上，研究了該分數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題，設(shè)計了一種投影同步方案，該同步方案依據(jù)極點配置法選取合適的反饋增益矩陣并對狀態(tài)比例因子進行簡單控制，所需的同步代價較小并且同步時間較短，具有一定的普遍性．通過理論分析和數(shù)值仿真充分驗證了該同步方法的可行性和有效性，為該分數(shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信、圖像加密等實際工程中的進一步應(yīng)用提供了技術(shù)支持．

［1］ Liu C X，Liu T，Liu L，et al. A new chaotic attractor[J]. Chaos，Solitons and Fractals，2004，22(5)：1031-1038.

［2］ Qi G Y，Du S Z，Chen G R，et al. On a 4-dimensional chaotic system[J]. Chaos，Solitons and Fractals，2005，23(3)：1671-82.

［3］ 倉詩建，陳增強，袁著祉. 一個新四維非自治混沌系統(tǒng)的分析與電路實現(xiàn)[J]. 物理學報，2008，57(3)：1493-1501.

［4］ Mandelbrot B B. The Fractal Geometry of Nature[M]. New York：W H Freeman，1983.

［5］ Li C G，Chen G R. Chaos and hyperchaos in the fractional order R?ssler equations[J]. Physica A，2004，341(2)：55-61.

［6］ 邵永暉，鐘啟龍，鄭永愛. 基于分數(shù)階Chen系統(tǒng)的圖像加密新算法[J]. 科學技術(shù)與工程，2014，14(2)：159-164.

［7］ 陳向榮，劉崇新，王發(fā)強，等. 分數(shù)階Liu混沌系統(tǒng)及其電路實驗的研究與控制[J]. 物理學報，2008，57(3)：1416-1422.

［8］ Lu J G. Chaotic dynamics of the fractional order Lü system and its synchronization[J]. Physics Letters A，2006，354(4)：305-311.

［9］ Xue W，Xu J K，Cang S J，et al. Synchronization of the fractional-order generalized augmented Lü system and its circuit implementation[J]. Chinese Physics B，2014，23(6)：82-89.

［10］ Yassen M T. Controlling chaos and synchronization for new chaotic system using linear feedback control[J]. Chaos，Solitons and Fractals，2005，26(3)：913-920.

［11］ Yau H T，Yan J J. Desgn of sliding mode controller for Lorenz chaotic system with nonlinear input[J]. Chaos，Solitons and Fractals，2004，19(4)：891-898.

［12］ Wang X Y，He Y J. Projective synchronization of fractional order chaotic system based on linear separation [J]. Physics Letters A，2008，372(4)：435-441.

［13］ Yassen M T. Adaptive chaos control and synchronization for uncertain new chaotic dynamical system[J]. Physics Letters A，2006，350(1/2)：36-43.

［14］ Wang T S，Wang X Y. Generalized synchronization of fractional order hyperchaotic lorenz system[J]. Modern Physics Letters B，2009，23(17)：2167-2178.

［15］ 王興元. 混沌系統(tǒng)的同步及在保密通信中的應(yīng)用[M].北京：科學出版社，2012：320-330.

［16］ Paraskevopoulos P N. Modern Control Engineering[M]. New York：Marcal Dekker，2002.

責任編輯：常濤

Analysis and Synchronization of a Novel Fractional-order Chaotic System

LI Xue，XUE Wei
(College of Electronic Information and Automation，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China)

In this research，a novel commensurate 2.7-order fractional-order chaotic system is proposed．The phase trajectory diagrams，the Lyapunov exponent spectra，and the bifurcation diagrams of the fractional-order chaotic system were establisher by using Matlab software and based on the predictor-corrector time domain method．The results imply there exists a chaotic attractor in the system with a certain range of change in system parameters．On this basis，the synchronization of the fractional-order chaotic system was investigated and a projection synchronization scheme based on the pole assignment method and the extended nonlinear state observer theory was designed．The simulation results are consistent with the theoretical analysis，which further demonstrates the feasibility and effectiveness of the proposed synchronization scheme.

fractional-order；chaotic system；state observer；projection synchronization；numerical simulation

TP391.9

A

1672-6510(2016)06-0069-05

10.13364/j.issn.1672-6510.20160004

2016-01-05；

2016-07-08

國家自然科學基金青年科學基金資助項目(11202148)

李 雪（1991—），女，河北人，碩士研究生；

薛 薇，教授，xuewei@tust.edu.cn.